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计算方法及答案docx
《计算方法》练习题一
一、填空题
1.理=3.14159…的近似值3.1428,准确数位是()。
2.满足f(a)=C,f(b)=d的插值余项R(X)=()。
3.设{Pk(x)}为勒让德多项式,则(F2(χ),P2(x))-()o
4•乘幕法是求实方阵()特征值与特征向量的迭代法。
5.欧拉法的绝对稳定实区间是()o
6.e=2.71828…具有3位有效数字的近似值是()。
7.用辛卜生公式计算积分[
fc()o
0VHx
8.设A(kJ0=(a(Z)第k列主兀为
aPkJ),则
a(PkA)
=()
10•已知迭代法:
Xn1=(Xn),(n=0,1,…)收敛,则:
(x)满足条件()。
、单选题
1•已知近似数a,b,的误差限;(a),;(b),则;(ab)=()。
A.E(a)E(b)B.E(a)+^(b)c.ag(a)+∣bw(b)d.aE(b)+'bw(a)
2.设f(x)=X2X,则f[1,2,3]=()。
A.l
B.2
C.3D
.4
3
.设A=
们
则化A为对角阵的平面旋转Q=
().
:
1
3一
π
π
π
π
A.—
B.—
C.—
D.—
2
3
4
6
4.
若双点弦法收敛,
则双点弦法具有(
)敛速.
A.线性
B.超线性
C.平方
D.三次
5
.改进欧拉法的局部截断误差阶是(
).
A.
o(h)
B
o(h2)C.
o(h3)D.
o(h4)
6
.近似数
a=
2
0.47820"0的误差限是()o
1一c-5
1_-4
1__3
1__2
A.
×10
B.×10
C.×10
D.×10
2
2
2
2
7
.矩阵A满足(
),则存在三角分解A=LR)
A.9
B
•5
C.—3
D.—5
9•设{Pk(x)}为勒让德多项式,
则
(p3(X),P5(X)^=()。
2
2
2
2
A.—E.
—
C.
一D.
5
7
9
11
三、计算题
'X1+X2
=3
1•求矛盾方程组:
*
x1+2x2
=4
的最小二乘解。
&已知X=(—1,3,-5)T,则X1=()。
X1-X2=2
21
2•用n=4的复化梯形公式计算积分-dx,并估计误差。
2x15x23x3=62x14x23x3=5o4x16x22x3=4
(求出X(I))o
「1〕
3
Jj
LIX
3•用列主元消元法解方程组:
4•用雅可比迭代法解方程组:
^4-10打
-14-1X2
.0一1^iLX3_i
5•用切线法求X3-4x∙1=0最小正根(求出X1)O
6•已知f(X)数表:
X
0
1
2
y
-2
0
4
求抛物插值多项式,并求f(0.5)近似值。
7.已知数表:
X
0
1
2
y
1
3.2
4.8
求最小二乘一次式。
111
8•已知求积公式:
f(x)dx:
A°f(-)Aif(O)A?
f()。
求A0,A1,A2,使其具
LjL22
有尽可能高代数精度,并指出代数精度。
410
9•用乘幕法求A=131的按模最大特征值与特征向量。
'014一
"y"=2x—y
10.用予估—校正法求初值问题:
Fy在x=0(0∙2)0∙4处的解。
.y(0)=1
四、证明题
1.证明:
若f"(X)存在,则线性插值余项为:
1、fF
R(X)(x-x0)(x-x1),X0:
:
:
:
x1。
2!
y"=—10y
2.对初值问题:
Jy『,当0 L.y(0)=1 3•设P(A)是实方阵A的谱半径,证明: P(A^llA 4•证明: 计算Va(a0)的单点弦法迭代公式为: Xni=CXna,n=0,1,…。 C+Xn 《计算方法》练习题二 一、填空题 1.近似数a=0.63500103的误差限是()。 2.设∣x∣>>1,则变形、.厂XrX=(),计算更准确。 Γx1+2x2=3一 3.用列主元消元法解: ,经消元后的第二个方程是()。 2x√h2x2=4 4.用高斯一赛德尔迭代法解4阶方程组,则x3m1^()。 5.已知在有根区间[a,b]上,f'(x),f''(X)连续且大于零,则取X。 满足(),则切线法 收敛。 1dx 7•用辛卜生公式计算积分 二、计算题 X 0 1 2 02x 8•若A=A。 用改进平方根法解Ax=b,则Ijk=()o 9•当系数阵A是()矩阵时,则雅可比法与高斯一赛德尔法都收敛。 10•若-λ2,且∣⅛>∣λJ(H≥3),则用乘幕法计算()o 二、选择题 1.已知近似数a的;r(a)=10/0,贝V;r(a3)=()。 A.10/0B.20/0C.30/0D.40/0 8•若 A, _1 11 4 则化A为对角阵的平面旋转角V-( 兀 兀 π A.一 B.— c.- 2 3 4 π D.— 6 2•设{Tκ(X)}为切比雪夫多项式,则CΓ2(X)∙T2(X))=()o 用插值法求f(x)=O在[0,2]的根。 2.已知数表 X 0 1 2 3 y 2.8 9.2 15.2 20.8 求最小二乘一次式。 3•用n=4的复化辛卜生公式计算积分 1dx 02.%,并估计误差。 