春人教版八年级数学下册教案192 一次函数.docx
- 文档编号:23851210
- 上传时间:2023-05-21
- 格式:DOCX
- 页数:33
- 大小:127.69KB
春人教版八年级数学下册教案192 一次函数.docx
《春人教版八年级数学下册教案192 一次函数.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《春人教版八年级数学下册教案192 一次函数.docx(33页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
春人教版八年级数学下册教案192一次函数
19.2 一次函数
19.2.1 正比例函数
1.初步理解正比例函数的概念及其图象的特征.
2.能够画出正比例函数的图象.
3.能够判断两个变量是否能够构成正比例函数关系.
4.能够利用正比例函数解决简单的数学问题.
重点
理解正比例函数的概念,并掌握正比例函数的图象和性质.
难点
运用正比例函数解决简单的问题.
一、创设情境,导入新课
[活动1]
鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥(候鸟)套上标志环;大约128天后,人们在2.56万千米外的澳大利亚发现了它.
(1)这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米?
(2)这只燕鸥飞行一个半月(一个月按30天计算)的行程大约是多少千米?
(3)这只燕鸥的行程y(单位:
千米)与飞行时间x(单位:
天)之间有什么关系?
让学生在地图上找出芬兰和澳大利亚的位置,并将两处用直线连接.然后思考并解答上述问题.
学生稍作思考,自主解决三个问题:
①燕鸥每天飞行的路程;
②燕鸥总行程y(千米)与飞行时间x(天)的关系式:
y=200x.
③燕鸥飞行一个半月的行程.
老师提示:
这里用函数y=200x对燕鸥的飞行路程问题进行刻画,尽管只是近似的,但它反映了燕鸥的行程与时间之间的对应规律.
教师应重点关注:
学生对飞行总路程与飞行时间的函数关系的理解;
学生能否正确指出自变量、自变量的函数、自变量的取值范围.
二、合作交流,探究新知
[活动2]
教材思考题有4个实例,这些实际问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示?
这些函数有什么共同点?
教师出示四个实例问题(用投影仪),要求学生:
(1)能找出变量对应表达式;
(2)能说出表达式中的自变量,自变量的函数.
学生自主探究,分组讨论,然后分小组代表回答问题,教师对回答的问题进行评价.
教师提问:
l=2πr中,字母π是变量吗?
引导学生观察、分析上面4个函数的表达式的共性:
都是常数与自变量乘积的形式.
教师口述并板书正比例函数的概念.
(1)你能举出一些正比例函数的例子吗?
(2)表示梯形的面积和圆的面积的函数式是否是正比例函数关系?
什么情况下不是?
①S=
(a+b)h.
②S=πr2.
教师让学生看书,并提问:
这里为什么强调k是常数,k≠0?
学生讨论,回答并补充.
教师应重点关注:
(1)不要认为表达式中的字母都是表示变量.
(2)对自变量的取值范围是否能分析清楚.
(3)是否概括出了这几个函数的共同特点.
学生举例时教师要提醒:
(1)举出实际问题;
(2)能对其中的自变量、比例系数、函数关系进行解释.
对举例不是正比例函数的要认真分析.
[活动3]
(1)我们知道了怎样用解析式表示正比例函数,能否用图象表示它呢?
怎样在直角坐标系中画出正比例函数y=2x和y=-2x的图象?
(2)观察分析两个图象的异同.
两图象都经过________,两图象都是________,函数y=2x的图象从左向右呈________,经过第________象限;函数y=-2x的图象从左向右呈________,经过第________象限.
巩固练习:
在同一坐标系中画出y=
x和y=-
x的图象.
教师在黑板上演示用描点法画出例1
(1)y=2x的图象.
应注意:
(1)操作规范,有示范性.
(2)要师生同画.
要学生独立画出例1
(2)y=-1.5x的图象.
应注意:
(1)评价学生所画的图象;
(2)与学生一起总结画图象的主要步骤:
列表、描点、连线.
[活动4]
1.从以上作图过程可以发现正比例函数的图象有什么特征?
2.经过原点与点(1,k)的直线是哪个函数的图象?
