44函数yAsinωx+φ的图像及三角函数模型的简单应用.docx
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44函数yAsinωx+φ的图像及三角函数模型的简单应用.docx
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44函数yAsinωx+φ的图像及三角函数模型的简单应用
一、选择题
1.(文)已知函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0,2π]的图像如图,那么ω=( )
A.1B.2
C.D.
[答案] B
[解析] 由图像可知,该函数的周期T=π,
∴=π,∴ω=2.故选B.
(理)(教材改编题)若f(x)=sin(ωx+φ)的图像(部分)如下图所示,则ω和φ的取值可能是( )
A.ω=1,φ=B.ω=1,φ=-
C.ω=,φ=D.ω=,φ=-
[答案] C
[解析] ∵=-=π,
∴T=4π,
又T=,∴ω=,∴y=sin.
又图像过点,∴0=sin,
∴-+φ=kπ.由图知k=0,∴φ=.
2.将函数y=sinx的图像上所有的点向右平行移动个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像的函数解析式是( )
A.y=sinB.y=sin
C.y=sinD.y=sin
[答案] C
[解析]
3.下图是函数y=Asin(ωx+φ)(x∈R)在区间上的图像,为了得到这个函数的图像,只要将y=sinx(x∈R)的图像上所有的点( )
A.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变
B.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
C.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变
D.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
[答案] A
[解析] 本题考查了三角函数的性质及图像的平移.
由题知函数f(x)的最小正周期T=π-=π,A=1,∴ω===2,故将y=sinx的图像先向左平移个单位长度后,再把所得图像上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,故选A.
4.函数y=cos-2的图像F按向量a平移到F′,F′的解析式y=f(x),当y=f(x)为奇函数时,则向量a可以等于( )
A. B.
C.D.
[答案] D
[解析] 本题主要考查向量的平移和三角函数的图像及性质.
A中得y=cos-2-2
=cos-4,
∴不是奇函数,故排除A;
B中得y=cos-2+2=cos,∴不是奇函数,故排除B;
C中得y=cos-2-2=cos-4,
∴不是奇函数,故排除C;
D中得y=cos-2+2=-sin2x,
∴是奇函数,所以选D.
5.(2012·枣庄二模)如下图,在某点给单摆一个作用力后它开始来回摆动,离开平衡位置O的距离s(厘米)和时间t(秒)的函数关系为s=6sin,单摆摆动时,从最右边到最左边的距离为( )
A.6B.3
C.3D.6
[答案] A
[解析] ∵s=6sin,∴T==1,从最左边到平衡位置O需要的时间为=秒,由6sin=3,得从最右边到最左边的距离为6.
6.(文)(2011·新课标文,11)设函数f(x)=sin(2x+)+cos(2x+),则( )
A.y=f(x)在(0,)单调递增,其图像关于直线x=对称
B.y=f(x)在(0,)单调递增,其图像关于直线x=对称
C.y=f(x)在(0,)单调递减,其图像关于直线x=对称
D.y=f(x)在(0,)单调递减,其图像关于直线x=对称
[答案] D
[解析] 本题主要考查了两角和的正弦余弦公式、三角函数图像性等.此类题目应先化简函数解析式为f(x)=Asin(ωx+φ)+m形式再求解.
f(x)=sin+cos=sin
=cos2x.
则函数在单调递减,其图像关于x=对称.
(理)(2011·新课标理,11)设函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的最小正周期为π,且f(-x)=f(x),则( )
A.f(x)在(0,)单调递减
B.f(x)在(,)单调递减
C.f(x)在(0,)单调递增
D.f(x)在(,)单调递增
[答案] A
[解析] 本题主要考查三角函数y=Asin(ωx+φ)的周期性、奇偶性、单调性以及辅助角公式.
依题意:
f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=sin(ωx+φ+),
又T=π,∴ω=2,∴f(x)=sin(2x+φ+)
又f(x)为偶函数,∴φ+=kπ+(k∈Z),即φ=kπ+.
又|φ|<,∴φ=,∴f(x)=sin(2x+)=cos2x.
