中考数学《角的平分线》专项练习题2套含答案.docx
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中考数学《角的平分线》专项练习题2套含答案.docx
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中考数学《角的平分线》专项练习题2套含答案
角的平分线
第1课时 角的平分线的性质
01 基础题
知识点1 角的平分线的作法
1.如果要作已知∠AOB的平分线OC,合理的顺序是(C)
①作射线OC;②在OA、OB上分别截取OD、OE,使OD=OE;③分别以D、E为圆心,大于
DE长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C.
A.①②③B.②①③
C.②③①D.③②①
2.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示,则能说明∠AOC=∠BOC的依据是(A)
A.SSS
B.ASA
C.AAS
D.角平分线上的点到角两边距离相等
3.已知△ABC,用尺规作图作出∠ABC的角平分线,保留作图痕迹,不写作法.
解:
作图略.
知识点2 角的平分线的性质
4.(茂名中考)如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上一点,PD⊥OA于点D,PD=6,则点P到边OB的距离为(A)
A.6
B.5
C.4
D.3
5.(怀化中考)如图,OP为∠AOB的角平分线,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C,D,则下列结论错误的是(B)
A.PC=PD
B.∠CPD=∠DOP
C.∠CPO=∠DPO
D.OC=OD
6.已知:
如图所示,点O在∠BAC的平分线上,BO⊥AC,CO⊥AB,垂足分别为D,E,求证:
OB=OC.
证明:
∵点O在∠BAC的平分线上,BO⊥AC,CO⊥AB,
∴OE=OD,∠BEO=∠CDO=90°.
在△BEO和△CDO中,
∴△BEO≌△CDO(ASA).
∴OB=OC.
知识点3 文字命题的证明
7.命题“全等三角形对应边上的高相等”的已知是两个三角形全等,结论是这两个三角形对应边上的高相等.
8.(咸宁中考)证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”,要根据题意,画出图形,并用符号表示已知和求证,写出证明过程,下面是小明同学根据题意画出的图形,并写出了不完整的已知和求证.
已知:
如图,∠AOC=∠BOC,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.
求证:
PD=PE.
请你补全已知和求证,并写出证明过程.
证明:
∵PD⊥OA,PE⊥OB,
∴∠PDO=∠PEO=90°.
在△PDO和△PEO中,
∴△PDO≌△PEO(AAS).
∴PD=PE.
02 中档题
9.(淮安中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以顶点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交边AC,AB于点M,N,再分别以M,N为圆心,大于
MN长为半径画弧,两弧交于点P,作射线AP交边BC于点D,若CD=4,AB=15,则△ABD的面积为(B)
A.15B.30
C.45D.60
10.在正方形网格中,∠AOB的位置如图所示,到∠AOB两边距离相等的点应是(A)
A.M点B.N点
C.P点D.Q点
11.(湖州中考)如图,AB∥CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P,且与AB垂直.若AD=8,则点P到BC的距离是(C)
A.8B.6C.4D.2
12.已知,如图,△ABC的角平分线AD交BC于D,BD∶DC=2∶1,若AC=3cm,则AB=6_cm.
13.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于D,DE⊥AB,垂足为E,且AB=10cm,求△DEB的周长.
解:
∵AD平分∠BAC交BC于D,DE⊥AB,∠C=90°,
∴CD=DE.
又∵AD=AD,
∴Rt△ACD≌Rt△AED.
∴AE=AC.
∴△DEB的周长为DE+DB+EB=CD+DB+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB=10cm.
14.求证:
有两个角及其中一个角的角平分线对应相等的两个三角形全等.
已知:
如图,在△ABC和△A′B′C′中,∠B=∠B′,∠BAC=∠B′A′C′,AD,A′D′分别是∠BAC,∠B′A′C′的平分线,且AD=A′D′.
求证:
△ABC≌△A′B′C′.
证明:
∵∠BAC=∠B′A′C′,AD,A′D′分别是∠BAC,∠B′A′C′的角平分线,
∴∠BAD=∠B′A′D′.
∵∠B=∠B′,AD=A′D′,
∴△ABD≌△A′B′D′(AAS).
∴AB=A′B′.
在△ABC和△A′B′C′中,
∴△ABC≌△A′B′C′(ASA).
03 综合题
15.(长春中考)感知:
如图1,AD平分∠BAC,∠B+∠C=180°,∠B=90°.易知:
DB=DC.
探究:
如图2,AD平分∠BAC,∠ABD+∠ACD=180°,∠ABD<90°.求证:
DB=DC.
证明:
过点D分别作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.
∵DA平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF.
∵∠B+∠ACD=180°,
∠ACD+∠FCD=180°,
∴∠B=∠FCD.
在△DFC和△DEB中,
∴△DFC≌△DEB.
∴DC=DB.
