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第三章变量教材
第三章变量之间的关系
第1、2节用表格法和关系式法表示变量之间的关系
知识点聚焦
1.常量、变量、自变量、因变量的概念:
在—个变化过程中,可以取不同数值的量,叫做变量,数值保持不变的量叫做常量.如果有两个变量x,y,当x在一定范围内取一个数值时,y都有唯一确定的数值与其对应,那么通常称x是自变量,y是因变量.
注:
(1)“常量”是指在整个变化过程中保持不变的量,不能认为只要是字母就是变量.如匀速运动的小车的v就是常量.
(2)变量和常量是相对的,前提条件是在某一变化过程中,当变化过程发生改变时,变量和常量的角色可能会随之改变.
(3)在某一变化过程中,可能有一个或几个常量.但是必定有两个或两个以上变量.
表格法表示两个变量之间的关系:
通过列表格表示两个变量的关系,通常第一栏表示自变量,第二栏表示因变量。
通过观察因变量随自变量变化存在一定的规律,从而对趋势和结果做出预测。
优点:
直观明了,一眼就能看出因变量随自变量的变化趋势、
缺点:
不能全面反映两个变量之间的关系,只能反应其中一部分。
注:
表格反应变量之间的关系时,必须保证数据的真实性,以及自变量取值排列的顺序性。
2.关系式表示变量之间的关系
表示自变量与因变量之间关系的式子就叫做关系式。
列关系式即根据自变量与因变量之间的等量关系列出以这两个变量为未知数的方程。
注
(1)表示两个变量的关系式一定是等式。
(2)等号的左边是因变量,且其系数为1,右边是关于自变量的代数式.
(3)关系式中只含有自变量和因变量这两个变量,其他的量都是常量。
(4)自变量可以在允许的范围内任意取值。
第3节用图像法表示变量之间的关系
知识点聚焦
图像法表示变量之间的关系:
用图像来表示两个变量之间关系,水平方向的数轴上的点表示自变量,竖直方向上的数轴上的点表示因变量。
优点:
直观形象地反映出事物的变化趋势和过程。
缺点:
利用图像求自变量和因变量的对应值只能是近似值。
注:
(1)如果图像某部分或整体呈上升趋势,则在该部分因变量随自变量增大而增大。
(2)如果图像某部分或整体呈下降趋势,则在该部分因变量随自变量增大而减小。
(3)如果两个变量之间的关系随自变量的变化而变化,反映在图像上就是分段图像。
分段图像以拐点为分界点,弄清每一段图像的意义。
例1.在一次实验中,春雨把—根弹簧的上端固定,在其下端悬挂物体,下面是测得的弹簧的长度y与所挂物体的质量x的一组对应值:
所挂重量x(kg)
0
1
2
3
4
5
弹簧长度y(cm)
20
22
24
26
28
30
(1)上述表格反映了哪两个变量之间的关系?
哪个是自变量?
哪个是因变量?
(2)当所挂重物为4kg时,弹簧多长?
不挂重物呢?
(3)若所挂重物为6kg时(在弹簧的允许范围内),你能说出此时弹簧的长度吗?
分析:
抓住表格中的对应数据,找出变量之间的规律.
解:
(1)弹簧长度y,物体重量x是变量,物体重量是自变量,弹簧长度是因变量;
(2)当所挂重物为4kg时,弹簧长度为28cm,不挂重物时弹簧长度为20cm;
(3)当所挂重物为6kg时,弹簧长度为32cm.
例2、声音在空气中传播的速度y(米/秒)(简称音速)与气温x(℃)之间的关系如下:
气温x(℃)
0
5
10
15
20
音速y(米/秒)
331
334
337
340
343
从表中可知音速y随温度x的升高而__________.在气温为20℃的一天召开运动会,雅琪看到发令枪的烟0.2秒后,听到了枪声,则由此可知,这个人距发令地点__________米。
分析:
找到具体温度时声音的传播速度乘以时间即可得到距离。
例3、某租书店开设两种租书方式:
一种是零星租书,每本收费1元;另一种是会员卡租书,办卡费每月12元,租书费每本0.4元.海涵经常来该书店租书,若每月租书数量为x张.