又y=cosx在x∈(0,π)单调递减,
则由0<2x<π得0 即f(x)=cos2x在(0,)单调递减,故选A. 二、填空题 7.如下图所示为函数y=Asin(ωx+φ)的图像上的一段,则这个函数的解析式为______________. [答案] y=2sin [解析] A=2,=-=,T=, ∵=π,∴ω=,∴y=2sin. ∵当x=π时,y=2,∴2=2sin, 即sin=1,∴φ+π=,φ=-, ∴y=2sin. 8.(文)(2012·东营模拟)已知函数f(x)=-sin2x+sinxcosx,则f=________. [答案] 0 [解析] 方法一: f(x)=-×+sin2x =-+sin2x+cos2x=-+sin, ∴f=-+sinπ =-+sin=-+=0. 方法二: 当x=时,f=-sin2+sincos=-sin2+sincos=-+×=0. (理)函数y=3sin的对称中心是________. [答案] ,k∈Z [解析] 由-=kπ,k∈Z得=+kπ. ∴x=+2kπ,k∈Z. ∴对称中心是. 三、解答题 9.(2011·重庆理,16)设a∈R,f(x)=cosx(asinx-cosx)+cos2(-x)满足f(-)=f(0),求函数f(x)在[,]上的最大值和最小值. [解析] f(x)=asinxcosx-cos2x+sin2x=sin2x-cos2x, 由f(-)=f(0)得-·+=-1,解得a=2. ∴f(x)=sin2x-cos2x=2sin(2x-), 当x∈[,]时,2x-∈[,],f(x)为增函数. 当x∈[,]时,2x-∈[,],f(x)为减函数. ∴f(x)在[,]上的最大值为f()=2, 又f()=,f()=, ∴f(x)的最小值为f()=. 一、选择题 1.(2011·天津文,7)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,-π<φ≤π,若f(x)的最小正周期为6π,且当x=时,f(x)取得最大值,则( ) A.f(x)在区间[-2π,0]上是增函数 B.f(x)在区间[-3π,-π]上是增函数 C.f(x)在区间[3π,5π]上是减函数 D.f(x)在区间[4π,6π]上是减函数 [答案] A [解析] 本题考查正弦型函数的图像与性质. 由题意得T==6π,∴ω=. ∵x=时,f(x)取得最大值. ∴×+φ=,φ=. ∴f(x)=2sin ∴f(x)的单调增区间为[-π+6kπ,+6kπ](k∈Z).∴f(x)在区间[-2π,0]是增函数. 2.(文)(2012·广州五校联考)若将函数y=tan(ω>0)的图像向右平移个单位长度后,与函数y=tan的图像重合,则ω的最小值为( ) A.B. C.D. [答案] D [解析] 本题考查正切函数的图像的平移变换. 将函数y=tan(ω>0)的图像向右平移个单位长度,得到的函数为 y=tan=tan, 由题意,得-+=,∴ω=. (理)已知函数f(x)=sinωx的图像的一部分如图 (1),则图 (2)的函数图像所对应的解析式可以为( ) A.y=fB.y=f(2x-1) C.y=fD.y=f [答案] B [解析] 由图得,图 (2)是将图 (1)中的图像先向右平移1个单位,再将所有点的横坐标缩短到原来的倍得到,即y=f(x)→y=f(x-1)→y=f(2x-1). 二、填空题 3.(2011·江苏卷,9)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A>0,ω>0)的部分图像如下图所示,则f(0)的值是________. [答案] [解析] 由图像可知,A=,=,∴T=π,∴ω=2,则y=sin(2x+φ),将(π,-)代入,解之得φ=,从而y=sin(2x+),f(0)=. 4.已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|≤)是定义域为R的奇函数,且当x=2时,f(x)取得最大值2,则f (1)+f (2)+f(3)+…+f(100)=________. [答案] 2±2 [解析] 由题意知: φ=0,A=2, ∴f(x)=2sinωx 又当x=2时,f(x)取得最大值2, ∴2ω=+2kπ,∴ω=+kπ,k∈Z. 当k为偶数时,令k=2n,则f(x)=2sinx, ∵n∈Z,x∈Z,∴f(x)=2sinx. 由函数周期性可得: f (1)+f (2)+…+f(100) =f (1)+f (2)+f(3)+f(4)=2+2 同理,当k为奇数时可得: f (1)+f (2)+…f(100) =f (1)+f (2)+f(3)+f(4)=2-2. 三、解答题 5.(2011·湖南理,17)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足csinA=acosC. (1)求角C的大小; (2)求sinA-cos(B+)的最大值,并求取得最大值时角A,B的大小. [解析] (1)由正弦定理得sinCsinA=sinAcosC. 因为00,从而sinC=cosC,又cosC≠0,所以tanC=1,则C=. (2)由 (1)知,B=-A,于是 sinA-cos=sinA-cos(π-A) =sinA+cosA=2sin.
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- 44 函数 yAsin 图像 三角函数 模型 简单 应用