教师在画图过程中进行指导,学生画完图后,让学生讨论回答这两个图象的特点,与上面的两个特点相比较.
让学生根据讨论的结果概括、归纳出正比例函数图象特征,教师板书写出正比例函数图象的特征.
此处,教师应重点关注:
(1)学生是否通过对正比例函数解析式观察分析,发现:
当k>0时,函数y与自变量x同号;当k<0时,函数y与自变量x异号.
(2)学生对正比例函数图象观察分析,发现其图象是一个随x增大而增大或减小的直线.
让学生讨论是否可行.
应注意:
提醒学生从解析式入手,当x=0或x=1时,函数y的值分别是几?
(2)正比例函数的图象为什么一定过(0,0)和(1,k)两点?
(3)因为两点可以确定一条直线,因此,画正比例函数的图象时只需过原点(0,0)和(1,k)画一条直线即可.
3.用你认为最简单的方法画出正比例函数的图象.
学生练习用“两点法”画图象,教师辅导的同时让两名学生在黑板上画.
此时应注意:
(1)学生画图是否用“两点法”;
(2)这两点是否最简单.(关键是k的取值)
三、运用新知,深化理解
例1 在下列各图象中,表示函数y=-kx(k<0)的图象的是( )
【分析】∵k<0,∴-k>0,∴函数y=-kx(k<0)的值随自变量x的增大而增大,且函数为正比例函数.故选C.
【方法总结】要知道正比例函数的图象是过原点的直线,且当k>0时,图象过第一、三象限;当k<0时,图象过第二、四象限.
例2 关于函数y=
x,下列结论中,正确的是( )
A.函数图象经过点(1,3)
B.不论x为何值,总有y>0
C.y随x的增大而减小
D.函数图象经过第一、三象限
【分析】A.当x=1时,y=
,故A选项错误;B.只有当x>0时,y>0,故B选项错误;C.∵k=
>0,∴y随x的增大而增大,故C选项错误;D.∵k=
>0,∴函数图象经过第一、三象限,故D选项正确.故选D.
【方法总结】解题的关键是了解正比例函数的比例系数的符号与正比例函数的关系及其增减性.
例3 已知正比例函数y=(m-1)x的图象上两点A(x1,y1),B(x2,y2),当x1<x2时,有y1>y2,那么m的取值范围是( )
A.m<1 B.m>1 C.m<2 D.m>0
【分析】根据题意,y随x的增大而减小,则m-1<0,即m<1.故选A.
【方法总结】直线y=kx所在的位置与k的符号有直接的关系:
k>0时,直线必经过第一、三象限,y随x的增大而增大;k<0时,直线必经过第二、四象限,y随x的增大而减小.
例4 已知正比例函数y=kx图象经过点(3,-6),求:
(1)这个函数的解析式;
(2)判断点A(4,-2)是否在这个函数图象上;
(3)图象上两点B(x1,y1)、C(x2,y2),如果x1>x2,比较y1,y2的大小.
【分析】
(1)利用待定系数法把(3,-6)代入正比例函数y=kx中计算出k即可得到解析式;
(2)将A点的横坐标代入正比例函数关系式,计算函数值,若函数值等于-2,则A点在这个函数图象上,否则不在这个函数图象上;(3)根据正比例函数的性质:
当k<0时,y随x的增大而减小,即可判断.
解:
(1)∵正比例函数y=kx经过点(3,-6),∴-6=3·k,解得k=-2,∴这个正比例函数的解析式为y=-2x;
(2)将x=4代入y=-2x得y=-8≠-2,∴点A(4,-2)不在这个函数图象上;
(3)∵k=-2<0,∴y随x的增大而减小.∵x1>x2,∴y1<y2.
【方法总结】将A点的横坐标代入正比例函数关系式,求出函数值,再进一步判定是解决问题的关键.
四、课堂练习,巩固提高
1.教材P87及P89练习.
2.教师指导学生完成《·高效课堂》相关作业.
五、反思小结,梳理新知
1.正比例函数的图象.
2.正比例函数的性质.
