湖南省长郡中学届高三入学摸底考 数学word版含答案.docx
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湖南省长郡中学届高三入学摸底考数学word版含答案
绝密★启用前
长郡中学2021届高三开学摸底考试
数学
本试题卷共8页,22小题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项:
1、答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2、选择题的作答:
每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题的作答:
用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题:
本题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x∈N|
<2x+1<16},B={x|x2-4x+m=0},若1∈A∩B,则A∪B=
A.{1,2,3}B.{1,2,3,4}C.{0,1,2}D.{0,1,2,3}
2.已知复数z满足z(1+2i)=|4-3i|(其中i为虚数单位),则复数z的虚部为
A.-2B.-2iC.1D.i
3.f(x)=
的部分图象大致是
4.饕餮(tāotiè)纹,青铜器上常见的花纹之一,盛行于商代至西周早期。
有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上,如图所示,每个小方格的边长为1,有一点P从A点出发,每次向右或向下跳一个单位长度,且向右或向下跳是等可能性的,那么它经过3次跳动后,恰好是沿着餮纹的路线到达点B的概率为
A.
B.
C.
D.
5.已知椭圆C:
的右焦点F,点P在椭圆C上,点Q在圆E:
(x+3)2+(y-4)2=4上,且圆E上的所有点均在椭圆C外,若|PQ|-|PF|的最小值为2
-6,且椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等,则椭圆C的标准方程为
A.
B.
C.
D.
6.命题p:
f(x)=x+alnx(a∈R)在区间[1,2]上单调递增;命题q:
存在x∈[2,e],使得
-e+4+2a≥0成立(e为自然对数的底数),若p且q为假,p或q为真,则实数a的取值范围是
A.(-2,-
)B.(-2,-
)∪[-1,+∞)C.[-
,-1)D.(2,-
)∪[1,+∞)
7.已知A(2,1)B(
,0),C,D四点均在函数f(x)=log2
的图象上,若四边形ABCD为平行四边形,则四边形ABCD的面积是
A.
B.
C.
D.
8.设数列{an}的前n项和为Sn,当n∈N*时,an,n+
,an+1成等差数列,若Sn=2020,且a2<3,则n的最大值为
A.63B.64C.65D.66
二、多项选择题:
本题共4小题,每小题5分,共20分。
在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分。
9.2020年两会“部长通道”工信部部长表示,中国每周大概增加1万多个5G基站,4月份增加5G用户700多万人,5G通信将成为社会发展的关键动力,右图是某机构对我国未来十年5G用户规模的发展预测图。
则
A.2022年我国5G用户规模年增长率最高
B.2022年我国5G用户规模年增长户数最多
C.从2020年到2026年,我国的5G用户规模增长两年后,其年增长率逐年下降
D.这十年我国的5G用户数规模,后5年的平均数与方差都分别大于前5年的平均数与方差
10.如图已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,|φ|≤
)的图象与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,
,∠OCB=
,|OA|=2,|AD|=
。
则下列说法正确的有
A.f(x)的最小正周期为12B.φ=-
C.f(x)的最大值为
D.f(x)在区间(14,17)上单调递增
11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,过AB作一垂直于直线B1C的平面交平面ADD1A1于直线l,动点M在直线l上,则
A.B1C//l
B.B1C⊥l
C.点M到平面BCC1B1的距离等于线段AB的长度
D.直线BM与直线CD所成角的余弦值的最大值是
12.若存在实常数k和b,使得函数F(x)和G(x)对其公共定义域上的任意实数x都满足:
F(x)≥kx+b和G(x)≤kx+b恒成立,则称此直线y=kx+b为F(x)和G(x)的“隔离直线”,已知函数f(x)=x2(x∈R),g(x)=
(x<0),h(x)=2elnx(e为自然对数的底数),则
A.m(x)=f(x)-g(x)在x∈(-
,0)内单调递增
B.f(x)和g(x)之间存在“隔离直线”,且b的最小值为-4
C.f(x)和g(x)间存在“隔离直线”,且k的取值范围是[-4,1]
D.f(x)和g(x)之间存在唯一的“隔离直线”y=2
x-e
