届北师大版 点直线与平面的位置关系 题组训练.docx
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届北师大版点直线与平面的位置关系题组训练
题组层级快练(四十一)
1.已知两条不同直线l1和l2及平面α,则直线l1∥l2的一个充分条件是( )
A.l1∥α且l2∥α B.l1⊥α且l2⊥α
C.l1∥α且l2⊄αD.l1∥α且l2⊂α
答案 B
解析 l1⊥α且l2⊥α⇒l1∥l2.
2.(2015·福建理)若l,m是两条不同的直线,m垂直于平面α,则“l⊥m”是“l∥α”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
答案 B
解析 因为m⊥α,若l⊥m,则l∥α或l⊂α,即l⊥m
l∥α.若l∥α,则l⊥m,即l∥α⇒l⊥m.
3.若空间四边形ABCD的两条对角线AC,BD的长分别是8,12,过AB的中点E且平行于BD,AC的截面四边形的周长为( )
A.10B.20
C.8D.4
答案 B
解析 设截面四边形为EFGH,F,G,H分别是BC,CD,DA的中点,∴EF=GH=4,FG=HE=6.
∴周长为2×(4+6)=20.
4.如图所示,在四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥面MNP的图形的序号是________.(写出所有符合要求的图形序号)
答案 ①③
5.在四面体ABCD中,M,N分别是△ACD,△BCD的重心,则四面体的四个面中与MN平行的是________.
答案 平面ABC和平面ABD
解析 连接AM并延长交CD于E,连接BN并延长交CD于F.由重心的性质可知,E,F重合为一点,且该点为CD的中点E.由
=
=
,得MN∥AB.因此MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.
6.过三棱柱ABC—A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条.
答案 6
解析 过三棱柱ABC—A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,记AC,BC,A1C1,B1C1的中点分别为E,F,E1,F1,则直线EF,EF1,EE1,FF1,E1F,E1F1均与平面ABB1A1平行,故符合题意的直线共6条.
7.如图所示,已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E在AA1上,点F在CC1上,G在BB1上,且AE=FC1=B1G=1,H是B1C1的中点.
(1)求证:
E,B,F,D1四点共面;
(2)求证:
平面A1GH∥平面BED1F.
答案
(1)略
(2)略
解析
(1)连接FG.
∵AE=B1G=1,∴BG=A1E=2.
∴BG綊A1E,∴A1G∥BE.
又∵C1F綊B1G,∴四边形C1FGB1是平行四边形.
∴FG綊C1B1綊D1A1.
∴四边形A1GFD1是平行四边形.
∴A1G綊D1F,∴D1F綊EB.
故E,B,F,D1四点共面.
(2)∵H是B1C1的中点,
∴B1H=
.又B1G=1,
∴
=
.
又
=
,且∠FCB=∠GB1H=90°,
∴△B1HG∽△CBF.
∴∠B1GH=∠CFB=∠FBG,∴HG∥FB.
又由
(1)知,A1G∥BE,且A1G⊂平面A1GH,HG⊂平面A1GH,BF⊄平面A1GH,BE⊄平面A1GH,
∴BF∥平面A1GH,BE∥平面A1GH.
又∵BF∩BE=B,∴平面A1GH∥平面BED1F.
8.(2013·福建文)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,BC=5,DC=3,AD=4,∠PAD=60°.
(1)当正视方向与向量
的方向相同时,画出四棱锥P-ABCD的正视图(要求标出尺寸,并写出演算过程);
(2)若M为PA的中点,求证:
DM∥平面PBC;
(3)求三棱锥D-PBC的体积.
答案
(1)略
(2)略 (3)8
解析 方法一:
(1)在梯形ABCD中,过点C作CE⊥AB,垂足为E,由已知得,四边形ADCE为矩形,AE=CD=3.在Rt△BEC中,由BC=5,CE=4,依勾股定理,得BE=3,从而AB=6.
又由PD⊥平面ABCD,得PD⊥AD.
从而在Rt△PDA中,由AD=4,∠PAD=60°,
得PD=4
.正视图如图所示.
(2)取PB中点N,连接MN,CN.
在△PAB中,∵M是PA中点,
∴MN∥AB,MN=
AB=3.
又CD∥AB,CD=3,
∴MN∥CD,MN=CD.
∴四边形MNCD为平行四边形.
∴DM∥CN.
又DM⊄平面PBC,CN⊂平面PBC,
∴DM∥平面PBC.