第2课时 角的平分线的判定
01 基础题
知识点1 角的平分线的判定
1.如图,OC是∠AOB内部的一条射线,P是射线OC上任意点,PD⊥OA,PE⊥OB.下列条件中:
①∠AOC=∠BOC;②PD=PE;③OD=OE;④∠DPO=∠EPO,能判定OC是∠AOB的角平分线的有(D)
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.如图,∠AOB=70°,QC⊥OA于点C,QD⊥OB于点D,若QC=QD,则∠AOQ=35°.
3.如图,BE=CF,DE⊥AB的延长线于点E,DF⊥AC于点F,且DB=DC,求证:
AD是∠BAC的平分线.
证明:
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠BED=∠DFC=90°.
在Rt△DEB和Rt△DFC中,
∴Rt△DEB≌Rt△DFC.∴DE=DF.
∴AD是∠BAC的平分线.
4.如图,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,BE,CD相交于点O.求证:
(1)当∠1=∠2时,OB=OC;
(2)当OB=OC时,∠1=∠2.
证明:
(1)∵∠1=∠2,OD⊥AB,OE⊥AC,
∴OE=OD,∠ODB=∠OEC=90°.
在△BOD和△COE中,
∴△BOD≌△COE(ASA).
∴OB=OC.
(2)在△BOD和△COE中,
∴△BOD≌△COE(AAS).
∴OD=OE.
又∵OD⊥AB,OE⊥AC,
∴AO平分∠BAC,即∠1=∠2.
知识点2 三角形的角平分线
5.到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的(B)
A.三条中线的交点B.三条角平分线的交点
C.三条高的交点D.以上均不对
6.如图,△ABC的三边AB,BC,CA的长分别为40,50,60,其三条角平分线交于点O,则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO=4∶5∶6.
知识点3 角的平分线的性质与判定的实际应用
7.如图,铁路OA和铁路OB交于O处,河道AB与铁路分别交于A处和B处,试在河岸上建一座水厂M,要求M到铁路OA,OB的距离相等,则该水厂M应建在图中什么位置?
请在图中标出M点的位置.
解:
图略.提示:
∠AOB的平分线与AB的交点即为点M的位置.
8.如图,某市有一块由三条公路围成的三角形绿地,现准备在其中建一小亭子,供人们休息,而且要使小亭中心到三条公路的距离相等,试确定小亭的中心位置.
解:
△ABC的角平分线的交点就是小亭的中心位置,图略.
02 中档题
9.(永州中考)如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BA和CD的延长线交于点E,若点P使得S△PAB=S△PCD,则满足此条件的点P(D)
A.有且只有1个
B.有且只有2个
C.组成∠E的角平分线
D.组成∠E的角平分线所在的直线(E点除外)
10.如图,已知△ABC的周长是20cm,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于点D,若OD=3cm,则△ABC的面积为30_cm2.
11.如图,∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D,连接AD.求证:
AD是∠BAC的外角平分线.
证明:
过点D分别作DE⊥AB,DG⊥AC,DF⊥BC,垂足分别为E,G,F.
又∵BD平分∠ABC,CD平分∠ACF,
∴DE=DF,DG=DF.
∴DE=DG.
∴AD平分∠EAC,即AD是∠BAC的外角平分线.
12.如图所示,△ABC中,∠B=∠C,D是BC边上一动点,过D作DE⊥AB,DF⊥AC,E,F分别为垂足,则当D移动到什么位置时,AD恰好平分∠BAC,请说明理由.
解:
当D移动到BC的中点时,AD恰好平分∠BAC.理由:
∵D是BC的中点,
∴BD=CD.
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠DEB=∠DFC=90°.
又∵∠B=∠C,
∴△DEB≌△DFC(AAS).
∴DE=DF.
又∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴AD平分∠BAC.
03 综合题
13.如图,在四边形ABDC中,∠D=∠B=90°,O为BD的中点,且AO平分∠BAC.求证:
(1)CO平分∠ACD;
(2)OA⊥OC;
(3)AB+CD=AC.
证明:
(1)过点O作OE⊥AC于点E,
∵∠B=90°,AO平分∠BAC,
∴OB=OE.
∵点O为BD的中点,
∴OB=OD.
∴OE=OD.
又∵∠D=90°,∠OEC=90°.
∴CO平分∠ACD.
(2)在Rt△ABO和Rt△AEO中,
∴Rt△ABO≌Rt△AEO(HL).
∴∠AOB=∠AOE=
∠BOE.
同理,∠COD=∠COE=
∠DOE.
∵∠AOC=∠AOE+∠COE,
∴∠AOC=
∠BOE+
∠DOE=
×180°
=90°.
∴OA⊥OC.
(3)∵Rt△ABO≌Rt△AEO,
∴AB=AE.同理可得CD=CE.
∵AC=AE+CE,∴AB+CD=AC.
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