三、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.三封信随机放入两个不同的信箱中,共有n种方法,则(2x+
)n展开式的常数项为。
(用数字作答)
14.设a,b,c为单位向量,向量a与b的夹角为120°,则(a-c)·(b-c)的取值范围是。
15.已知点A,B关于坐标原点O对称,|AB|=2,以M为圆心的圆过A,B两点,且与直线y=1相切。
若存在定点P,使得当A运动时,|MA|-|MP|为定值,则点P的坐标为。
16.在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=2,二面角A-PB-C为直二面角,∠APB=2∠BPC(∠BPC<
),M,N分别为侧棱PA,PC上的动点,设直线MN与平面PAB所成的角为α。
当tanα的最大值为
时,则三棱锥P-ABC的体积为。
四、解答题:
本题共6小题,共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分10分)
在①数列{an}为等差数列,且a3+a7=18;②数列{an}为等比数列,且a2a6=64,a2a3<0;③Sn-1=an-1(n≥2)这三个条件中任选一个,补充到下面的问题中,并加以解答。
已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,。
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)是否存在正整数k∈{8,9,10},使Sk>512,若存在,求出相应的正整数k的值;若不存在,请说明理由。
注:
如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分。
18.(本小题满分12分)
在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,D在BC边上,且BD=2DC,若sin2A+sin2C-sin2B=
sinAsinC,c=2。
(I)求sinB的值;
(II)设∠BAD=α,∠DAC=β,若△ADC的面积为
,求
的值。
19.(本小题满分12分)
据相关部门统计,随着电商网购的快速普及,快递包装业近年来实现了超过50%的高速年均增长,针对这种大好形式,某化工厂引进了一条年产量为1000万个包装胶带的生产线。
已知该包装胶带的质量以某项指标值k为衡量标准。
为估算其经济效益,该化工厂先进行了试生产,并从中随机抽取了1000个包装胶带,统计了每个包装胶带的质量指标值k,并分成以下5组,其统计结果及产品等级划分如下表所示:
试利用该样本的频率分布估计总体的概率分布,并解决下列问题(注:
每组数据取区间的中点值):
(1)由频数分布表可认为,该包装胶带的质量指标值k近似地服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数
,σ近似为样本的标准差s,并已求得s≈10.03。
记X表示某天从生产线上随机抽取的30个包装胶带中质量指标值k在区间(50.54,80.63]之外的包装胶带个数,求P(X=1)及X的数学期望(精确到0.001);
(2)已知每个包装胶带的质量指标值k与利润y(单位:
元)的关系如下表所示:
(t∈(1,4))
假定该化工厂所生产的包装胶带都能销售出去,且这一年的总投资为5000万元(含引进生产线、兴建厂房等等一切费用在内),问:
该化工厂能否在一年之内通过生产包装胶带收回投资?
试说明理由。
参考数据:
若随机变量Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ 20.(本小题满分12分) 已知底面为正三角形的斜三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别是棱A1B1,AB的中点,点A1在底面投影为AC边的中点O,A1C∩AC1=P,A1F∩AE=G。 (1)证明: PG//平面A1B1C1; (2)若AB=6,AA1=5,点M为棱A1B1上的动点,当直线AM与平面A1FC所成角的正弦值为 时,求点M的位置。 21.(本小题满分12分) 已知抛物线C: y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F且垂直于x轴的直线交抛物线C于D,E两点,且|DE|=4。 (1)求抛物线C的方程; (2)设直线l过点A(2,0)且与抛物线C交于P,Q两点,点R在抛物线C上,点N在x轴上, ,直线PR交x轴于点B,且点B在点A的右侧,记△APN的面积为S1,△RNB的面积为S2,求 的最小值。 22.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=ex+e-x,其中e是自然对数的底数。 (1)若关于x的不等式mf(x)≤e-x+m-1在(0,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围; (2)已知正数a满足: 存在x∈[1,+∞),使得f(x0) 试比较ea-1与ae-1的大小,并证明你的结论。
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