310 4.用雅可比法求A 5.用欧拉法求初值问题 130的全部特征值与特征向量。 卫03一 VdV在X=0(0.1)0.2处的解。 求埃尔米特差值多项式 H(x)及其余项。 .y(0)-1 6已知函数表 X 1 2 y -1 0 Fy 0 2 3 7.求f(X)=X在[-1,1]上的最佳平方逼近一次式。 iy'=x—y 10•用欧拉法求初值问题: 在X=O(O∙1)0∙2处的解。 Iy(0)=ι 四、证明题 1∙证明: IlA∣∣—∣∣B∣∣勻A—B∣。 1a 2•证明: 计算5a的切线法迭代公式为: Xni(4xn∙r),n=0,1,... 5Xn 3•设∣o(x),.∙∙,In(X)为插值基函数,证明: n X∣k(χ)=1。 kz0 4•若IB: : 1。 证明迭代法: (m1)2 XX 3 (m) A --BXCm)b,m=0,1,...收敛。 3 《计算方法》练习题一答案 •填空题 102 2. j-a)(x—b) 2! 4•按模最大 102 7. 8. $•[-2,0] X2^1, 1 9.- a33 b3-a31x1m1732x2mJa34x4m> 10.f(X0)0 二•单选题 1.C2.A3.C4.E5.C 6.C7.D8.B9.B 3.计算题 1.(X1,X2)=(x「X2-3)2(X12x2-4)2(%-X2-2)2, 189 X2 714 2dx 1; 1[1 : 0.697, 解得X1 1 96 2435 T 123 → 224 4624 Ii 224 1i 11 3 6 2 6 2 5 3. 回代得: X =(-1,1,1)T 在[0,0.5]上, =0,由迭代公式: XnI=Xn 取X(O)=(1,1,1)T计算得: X(I)=(0.5,1.25,0.5)T。 5.因为f(0)=10,f(0.5)二―0.8750,所以X[0,0.5], f(x)=3χ2_4: : 0,f(x)=6x_0。 由f(x0)f(X)-0,选X0 X3-4x: 卜1 118881 []0.4062, 82910113 dx 02X MO ∣R(f)∣20.00132。 12×16768 9.因为 πa22=d1=3,a12=1门 所以: 子,0)T •、2T亍O)T 2=3,X2=(0,1,0)T 3 UI=4,X1L =2,X3= 计算得y1=1.1,y2=1.23。 4.证明题 1•设R(X)=k(x)(x-X0)(x-xj,g(t)=f⑴一L(t)一k(x)(t-x°)(t-xj,有 X0,X1,χ为三个零点。 应用罗尔定理,g(t)至少有一个零点 g()=f()-2! k(x)=0,k(x)=;! 。 2.由欧拉法公式得: yn-~n=卜OhnlyO-~0。 当0: : : h乞0.2时,则有 yn-~n≤y°-~0。 欧拉法绝对稳定。 3•因为A=(A-B)+B,A一A-BB, 所以A-B∣∙∙∣A-B, 又因为B=(B-A)+A,B乞B-A]亠IA 所以B-A-B-A=A-B BHAgA—B|| 4•因为计算5a等价求X5-a=O的实根, 5 xn—a Xn^Xn-4 5Xn 将f(x)=x5-a,f'(x)=5x4代入切线法迭代公式得: (4xn■-),n-0,1,...° 5Xn 《计算方法》练习题二答案 、填空题 5. 三、计算题 A+B=1 1231 ■=Bx1=—,解得: x1=-,B=-,A=—。 2344 所以“3,x1=彳0,子)T 2=3,X2=(0,1,0)T 「3,—子,0,子)丁 3- 所以求积公式为: Of(X)dx: jf(0)3f (2), 312 再设f(X)=X3,则左=右。 此公式具有3次代数精度。 49 9.因为f(0)=20,f(0∙5)=-0.375: : 0,故X[0,0.5],在[0,0.5]上, =maxf(x)=3,KRM^0.53: : : 1,应用双点弦法 19 迭代公式: Xn1=Xn (⅛⅛⅜≡⅛22.*得― 10.yn1 =0.1Xn0∙9yn,n=0,1, 由y°=1,计算得: % =0.9,y2=0.82o 四、证明题 1.设IX二= XP 则有1JXi2< ny 2n 2 Xp-Xi, i=i 1 所以有1 n ≤llxI 2.因为迭代函数是「(x)=X-: •f(X),「'(x)=1f'(x), 2 当0时则有一1: : : 1「二f'(x): : : 1,即 m1 |1f'(X)H'(X)LM,所以迭代法收敛。 (n1) 3.设f(X)=1,则有R(X)= (n+1)! ()S0, n 所以有'Ik(X)=f(x)=1o k=0 21 4.因为迭代矩阵为G-B,B<1, 33 2 1 2 T +-B <_ 3 3 3 所以G= 1 I;B<1,所以迭代法收敛。 3 1 &求积公式: .0f(x)dx、Af(0)Bf(X|),试求X1,A,B,使其具有尽可能高代数精度,并指出代数精度。 9.用双点弦法求X1*3-5x2=0的最小正根(求出X2)。
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