(3)VD-PBC=VP-DBC=
S△DBC·PD,
又S△DBC=6,PD=4
,所以VD-PBC=8
.
方法二:
(1)同方法一.
(2)取AB的中点E,连接ME,DE.
在梯形ABCD中,BE∥CD,且BE=CD,
∴四边形BCDE为平行四边形.
∴DE∥BC.
又DE⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,
∴DE∥平面PBC.
又在△PAB中,ME∥PB,ME⊄平面PBC,PB⊂平面PBC,
∴ME∥平面PBC.
又DE∩ME=E,∴平面DME∥平面PBC.
又DM⊂平面DME,∴DM∥平面PBC.
(3)同方法一.
9.如图所示,三棱柱ABC-A1B1C1,底面为正三角形,侧棱A1A⊥底面ABC,点E,F分别是棱CC1,BB1上的点,点M是线段AC上的动点,EC=2FB.当点M在何位置时,BM∥平面AEF?
答案 当M为AC中点时,BM∥平面AEF.
解析 方法一:
如图所示,取AE的中点O,连接OF,过点O作OM⊥AC于点M.
∵侧棱A1A⊥底面ABC,
∴侧面A1ACC1⊥底面ABC.
∴OM⊥底面ABC.
又∵EC=2FB,
∴OM∥FB綊
EC.
∴四边形OMBF为矩形.
∴BM∥OF.
又∵OF⊂面AEF,BM⊄面AEF,
故BM∥平面AEF,此时点M为AC的中点.
方法二:
如图所示,取EC的中点P,AC的中点Q,连接PQ,PB,BQ.
∴PQ∥AE.∵EC=2FB,
∴PE綊BF,PB∥EF.
∴PQ∥平面AEF,PB∥平面AEF.
又PQ∩PB=P,
∴平面PBQ∥平面AEF.
又∵BQ⊂面PQB,∴BQ∥平面AEF.
故点Q即为所求的点M,此时点M为AC的中点.
10.(2016·福建四地六校联考)一个多面体的直观图和三视图如图所示(其中M,N分别是AF,BC中点).
(1)求证:
MN∥平面CDEF;
(2)求多面体A—CDEF的体积.
答案
(1)略
(2)
解析
(1)证明 由三视图知,该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱,且AB=BC=BF=2,
DE=CF=2
,∴∠CBF=90°.
取BF中点G,连接MG,NG,由M,N分别是AF,BC中点,可知NG∥CF,MG∥EF.又MG∩NG=G,CF∩EF=F,
∴平面MNG∥平面CDEF,∴MN∥平面CDEF.
(2)作AH⊥DE于H,由于三棱柱ADE—BCF为直三棱柱,∴AH⊥平面CDEF,且AH=
.
∴VA-CDEF=
S四边形CDEF·AH=
×2×2
×
=
.
11.(2016·衡水中学调研)
如图所示,在几何体ABCDFE中,△ABC,△DFE都是等边三角形,且所在平面平行,四边形BCED是边长为2的正方形,且所在平面垂直于平面ABC.
(1)求几何体ABCDFE的体积;
(2)证明:
平面ADE∥平面BCF.
答案
(1)
(2)略
解析
(1)取BC的中点为O,ED的中点为G,连接AO,OF,FG,AG.
∵AO⊥BC,AO⊂平面ABC,平面BCED⊥平面ABC,
∴AO⊥平面BCED.同理FG⊥平面BCED.
∵AO=FG=
,
∴VABCDFE=
×4×
×2=
.
(2)证明:
由
(1)知AO∥FG,AO=FG,
∴四边形AOFG为平行四边形,∴AG∥OF.
又∵DE∥BC,DE∩AG=G,DE⊂平面ADE,
AG⊂平面ADE,FO∩BC=O,FO⊂平面BCF,BC⊂平面BCF,
∴平面ADE∥平面BCF.
1.下列命题中正确的是________.
①若直线a不在α内,则a∥α;
②若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α;
③若直线l与平面α平行,则l与α内的任意一条直线都平行;
④如果两条平行线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行;
⑤若l与平面α平行,则l与α内任何一条直线都没有公共点;
⑥平行于同一平面的两直线可以相交.
