含绝对值的不等式解法练习题及答案.docx
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含绝对值的不等式解法练习题及答案
含绝对值的不等式解法练习题及答案
例1不等式|8-3x|>0的解集是
[]
答选C.
例2绝对值大于2且不大于5的最小整数是
[]
A.3 B.2
C.-2 D.-5
分析列出不等式.
解根据题意得2<|x|≤5.
从而-5≤x<-2或2<x≤5,其中最小整数为-5,
答选D.
例3不等式4<|1-3x|≤7的解集为________.
分析利用所学知识对不等式实施同解变形.
解原不等式可化为4<|3x-1|≤7,即4<3x-1≤7或-7
例4已知集合A={x|2<|6-2x|<5,x∈N},求A.
分析转化为解绝对值不等式.
解∵2<|6-2x|<5可化为
2<|2x-6|<5
因为x∈N,所以A={0,1,5}.
说明:
注意元素的限制条件.
例5实数a,b满足ab<0,那么
[]
A.|a-b|<|a|+|b|
B.|a+b|>|a-b|
C.|a+b|<|a-b|
D.|a-b|<||a|+|b||
分析根据符号法则及绝对值的意义.
解∵a、b异号,
∴|a+b|<|a-b|.
答选C.
例6设不等式|x-a|<b的解集为{x|-1<x<2},则a,b的值为
[]
A.a=1,b=3
B.a=-1,b=3
C.a=-1,b=-3
分析解不等式后比较区间的端点.
解由题意知,b>0,原不等式的解集为{x|a-b<x<a+b},由于解集又为{x|-1<x<2}所以比较可得.
答选D.
说明:
本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组.
例7解关于x的不等式|2x-1|<2m-1(m∈R)
分析分类讨论.
x<m.
{x|1-m<x<m}.
说明:
分类讨论时要预先确定分类的标准.
分析一般地说,可以移项后变形求解,但注意到分母是正数,所以能直接去分母.
解注意到分母|x|+2>0,所以原不等式转化为2(3-|x|)≥|x|+2,整理得
说明:
分式不等式常常可以先判定一下
分子或者分母的符号,使过程简便.
例9解不等式|6-|2x+1||>1.
分析以通过变形化简,把该不等式化归为|ax+b|<c或|ax+b|>c型的不等式来解.
解事实上原不等式可化为
6-|2x+1|>1
①
或6-|2x+1|<-1
②
由①得|2x+1|<5,解之得-3<x<2;
由②得|2x+1|>7,解之得x>3或x<-4.
从而得到原不等式的解集为{x|x<-4或-3<x<2或x>3}.
说明:
本题需要多次使用绝对值不等式的解题理论.
例10已知关于x的不等式|x+2|+|x-3|<a的解集是非空集合,则实数a的取值范围是________.
分析可以根据对|x+2|+|x-3|的意义的不同理解,获得多种方法.
解法一当x≤-2时,不等式化为-x-2-x+3<a即-2x+1<a有解,而-2x+1≥5,
∴a>5.
当-2<x≤3时,不等式化为x+2-x+3<a即a>5.
当x>3是,不等式化为x+2+x-3<a即2x-1<a有解,而2x-1>5,∴a>5.
综上所述:
a>5时不等式有解,从而解集非空.
解法二|x+2|+|x-3|表示数轴上的点到表示-2和3的两点的距离之和,显然最小值为3-(-2)=5.故可求a的取值范围为a>5.
解法三利用|m|+|n|>|m±n|得
|x+2|+|x-3|≥|(x+2)-(x-3)|=5.
所以a>5时不等式有解.
说明:
通过多种解法锻炼思维的发散性.
例11解不等式|x+1|>2-x.
分析一对2-x的取值分类讨论解之.
解法一原不等式等价于:
由②得x>2.
分析二利用绝对值的定义对|x+1|进行分类讨论解之.
解法二因为
原不等式等价于:
例12解不等式|x-5|-|2x+3|<1.
分析设法去掉绝对值是主要解题策略,可以根据绝对值的意义分
-(x-5)+(2x+3)<1,得x<-7,所以x<-7;
-(x-5)-(2x+3)<1,
当x>5时,原不等式可化为
x-5-(2x+3)<1,
解之得x>-9,所以x>5.
说明:
在含有绝对值的不等式中,“去绝对值”是基本策略.
例13解不等式|2x-1|>|2x-3|.
分析本题也可采取前一题的方法:
采取用零点分区间讨论去掉绝
之,则更显得流畅,简捷.
解原不等式同解于
(2x-1)2>(2x-3)2,
即4x2-4x+1>4x2-12x+9,
即8x>8,得x>1.
所以原不等式的解集为{x|x>1}.
说明:
本题中,如果把2x当作数轴上的动坐标,则|2x-1|>|2x-3|表示2x到1的距离大于2x到3的距离,则2x应当在2的右边,从而2x>2即x>1.
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