(1)写出零星租书方式应付金额y(元)与租书数量x(张)之间的关系式;
(2)写出会员卡租书方式应付金额y(元)与租书数量x(张)之间的关系式;
(3)当x=22张时,海涵选取哪种租书方式更合算。
分析:
要求y与x之间的关系,应该先看是以哪种方式租书,零星租书不需要付月卡费,租一本,付一本的费用,单本的费用较高;月卡租书要付月卡费,并且每一本也要付一定的费用,只是单本的费用较低。
当x=22时,分别代入两个关系式即可知道哪种方式租书更便宜。
例4、贵阳市出租车收费标准如下:
3km以内(包含3km)收费8元,超过3km的部分每千米收费1.6元,超过5km后,每千米还要增收0.8元的返程费。
(1)写出当
时应收费y(元)与出租车行驶路程x(km)之间的关系式。
(2)写出当
时应收费y(元)与出租车行驶路程x(km)之间的关系式。
(3)楚昂乘车行驶了6km,应付车费多少元?
(4)晨希乘车花了35.2元,他乘车行驶了多少千米?
(5)若出租车的计费表在超过3km以后每500m跳一次,雅楠乘车花了24.4元,她最远可以坐多少m?
(取整数)
分析:
对于前四个小问,可根据3km和5km两个距离将车费的范围分成三个部分:
小于等于3km时,车费都是8元;大于3km小于等于5km时,车费是到达3km时的8元再加上超过3km部分,每公里1.6元;大于5km时,车费为到达5km时8+1.6×2=11.2元,再加超过5km部分,每公里2.4元。
解:
(1)y=8+1.6x
(2)y=11.2+2.4x
(3)11.2+2.4=13.6(元)
(4)5+(35.2-11.2)÷2.4=15km
(5)5+(24.4-11.2)÷2.4=10.5km=10500m,∵要满500m才会再跳表,所以最多再走499m车费任然不变。
∴最远可以坐10500+499=10999m
例5.如图3-1-1所示的曲线表示程瑞骑一辆自行车时离家的距离与时间的关系.他九点离开家,十五点回家.根据这个曲线图,回答下列问题:
(1)到达离家最远的地方是什么时间?
离家多远?
(2)何时开始第一次休息?
休息多长时间?
(3)第一次休息时离家多远?
(4)11:
00到12:
00他骑了多少千米?
(5)他在9:
00到10:
00和10:
00到10:
30的平均速度是多少?
(6)他在何时至何时停止前进并休息用午餐?
(7)他在停止前进后返回,骑了多少千米?
返回时的平均速度是多少?
解:
(1)到达离家最远的地方的时间是12时,离家30km;
(2)10.5时开始第一次休息,休息了0.5h;
(3)第一次休息时离家17.5km;
(4)11:
00到12:
00,他骑了12.5km;
(5)9:
00到10:
00的平均速度是l0km/h,10:
00到10:
30的平均速度是15km/h;
(6)从12:
00到13:
00间停止前进,并休息用午餐较为符合实际情况;
(7)他在停止前进后返回,骑了30km,共用了2h,故返回时的平均速度是15km/h.
例6.如图3-1-2表示一骑自行车者和一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程的函数图象(分别为正比例函数和一次函数).两地间的距离是80km.请你根据图象回答或解决下面的问题:
(1)谁出发的较早?
早多长时间?
谁到达乙地较早?
早到多长时间?
(2)两人在途中行驶的速度分别是多少?
(3)请你分别求出表示自行车和摩托车行驶过程的路程y(km)与时间x(h)的关系式
(4)指出在什么时间段内两车均行驶在途中(不包括端点);在这一时间段内,请你分别按下列条件列出关于时间x的方程或不等式(不要化简,也不要求解):
①自行车行驶在摩托车前面;
②自行车与摩托车相遇;
③自行车行驶在摩托车后面.
解:
(1)由图可以看出:
自行车出发较早,早3h;摩托车到达乙地较早,早3h.