3.正比例函数解析式的确定.
六、布置作业
1.学生完成《·高效课堂》相关作业.
2.教材P98习题19.2第1,2题.
19.2.2 一次函数
第1课时 一次函数的定义
1.理解一次函数的概念以及它与正比例函数的关系.
2.能根据问题的信息写出一次函数的表达式,能利用一次函数解决简单的问题.
重点
1.一次函数的概念.
2.根据已知信息写出一次函数的表达式.
难点
理解一次函数的定义及与正比例函数的关系.
一、创设情境,导入新课
复习与反思
1.复习:
函数和正比例函数的概念是什么?
2.问题:
某登山队大本营所在地的气温为5℃,海拔每升高1km气温下降6℃.登山队员由大本营向上登高xkm时,他们所处位置的气温是y℃.试用解析式表示y与x的关系.
3.这个函数是正比例函数吗?
它与正比例函数有什么不同?
这种形式的函数你见过吗?
要针对出现的问题进行评价.
根据学生的回答板书解析式(y=-6x+5).
根据学生的意见,适时引导与正比例函数的区别与联系.
小组内叙述,其他成员补充.
二、合作交流,探究新知
一次函数概念的形成.
1.下列变量间的对应关系可用怎样的函数表示?
它们又有什么共同特点?
出示教材P90的“思考”
(1)~(4).
2.如果我们用b来表示这个常数的话.这些函数表达形式可以写成什么形式?
什么叫做一次函数?
3.当一次函数y=kx+b中,b=0时,一次函数变为什么函数?
一次函数与正比例函数有何关系?
逐一出示题目.
教师正确地得出关系式.
引导学生从解析式的形式上找共同点.
师生共同归纳得其特点:
它们的形式与y=-6x+5一样,函数的形式都是自变量x的k倍与一个常数的和.
教师给出一次函数的定义.
此处教师应关注:
理解一般式y=kx+b应注意:
(1)k,b的取值范围.
(2)自变量的取值范围为全体实数.(3)b可以为零.
正比例函数实质是特殊的一次函数.
认真审题进行解答比赛.
观察比较,类比正比例函数定义得出的方法.
思考正比例函数与一次函数之间的关系,明确正比例函数是一次函数的特例.
练习:
下列函数中哪些是一次函数,哪些又是正比例函数?
(1)y=-8x;
(2)y=
;
(3)y=5x2+6;(4)y=-0.5x-1.
教师注意:
(1)正比例函数是自变量与函数的积;
(2)自变量的次数都为1.
应根据定义回答.
与定义作比较,再作出判断.
三、运用新知,深化理解
例1 下列函数是一次函数的是( )
A.y=-8x B.y=-
C.y=-8x2+2D.y=-
+2
【分析】A.它是正比例函数,属于特殊的一次函数,正确;B、C、D自变量次数都不为1,不是一次函数,均错误.故选A.
【方法总结】一次函数解析式的结构特征:
k≠0;自变量的次数为1;常数项b可以为任意实数.
例2 已知y=(m-1)x2-|m|+n+3.
(1)当m,n取何值时,y是x的一次函数?
(2)当m,n取何值时,y是x的正比例函数?
【分析】
(1)根据一次函数的定义,m-1≠0,2-|m|=1,据此求解即可;
(2)根据正比例函数的定义,m-1≠0,2-|m|=1,n+3=0,据此求解即可.
解:
(1)根据一次函数的定义得2-|m|=1,解得m=±1.又∵m-1≠0即m≠1,∴当m=-1,n为任意实数时,这个函数是一次函数;
(2)根据正比例函数的定义得2-|m|=1,n+3=0,解得m=±1,n=-3.又∵m-1≠0即m≠1,∴当m=-1,n=-3时,这个函数是正比例函数.
【方法总结】一次函数解析式y=kx+b的结构特征:
k≠0,自变量的次数为1,常数项b可以为任意实数.正比例函数y=kx的解析式中,比例系数k是常数,k≠0,自变量的次数为1.
例3 写出下列各题中y与x的函数关系式,并判断y是否是x的一次函数或正比例函数?
