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概率论论文
概率论与数理统计总结(1-5章节)
第一章&第二章概率论引论&条件概率
本章知识点:
1.随机事件及其运算(随机试验,随机事件与样本空间,事件之间的关系及其运算)
2.概率的定义、性质及其运算(频率,概率的统计定义,古典概率,概率的公理化定义,概率的性质)
3.条件概率及三个重要公式(乘法公式,全概率公式,贝叶斯公式)
4.事件的独立性及贝努里(Bernoulli)概型
理解重点:
1、理解随机事件的概念,了解样本空间的概念,掌握事件的关系与基本运算;
2、理解事件频率的概念,了解随机现象的统计规律性,理解概率的公理化定义与概率的其它性质;
3、理解古典概率的定义,掌握古典概率的计算,了解几何概率的定义及计算;
4、掌握概率的基本性质与应用这些性质进行概率计算;
5、理解条件概率的概念,熟练掌握条件概率的计算,熟练掌握乘法公式、全概率公式与贝叶斯公式以及应用这些公式进行概率计算;
6、理解事件的独立性概念,掌握应用事件独立性进行概率计算,理解贝努利试验的概念,熟练掌握二项概率公式(贝努利概型)及其应用。
第一节随机事件
一、概率论序言
二、随机试验与随机事件
(一)随机试验
1.试验可在相同条件下重复进行;
2.每次试验的可能结果不止一个,而究竟会出现哪一个结果,在试验前不能准确地预言;
3.试验所有可能结果在试验前就是明确(已知)的,而每次试验必有其中的一个结果出现,并且也仅有一个结果出现。
满足上述三个特性的试验,叫做随机试验,简称试验,并用字母E等表示。
(二)随机事件
随机试验的结果称为随机事件,简称事件。
1.必然事件:
在试验中一定出现的结果,记作Ω;
2.不可能事件:
在试验中一定不会出现的结果,记作Φ;
3.随机事件:
在试验中可能出现也可能不出现的结果,常用大写拉丁字母A、B、C…表示;
4.基本事件(样本点):
试验最基本的结果,记作ω;
5.样本空间(基本事件空间):
所有基本事件的集合,常用Ω表示;样本空间Ω中的元素就是随机试验的可能结果。
样本空间的任一子集称作随机事件。
在一次试验中,当且仅当子集A中的一个样本点出现时,称事件A发生。
显然Ω为必然事件,Φ为不可能事件。
三、随机事件间的关系与运算
(一)随机事件间的关系
1.包含:
若事件A发生必导致事件B发生,则称事件B包含事件A,或称A就是B的子事件,记作。
A⊂B,或B⊃A。
2.相等:
若B⊂A且A⊃B,则称事件A与B相等,记作A=B。
其直观意义就是事件A与B的样本点完全相同。
(二)随机事件的运算
1.事件的与(并)
若事件A与事件B至少有一个发生,则称这样的事件为事件A与B的与事件,记作B∪A或B+A。
事件B∪A就是属于A或属于B的样本点组成的集合。
2.事件的差
若事件A发生而事件B不发生,则称这样的事件为事件A与事件B的差,记作A-B。
3.事件的积(交)
若事件A与事件B同时发生,则称这样的事件为事件A与事件B的积,记作AB或A∩B。
4、互不相容事件(或互斥事件)
若事件A与事件B不能同时发生,即Φ=AB(即A与B同时发生就是不可能事件),则称事件
A与B就是互不相容(互)事件。
其直观意义就是事件A与B没有公共样本点。
5.对立事件(或互逆事件)
在每次试验中,若事件A与事件B必有一个发生,且仅有一个发生,则称事件A与B为对立
事件或互为逆事件。
即有:
Φ=AB,且Ω=B+A。
事件A的对立事件记为A。
6.完备事件组:
若事件A1,A2··An两两互不相容,且每次试验必出现且只出现一个,则称A1,A2··An构成一个完备事件组。
完备事件组中事件个数可以就是有限个,也可以就是可数个。
(三)随机事件的运算规律
对于任意事件A,B,C有:
1.交换律:
A+B=B+A;AB=BA
2.结合律:
A+B+C=A+(B+C)=(A+B)+C;ABC=A(BC)=(AB)C
3.分配律:
A(B+C)=AB+AC;A(B-C)=AB-AC
4.对偶律(德摩根律):
交换律、结合律、分配律、对偶律都可推广到任意多个事件的情形。
第二节概率的定义
一、概率的统计定义
(一)频率的稳定性
考虑在相同条件下进行的S轮试验,事件A在各轮试验中的频率形成一个数列M1/N1,M2/N2```Ms/Ns、
当各轮试验次数N1,N2```Ns充分大时,在各轮试验中事件A出现的频率之间、或者它们某个平均值相差甚微、
(二)概率的统计定义
在实际中,当概率不易求出时,人们常取实验次数很大时事件的频率作为概率的估计值,这种确定概率的方法称为频率方法。
二、概率的古典定义
(一)古典概型
若一个随机试验的结果只有有限个,且每个结果出现的概率都相同,则称这样的试验为古典型
随机试验(或称古典概型)。
(二)古典概率定义
对于古典概型试验中的事件A,其概率为:
样本空间中样本数
中包含的样本点数
(三)古典概型中事件概率的计算
1.一次抽取试验中事件概率的计算
2.不放回试验中事件概率的计算
3.有放回试验中事件概率的计算
三、概率的公理化定义与性质
(一)概率的公理化定义
公理1:
任一事件的概率介于0与1之间
公理2:
样本事件空间的概率为1
公理3:
若可列个事件A1,A2```An两两互不相容,则与事件的概率等于各事件的概率之与
这里事件个数可以就是有限或无限的、
(二)概率的性质
性质1:
对任一事件A,有
性质2:
不可能事件的概率为0,即P(Φ)=0
性质3:
设A、B就是两个事件,若B⊂A,则有
P(A)≤P(B),P(B-A)=P(B)-P(A)、
性质4:
概率具有有限可加性,即若A1,A2```An两两互斥,则
性质5:
对任意两个事件A、B,
第三节条件概率与全概公式
一、条件概率
(一)条件概率的概念
在解决许多概率问题时,往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率、如在事件B发生的
条件下求事件A发生的概率,将此概率记作P(A|B),称作条件概率、一般P(A|B)≠P(A)。
(二)条件概率的定义
对于任意两个事件A与B,其中P(A)>0,则事件B在事件A发生的条件下的条件概率为:
(三)条件概率的性质
设B就是一事件,且P(B)>0,则
1、对任一事件A,0≤P(A|B)≤1;
2、P(S|B)=1;
3、设A1,…,An互不相容,则P[(A1+…+An)|B]=P(A1|B)+…+P(An|B)。
(四)条件概率的计算
二.乘法公式
三)乘法公式应用实例
三、全概公式与贝叶斯公式
(一)全概公式
设就是一个完备事件组,且,则对任一事件B(P(B)>0),有
(二)贝叶斯公式(逆概公式)
设就是一个完备事件组,且,则对于任一事件B(P(B)>0),有
(三)全概公式与贝叶斯公式综合应用
第四节贝努利概型
一、随机事件的独立性
(一)两事件的独立
对于两个事件A与B,若P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与B独立。
若事件A与事件B独立,则事件A与B,A与B,A与B也相互独立。
(二)多个事件的独立
对于任意n个事件,若其中任两个事件均相互独立,即对于任意整数)与任意k个整数
都有成立,则称这n个事件相互独立。
注意:
若相互独立,则其中任意的)个事件也相互独立。
特别当k=2时,
它们中的任意两个事件都相互独立(称为两两独立)。
但n个事件两两独立不能保证这n个事件相互独立。
实际问题中,往往根据问题的实际意义来判定独立性。
(三)事件独立在概率计算中的应用
二、贝努利概型
(一)独立重复试验
在两个或多个独立试验中,若同一事件在各个试验中出现的概率相同,则称它们就是独立重复试验。
二)贝努利概型
满足以下三个条件的随机试验,称为n重贝努利试验。
1.试验可以独立重复的进行n次;
2.试验只有A与两个结果;
3.每次试验中,试验A出现的概率不变,即为常数;
在n重贝努利试验中,事件A出现k(0≤k≤n)次的概率为
此公式称为二项概率公式。
(三)贝努利概型应用
第三章随机变量&第五章分布
本章知识点:
1.随机变量的概念,随机变量的分布函数概念及其性质;
2.离散型随机变量及其概率分布,离散型随机变量常见分布;
3.连续性随机变量及其概率密度函数,连续性随机变量常见的分布;
4.随机变量的函数的分布。
第一节随机变量与分布函数
一、随机变量的概念
(一)随机变量的定义
设E为随机试验,它的样本空间为Ω={ω}。
若对于每一个样本点ω∈Ω,都有唯一确定的实数X(ω)与之对应,则称X(ω)就是一个随机变量(可简记为X)。
常用大写字母X,Y,Z等表示。
(二)引入随机变量的意义
(三)随机变量的分类
1.离散型随机变量与非离散型随机变量(主要就是连续型随机变量)
2.一元随机变量与多元随机变量
二、随机变量的分布函数
(一)随机变量分布函数的定义
对于随机变量X与任意实数x,称函数F(x)P(X≤x)为随机变量X的分布函数。
它在点x处的值就是事件{X≤x}的概率。
(二)分布函数的性质F(x)
1、F(x)就是单调不减函数;
2.F(x)右连续,即对任意的
第二节离散型随机变量及其概率分布
一、离散型随机变量的概率分布
(一)离散型随机变量概率分布的定义
1.一个随机变量的一切可能的取值为有限个或可列无穷多个,则称它为离散型随机变量。
2.X就是一个离散型随机变量,其一切可能值为,且X取各值时的概率为其中,且,则称上式为X的概率分布。
记为
3.对于任意实数a
(二)离散型随机变量概率分布的表示方法
1.列表法2.图示法3.公式法
(三)离散型随机变量的分布函数
二、几种重要的离散型随机变量
(一)超几何分布:
如果随机变量X的概率分布为其中N,M,n均为正整数,且M≤N,n≤N,则称X服从参数为N,M,n的超几何分布。
(二)几何分布
如果随机变量X的概率分布为则称X服从几何分布。
(三)二项分布
值为0,1,2,…,n,且它的概率分布为则称X服从参数为n,p的二项分布,记为X~B(n,p)
(四)泊松分布
如果随机变量X的概率分布为则称X服从参数为λ的泊松分布。
三、几个分布之间的关系
(一)二项分布与超几何分布
当N,M充分大,而n相对N充分小时,超几何分布与二项分布有如下的近似:
(二)二项分布与0—1分布
如果随机变量相互独立,且都服从0—1分布,则服从二项分布B(n,p)
(三)二项分布与泊松分布
如果X服从二项分布B(n,p),且n充分大(n≥100),p充分小,而np适中,则满足以下近似公式:
第三节连续型随机变量及其概率密度
一、连续型随机变量的概率密度
(1)连续型随机变量及其密度函数的定义
对于随机变量X,其分布函数为F(x),如存在非负
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