(2)对自行车而言:
行驶的距离是80km,耗时8h,所以其速度是:
80÷8=10(km/h);对摩托车而言:
行驶的距离是80km,耗时2h,所以其速度是:
80÷2=40(km/h).
(3)设表示自行车行驶过程的函数解析式为:
y=kx,
∵x=8时,y=80,
∴80=8k,解得k=10,
∴表示自行车行驶过程的关系式为y=10x;
设表示摩托车行驶过程的关系式为y=x+b,
∵x=3时,y=0,而且x=5时,y=80;
∴
,解得
∴表示摩托车行驶过程的关系式为y=40x-120.
(4)在3 ①自行车在摩托车前面: 10x>40x-120, ②两车相遇: 10x=40x-120, ③自行车在摩托车后面: 10x<40x-120. 例7.小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到宁波天一阁查阅资料,学校与天一阁的路程是千米,小聪骑自行车,小明步行,当小聪从原路回到学校时,小明刚好到达天一阁,图中折线和线段分别表示两人离学校的路程(千米)与所经过的时间(分钟)之间的关系,请根据图象回答下列问题: (1)小聪在天一阁查阅资料的时间为_________分钟,小聪返回学校的速度为_________千米分钟. (2)请你求出小明离开学校的路程(千米)与所经过的时间(分钟)之间的关系; (3)当小聪与小明迎面相遇时,他们离学校的路程是多少千米? 课堂练习 A类 1.从空中落下一个物体,它降落的速度随时间的变化而变化,即落地前速度随时间的增大而逐渐增大,这个问题中自变量是( ) A.物体 B.速度 C.时间 D.空气 排数 1 2 3 4 座位数 60 64 68 72 2.某电影院地面的一部分是扇形,座位按下列方式设置: (1)上述哪些量在变化? 自变量和因变量分别是什么? (2)第5排、第6排各有多少个座位? (3)第n排有多少个座位? 请说明你的理由。 3.弹簧挂上物体后会伸长,已知一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表: 物体的质量 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度 12 12.5 13 13.5 14 14.5 (1)上表反映的变量之间的关系中哪个是自变量? 哪个是因变量? (2)当所挂物体是 时,弹簧的长度是多少? 不挂重物时呢? (3)当物体的质量为 时,你知道弹簧的长度为多少吗? . 4.容积为800升的水池内已贮水200升,若每分钟注入的水量是15升,设池内的水量为Q(升),注水时间为t(分). (1)请写出Q与t之间的关系式. (2)注水多长时间可以把水池注满? (3)当注水时间为0.2小时时,池中水量是多少? 5.秋月骑车上学,一开始以某一速度行进,途中车子发生故障,只好停下修车,车修好后,因怕耽误时间,于是加快了车速.如用s表示秋月离家的距离,t为时间.在下面给出的表示s与t的关系图3-7中,符合上述情况的是( ) 6.一列快车从甲地驶往乙地,一列特快车从乙地驶往甲地,快车的速度为100千米/小时,特快车的速度为150千米/小时,甲乙两地之间的距离为1000千米,两车同时出发,则图中折线大致表示两车之间的距离y(千米)与快车行驶时间(小时)之间关系的图象是( ) B类 7.百货大楼进了一批花布,出售时要在进价(进货价格)的基础上加一定的利润,其数量x与售价y如下表: 数量x米 1 2 3 4 … 售价y元 下列用数量x表示售价y的关系中,正确的是( ) A. B. C.D. 8.雯悦利用计算机设计了一个程序,输入和输出的数 据如下表: 输入 … 1 2 3 4 5 … 输出 … … 那么,当输入数据8时,输出的数据是(). A. B. C. D. 9.观察下列图形(图3-1-3),若第①个图形中阴影部分的面积为1,第②个图形中阴影部分的面积为 ,第③个图形中阴影部分的面积为 ,第④个图形中阴影部分的面积为 ,…则第n个图形中阴影部分的面积为________(用字母n表示) 10.开智培训学校为筹备校庆活动 ,准备印制一批校庆纪念册。 该纪念册每册需要10张8K大小的纸,其中4张为彩页,6张为黑白页。 