(1)某村耕地面积为106(平方米),该村人均占有耕地面积y(平方米)与人数x(人)之间的函数关系;
(2)地面气温为28℃,如果高度每升高1km,气温下降5℃,气温x(℃)与高度y(km)之间的函数关系.
【分析】
(1)根据人均占有耕地面积y等于总面积除以总人数得出即可;
(2)根据高度每升高1km,气温下降5℃,得出28-5y=x求出即可.
解:
(1)根据题意得y=
,不是一次函数;
(2)根据题意得28-5y=x,则y=-
x+
,是一次函数.
【方法总结】根据实际问题确定一次函数关系式关键是读懂题意,建立一次函数的数学模型来解决问题.需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定.
四、课堂练习,巩固提高
1.教材P90~91练习.
2.教师指导学生完成《·高效课堂》相关作业.
五、反思小结,梳理新知
1.一次函数的定义.
2.一次函数与正比例函数的区别和联系.
3.根据实际问题求一次函数解析式.
六、布置作业
1.学生完成《·高效课堂》相关作业.
2.教材P99习题19.2第3,6,8题.
第2课时 一次函数的图象与性质
1.理解直线y=kx+b与y=kx直线之间的位置关系.
2.会选择两个合适的点画出一次函数的图象.
3.掌握一次函数的性质.
重点
会用两点法画出正比例函数和一次函数的图象,并能结合图象说出正比例函数和一次函数的性质.
难点
能运用性质、图象及数形结合思想解决相关函数问题.
一、创设情境,导入新课
问题
1.什么叫正比例函数、一次函数?
它们之间有什么联系?
2.正比例函数图象形状是什么样的?
3.正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)中,k的正负对函数的图象有什么影响?
教师展示问题后,学生口答,师生共评,纠正问题.
教师应重点注意:
(1)学生参与活动的意识及勇气;
(2)能否理解直线变化趋势(形)与函数的性质(数)之间的对应关系.
二、合作交流,探究新知
问题
1.画图:
用描点法在同一坐标系中画出函数y=-6x,y=-6x+5的图象;
2.观察:
比较上面两个函数图象的相同点和不同点,根据你的观察结果回答下列问题:
(1)这两个函数图象的形状都是________,并且倾斜程度都________,它们的位置________;
(2)函数y=-6x的图象经过原点,函数y=-6x+5的图象与y轴交于点________,即可以看作由直线y=-6x向________平移________个单位长度而得到;
(3)比较两个函数的解析式,试由此解释两个函数图象的位置关系.
3.拓展延伸:
(1)所有一次函数的图象都是直线吗?
(2)直线y=kx与直线y=kx+b之间存在着怎样的位置关系?
(3)由直线y=kx可经过怎样的平移得到直线y=kx+b?
学生对应描点、画图,并通过观察、比较两个函数图象完成例2后,对问题2进行推广.
教师对学生的观察、推广等结果进行适时的评价,在此基础上,师生共同得出:
(1)一次函数的图象y=kx+b也是一条直线,我们称它为直线y=kx+b;
(2)直线y=kx与直线y=kx+b互相平行;
(3)直线y=kx+b可以由直线y=kx平移|b|个单位而得到.
教师应重点注意:
(1)学生在描点的过程中,是否注意到了几组对应点的位置变化规律;
(2)学生能否通过解析式对“平移”作出解释;(3)为什么说平移|b|个单位,而不说b个单位.
在同一坐标系中画出函数y=2x-1与y=-0.5x+1的图象.
学生独立用两个点画出函数的图象,同桌交流;体验选点的差异性和图象的一致性.
教师应指出:
虽然同学们所选的点不一样,但画出的图象却是一致的,通常选取点(0,b),
这两个点,教师应注意引导选择合适的点.
1.探究:
在同一坐标系中画出函数y=x+1,y=-x+1,y=2x+1,y=-2x+1的图象.
2.观察上面四个函数的图象,类比正比例函数y=kx的图象中的k的正负对函数图象有什么影响,探究一次函数y=kx+b中的k的正负对函数图象有什么影响,并在此基础上表述一次函数的性质.