答案 ⑤⑥
解析 a∩α=A时,a不在α内,∴①错;直线l与α相交时,l上有无数个点不在α内,故②错;l∥α时,α内的直线与l平行或异面,故③错;a∥b,b∥α时,a∥α或a⊂α,故④错;l∥α,则l与α无公共点,∴l与α内任何一条直线都无公共点,⑤正确;如图,长方体中,A1C1与B1D1都与平面ABCD平行,∴⑥正确.
2.(2013·浙江文)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面( )
A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m∥α,m∥β,则α∥β
C.若m∥n,m⊥α,则n⊥αD.若m∥α,α⊥β,则m⊥β
答案 C
解析 A项中,直线m,n可能平行,也可能相交或异面,直线m,n的关系是任意的;B项中,α与β也可能相交,此时直线m平行于α,β的交线;D项中,m也可能平行于β.故选C项.
3.(2015·山东文)如图,三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.
(1)求证:
BD∥平面FGH;
(2)若CF⊥BC,AB⊥BC,求证:
平面BCD⊥平面EGH.
解析
(1)方法一:
连接DG,CD,设CD∩GF=M,连接MH.
在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G为AC的中点,可得DF∥GC,DF=GC.
所以四边形DFCG为平行四边形.
则M为CD的中点,又H为BC的中点,
所以HM∥BD.
又HM⊂平面FGH,BD⊄平面FGH,
所以BD∥平面FGH.
方法二:
在三棱台DEF-ABC中,
由BC=2EF,H为BC的中点,
可得BH∥EF,BH=EF.
所以四边形HBEF为平行四边形.
可得BE∥HF.
在△ABC中,G为AC的中点,H为BC的中点,
所以GH∥AB.
又GH∩HF=H,所以平面FGH∥平面ABED.
因为BD⊂平面ABED,
所以BD∥平面FGH.
(2)连接HE,GE.
因为G,H分别为AC,BC的中点,
所以GH∥AB.
由AB⊥BC,得GH⊥BC.
又H为BC的中点,
所以EF∥HC,EF=HC.
因此四边形EFCH为平行四边形.
所以CF∥HE.
又CF⊥BC,所以HE⊥BC.
又HE,GH⊂平面EGH,HE∩GH=H,
所以BC⊥平面EGH.
又BC⊂平面BCD,所以平面BCD⊥平面EGH.
4.(2016·山东济宁一模)如图,已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形,AD∥BC,CE∥BG,且∠BCD=∠BCE=
,平面ABCD⊥平面BCEG,BC=CD=CE=2AD=2BG=2.
(1)求证:
EC⊥CD;
(2)求证:
AG∥平面BDE;
(3)求几何体EGABCD的体积.
解析
(1)证明:
由平面ABCD⊥平面BCEG,
平面ABCD∩平面BCEG=BC,CE⊥BC,CE⊂平面BCEG,
∴EC⊥平面ABCD.又CD⊂平面BCDA,故EC⊥CD.
(2)证明:
如图所示,在平面BCEG中,过G作GN⊥CE交BE于M,交CE于N,连接DM,由已知得MG=MN,MN∥BC∥DA,且MN=AD=
BC,∴MG∥AD,MG=AD,故四边形ADMG为平行四边形,∴AG∥DM.
∵DM⊂平面BDE,AG⊄平面BDE,
∴AG∥平面BDE.
(3)VEGABCD=VD-BCEG+VG-ABD=
SBCEG·DC+
S△ABD·BG=
×
×2×2+
×
×1×2×1=
.
5.(2016·邢台摸底考试)在如图所示的多面体中,四边形ABCD是梯形,∠BAD=∠CDA=90°,四边形CDEF是矩形,平面ABCD⊥平面CDEF,AB=AD=DE=
CD=2,M是线段AE的中点.
(1)求证:
AC∥平面MDF;
(2)平面MDF将该几何体分成两部分,求多面体MDFE和多面体ABCDMF的体积之比.
解析
(1)连接CE,交DF于点N,连接MN,由题意知N为CE的中点,
在△ACE中,MN∥AC,
且MN⊂平面MDF,AC⊄平面MDF,
∴AC∥平面MDF.
(2)将多面体ABCDEF补成三棱柱ADE-B′CF,如图,
则三棱柱的体积为V=S△ADE·CD=
×2×2×4=8,
易知三棱锥F-BB′C的体积VF-BB′C=
×
×2×2×2=
,
则V多面体ABCDEF=V-VF-BB′C=8-
=
,
而三棱锥M-DEF的体积易求得为VM-DEF=
,
∴
=
=
.
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