印制该纪念册的总费用由制版费和印刷费两部分组成,制版费与印数无关,价格为: 彩页300元/张,黑白页50元/张;印刷费与印数的关系见下表. 印数a(单位: 千册) 1≤a<5 5≤a<10 彩色(单位: 元/张) 2.2 2.0 黑白(单位: 元/张) 0.7 0.6 (1)写出所需费用y(元)与印数a(千册)之间的关系式 (2)若印制2千册,则共需多少费用? (3)若印制6千册,则共需多少费用? 11.观察图中的图形和所给表格中的数据后回答问题: 梯形个数n 1 2 3 4 5 … 图形周长l 5 8 11 14 17 … (1)上述表格反映了哪两个变量之间的关系? 哪个是自变量? (2)估计n=10时,图形周长为多少? (3) 要使图形周长达到200,需要多少个小梯形? 用同样的梯形能否使拼成的图形周长为2014? 为什么? 12.均匀地向一个瓶子注水,最后把瓶子注满,在注水的过程中,水面高度h随时间的t的变化规律如图,则这个瓶子的形状是() D C B A 13.林浩从家门口骑车去单位上班,先走平路到达点A,再走上坡路到达点B,最后走下坡路到达工作单位,所用的时间与路程的关系如图3-1-4所示.下班后,如果他沿原路返回,且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致,那么他从单位到家门口需要的时间是________分钟. 14.某城市为了节约用水,采用分段收费标准,若某户居民每月应交水费y(元)与用水量x(吨)之间关系的图象如图所示,根据图象回答下列问题: (1)每月用水不足5吨(包含5吨)时,每吨收费元;超过5吨时,超过部分每吨收费元; (2)若某户居民3月份用水4.5吨,则应交水费多少元? (3)小明家上个月交水费17元,用水量是多少吨? C类 15.一杯放入事先没有水的大圆柱形容器内,现用一注水管沿大容器内壁匀速注水,则小水杯内水面的高度 与注水时间 的关系用图象表示大致为( )。 16.如图3-1-5,北京市人民广场为庆祝“十一”国庆节,用花盆摆出了许多漂亮的图案.其中一部分图案是由若干盆花组成的形如正多边形的图案,每条边(包括两个顶点)有n(n>2)盆花,每个图案中花盆总数S,按图的排列规律推断S与n的关系式是什么? 3-1-5 17.某市电力公司为了鼓励居民用电,采用分段计费的方法计算电费: 每月不超过100度时,按每度0.57元计费;每月用电超过100度时,其中的100度按原标准收费;超过部分按每度0.50元计费. (1)设用电 度时,应交电费 元,当 ≤100和 >100时,分别写出 与 的关系式. (2)小王家第一季度交纳电费情况如下: 月份 二月份 三月份 合计 交费金额 63元 45元6角 184元6角 问小王家第一季度共用电多少度? 18.A市与B市分别有库存某种机器12台和6台,现决定支援C市10台和D市8台,已知从A市调运到C市、D市的运费分别为每台400元和800元,从B市调运到C市、D市每台300元和500元. (1)设B市运往C市机器x台,求运费y与x之间的关系式; (2)若总运费不超过9千元,问有几种调运方案? (3)求出总运费最低的调运方案,最低运费是多少元? 19.已知动点P以每秒2cm的速度沿如图所示的边框从 的路径移动,相应的 DE面积S关于t的变化图象如图所示,若AB=6cm,试回答下列问题 1)如图甲,BC的长是多少? 图形面积是多少? 如图乙,图中a是多少? b是多少? O 20.一列快车从甲地驶往乙地,一列慢车从乙地驶往甲地,两车同时出发,设慢车行驶的时间为x(h),两车之间的距离为y(km),如图3-1-6所示,图中的折线表示y与x之间的关系,根据图像进行以下探究, 信息读取 (1)甲、乙两地之间的距离为______km (2)请解释图中B点的意义: (3)求慢车和快车的速度, (4)求线段BC所表示的y与x之间的关系式,并写出自变量x的取值范围; (5) 若第二列快车也冲甲地出发驶往乙地,速度与第一列快车相同,在第一列快车与慢车相遇30分钟后,第二列快车与慢车相遇,求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时?
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