学生画出函数的图象,并通过观察、比较后,对问题2进行讨论.
师生共同归纳:
(1)当k>0时直线从左向右上升,即y随x的增大而增大,当k<0时直线从左向右下降,即y随x的增大而减小.
应重点指导:
(1)观察、类比新知的方法;
(2)一次函数的性质与k有关;(3)从“数”和“形”两个方面去理解和掌握一次函数的性质.
三、运用新知,深化理解
例1 已知正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而减小,则一次函数y=x+k的图象大致是( )
【分析】∵正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而减小,∴k<0.∵一次函数y=x+k的一次项系数大于0,常数项小于0,∴一次函数y=x+k的图象经过第一、三、四象限,且与y轴的负半轴相交.故选B.
【方法总结】一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)是一条直线.当k>0时,图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大;当k<0时,图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小.图象与y轴的交点坐标为(0,b).
例2 对于函数y=-5x+1,下列结论:
①它的图象必经过点(-1,5);②它的图象经过第一、二、三象限;③当x>1时,y<0;④y的值随x值的增大而增大.其中正确的个数是( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【分析】∵当x=-1时,y=-5×(-1)+1=6≠5,∴点(-1,5)不在一次函数的图象上,故①错误;∵k=-5<0,b=1>0,∴此函数的图象经过第一、二、四象限,故②错误;∵x=1时,y=-5×1+1=-4.又∵k=-5<0,∴y随x的增大而减小,∴当x>1时,y<-4,则y<0,故③正确,④错误.综上所述,正确的只有③.故选B.
【方法总结】一次函数的性质:
k>0,y随x的增大而增大,函数从左到右上升;k<0,y随x的增大而减小,函数从左到右下降.
例3 已知函数y=(2m-2)x+m+1,
(1)当m为何值时,图象过原点?
(2)已知y随x增大而增大,求m的取值范围;
(3)函数图象与y轴交点在x轴上方,求m的取值范围;
(4)图象过第一、二、四象限,求m的取值范围.
【分析】
(1)根据函数图象过原点可知,m+1=0,求出m的值即可;
(2)根据y随x增大而增大可知2m-2>0,求出m的取值范围即可;(3)由于函数图象与y轴交点在x轴上方,故m+1>0,进而可得出m的取值范围;(4)根据图象过第一、二、四象限列出关于m的不等式组,求出m的取值范围.
解:
(1)∵函数图象过原点,∴m+1=0,即m=-1;
(2)∵y随x增大而增大,∴2m-2>0,解得m>1;
(3)∵函数图象与y轴交点在x轴上方,∴m+1>0,解得m>-1;
(4)∵图象过第一、二、四象限,∴2m-2<0,m+1>0,解得-1<m<1.
【方法总结】一次函数y=kx+b(k≠0)中,当k<0,b>0时,函数图象过第一、二、四象限.
例4 在平面直角坐标系中,将直线l1:
y=-2x-2平移后,得到直线l2:
y=-2x+4,则下列平移作法正确的是( )
A.将l1向右平移3个单位长度
B.将l1向右平移6个单位长度
C.将l1向上平移2个单位长度
D.将l1向上平移4个单位长度
【分析】∵将直线l1:
y=-2x-2平移后,得到直线l2:
y=-2x+4,∴-2(x+a)-2=-2x+4,解得a=-3,故将l1向右平移3个单位长度.故选A.
【方法总结】求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变,只有b发生变化.解析式变化的规律是:
左加右减,上加下减.
例5 一次函数y=-2x+4的图象如图,图象与x轴交于点A,与y轴交于点B.
(1)求A,B两点坐标;
(2)求图象与坐标轴所围成的三角形的面积.
【分析】
(1)x轴上所有的点的纵坐标均为0,y轴上所有的点的横坐标均为0;
(2)利用
(1)中所求的点A,B的坐标可以求得OA,OB的长度.然后根据三角形的面积公式可以求得△OAB的面积.
解:
(1)对于y=-2x+4,令y=0,得-2x+4=0,∴x=2.∴一次函数y=-2x+4的图象与x轴的交点A的坐标为(2,0);令x=0,得y=4.∴一次函数y=-2x+4的图象与y轴的交点B的坐标为(0,4);
(2)由
(1)中知OA=2,OB=4.∴S△AOB=
·OA·OB=
×2×4=4.∴图象与坐标轴所围成的三角形的面积是4.
【方法总结】求一次函数与坐标轴围成的三角形的面积,一般应先求出一次函数图象与x轴、y轴的交点坐标,进而求出三角形的底和高,即可求面积.
四、课堂练习,巩固提高
1.教材P93练习.
2.教师指导学生完成《·高效课堂》相关作业.
五、反思小结,梳理新知
1.一次函数的图象.
2.一次函数的性质.
3.一次函数图象的平移规律.
六、布置作业
1.学生完成《·高效课堂》相关作业.
2.教材P99习题19.2第5,10,12题.
第3课时 用待定系数法求一次函数的解析式及应用
1.学会用待定系数法确定一次函数解析式.
2.了解两个条件确定一个一次函数;一个条件确定一个正比例函数.
重点
用待定系数法求一次函数的解析式.
难点
从题目中获取待定系数法所需要的两个点的条件.
一、创设情境,导入新课
1.复习:
画出函数y=3x,y=3x-1的图象.
2.反思:
你在作这两个函数图象时,分别描了几个点?
你为何选取这几个点?
可以有不同取法吗?
3.引入新课:
在上节课中我们学习了在给定一次函数表达式的前提下,可以说出它的图象特征及有关性质;反之,如果给你信息,你能否求出函数的表达式呢?
这将是本节课我们要研究的问题.
二、合作交流,探究新知
1.求下图中直线的函数表达式.
2.分析与思考:
(1)题是经过原点的一条直线,因此是正比例函数,可设它的表达式为y=kx,将点(1,2)代入表达式得2=k,从而确定该函数的表达式为y=2x.
(2)设直线的表达式是y=kx+b,因为此直线经过点(0,3),(2,0),因此将这两个点的坐标代入,可得关于k、b方程组,从而确定了k,b的值,进而得出表达式.(写出解答过程)
3.反思小结:
确定正比例函数的表达式需要1个条件,确定一次函数的表达式需要2个条件.
初步应用,感悟新知.
出示教材例4:
已知一次函数的图象经过点(3,5)与(-4,-9),求这个一次函数的解析式.
解:
设这个一次函数的解析式为y=kx+b.
∵y=kx+b的图象过点(3,5)与(-4,-9).
∴
解得
∴这个一次函数的解析式为y=2x-1.
像这样先设出函数解析式,再根据条件确定解析式中未知的系数,从而具体得出函数解析式的方法,叫做待定系数法.
师生整理归纳.
教师引导学生总结出数学的基本思想方法:
数形结合.
三、运用新知,深化理解
例1 如图,一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A,B两点,如果A点的坐标为(2,0),且OA=OB,试求一次函数的解析式.
【分析】先求出点B的坐标,再根据待定系数法即可求得函数解析式.
解:
∵OA=OB,A点的坐标为(2,0),∴点B的坐标为(0,-2).设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0),则
解得
∴一次函数的解析式为y=x-2.
【方法总结】本题考查用待定系数法求函数解析式,解题关键是利用所给条件得到关键点的坐标,进而求得函数解析式.
例2 已知一次函数y=kx+b的图象过点(1,2),且其图象可由正比例函数y=kx向下平移4个单位得到,求一次函数的解析式.
【分析】根据题设得到关于k,b的方程组,然后求出k的值即可.
解:
把(1,2)代入y=kx+b得k+b=2.∵y=kx向下平移4个单位得到y=kx+b,∴b=-4,∴k-4=2,解得k=6.∴一次函数的解析式为y=6x-4.
【方法总结】一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的图象为直线,当直线平移时,k不变,当向上平移m个单位时,则平移后直线的解析式为y=kx+b+m.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 春人教版八年级数学下册教案192 一次函数 春人教版 八年 级数 下册 教案 192 一次 函数
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)