分式知识点及题型总结超好用.docx
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分式知识点及题型总结超好用
分式知识点及题型总结超好用
分式知识点及题型
一、分式的定义:
一般地,如果A,B表示两个整数,并且B中含有字母,那么式子二、与分式有关的条件
①分式有意义:
分母不为0 ②分式无意义:
分母为0③分式值为0:
分子为0且分母不为0
B0A0A0
或)B0B0A0A0
或)
B0B0
④分式值为正或大于0:
分子分母同号
⑦分式值为-1:
分子分母值互为相反数
三、分式的基本性质
分式的分子和分母同乘一个不等于0的整式,分式的值不变。
字母表示:
AACAAC,,其中A、B、C是整式,C0。
BBCBBC拓展:
分式的符号法则:
分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变,即:
AAAABBBB注意:
在应用分式的基本性质时,要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。
四、分式的约分
1.定义:
根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分。
2.步骤:
把分式分子分母因式分解,然后约去分子与分母的公因。
3.注意:
①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分,约去分子、分母系数的最大公约数,然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式,先对分子分母进行因式分解,再约分。
4.最简分式的定义:
一个分式的分子与分母没有公因式时,叫做最简分式。
◆约分时。
分子分母公因式的确定方法:
1)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数.2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.
3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式.
五、分式的通分
1.定义:
把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式,叫做分式的通分。
2.最简公分母:
取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母,这样的公分母叫做最简公分母。
◆通分时,最简公分母的确定方法:
1.系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.2.取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.
第1页/共2页
3.如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.六、分式的四则运算与分式的乘方①分式的乘除法法则:
acacbdbdacadad分式除以分式:
把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘。
式子表示为:
bdbcbc分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母。
式子表示为:
ana②分式的乘方:
把分子、分母分别乘方。
式子表示为:
n
bb③分式的加减法则:
同分母分式加减法:
分母不变,把分子相加减。
式子表示为:
nababcccacadbc异分母分式加减法:
先通分,化为同分母的分式,然后再加减。
式子表示为:
bdbd整式与分式加减法:
可以把整式当作一个整数,整式前面是负号,要加括号,看作是分母为1的分式。
再通分。
④分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序
先乘方、再乘除、后加减,同级运算中,谁在前先算谁,有括号的先算括号里面的,也要注意灵活,提高解题质量。
注意:
在运算过程中,要明确每一步变形的目的和依据,注意解题的格式要规范,不要随便跳步,以便查对
有无错误或分析出错的原因。
加减后得出的结果一定要化成最简分式。
七、整数指数幂①引入负整数、零指数幂后,指数的取值范围就推广到了全体实数,并且正正整数幂的法则对对负整数指
数幂一样适用。
即:
amanamn amnnnamnabanbn amanamn
1anan0n ana0) a1
abb其中m,n均为整数。
八、分式方程的解的步骤:
⑴去分母,把方程两边同乘以各分母的最简公分母。
⑵解整式方程,得到整式方程的解。
⑶检验,把所得的整式方程的解代入最简公分母中:
如果最简公分母为0,则原方程无解,这个未知数的值是原方程的增根;如果最简公分母不为0,则是原方程的解。
产生增根的条件是:
①是得到的整式方程的解;②代入最简公分母后值为0。
九、列分式方程——基本步骤:
①审—仔细审题,找出等量关系。
②设—合理设未知数。
③列—根据等量关系列出方程。
④解—解出方程。
注意检验⑤答—答题。
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分式典型例题
一、分式
从分数到分式
题型1:
考查分式的定义
9a15例:
下列式子中,、8a2b、-23xya5ab3a2b2、、2xy42、2-a1、m5xy、
6
1x1、2x213xy、、
2
、
3、xy1中分式的个数为 2 3 4 (D) 5m练习题:
下列式子中,是分式的有 .
2x7x15a2⑴;⑵;⑶
x523a下列式子,哪些是分式?
;⑷
x2x2b2
;⑸2
b
;⑹
xy2x2y2.
a3y3;2;5x4y
;
7x8;
1bxxy;.
45x2y题型2:
考查分式有,无意义,总有意义
使分式有意义:
令分母≠0按解方程的方法去求解;使分式无意义:
令分母=0按解方程的方法去求解;
注意:
2x11有意义; 例2:
分式中,当x____时,分式没有意义x52x1x例3:
当x 时,分式2有意义。
例4:
当x 时,分式2有意义
x1x1例1:
当x 时,分式例5:
x。
y满足关系 时,分式
xy无意义;xy例6:
无论x取什么数时,总是有意义的分式是
2xx3xx5 B. C. D.
2x1x21x31x2x例7:
使分式有意义的x的取值范围为A.x2B.x2
x2A.
例8:
要是分式
C.x2D.x2
x2没有意义,则x的值为A.2 B.-1或-3 C.-1
(x1)(x3)题型3:
考查分式的值为零的条件
第3页/共2页
使分式值为零:
令分子=0且分母≠0,注意:
当分子等于0使,看看是否使分母=0了,如果使分母=0了,那么要舍去。
12a例1:
当x 时,分式
a1例3:
如果分式
x21
的值为0 例2:
当x 时,分式的值为0
x1
a2a2的值为为零,则a的值为() A.
2 C.2D.以上全不对
x2x例4:
能使分式2的值为零的所有x的值是
x1A
x0 Bx1Cx0或x1Dx0或x1
x29例5:
要使分式2的值为0,则x的值为或-3 C.-3 D2
x5x6例6:
若
a10,则a是( )A.正数 B.负数 C.零 D.任意有理数a4为正;8x题型4:
考查分式的值为正、负的条件
【例】当x为何值时,分式
当x为何值时,分式当x为何值时,分式
5x3(x1)2为负;
x2
为非负数.x3
二、分式的基本性质
题型1:
分式的基本性质的应用
分式的基本性质:
分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式,分式的值不变。
例1:
AACBBCC0AACBBCxy6x(yz)5(3a1)5成立,则a的取值范围是________;;;如果27(3a1)7aabyyz3(yz)ab2例2:
33(ab例3:
如果把分式
1)
a2babbca(bc)
中的a和b都扩大10倍,那么分式的值
A、扩大10倍 B、缩小10倍 C、是原来的20倍 D、不变
例4:
如果把分式
10x中的x,y都扩大10倍,则分式的值xy110A.扩大100倍 B.扩大10倍 C.不变 D.缩小到原来的
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例5:
如果把分式
xy中的x和y都扩大2倍,即分式的值xyA、扩大2倍; B、扩大4倍; C、不变; D缩小2倍例6:
若把分式
x3y2x的x、y同时缩小12倍,则分式的值
A.扩大12倍B.缩小12倍C.不变
例7:
若x、y的值均扩大为原来的2倍,则下列分式的值保持不变的是
3xA、
2y3x B、
2y23x2 C、
2y3x3 D、
2y2
a可变形为abaaaaA B C D
abababa ;例9:
不改变分式的值,使分式的分子、分母中各项系数都为整数。
xx例10:
不改变分式的值,使分子、分母最高次项的系数为正数,= 。
1xx2例8:
根据分式的基本性质,分式
题型2:
分式的约分及最简分式
①约分的概念:
把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分②分式约分的依据:
分式的基本性质.
③分式约分的方法:
把分式的分子与分母分解因式,然后约去分子与分母的公因式.④约分的结果:
最简分式
约分主要分为两类:
第一类:
分子分母是单项式的,主要分数字,同字母进行约分。
第二类:
分子分母是多项式的,把分子分母能因式分解的都要进行因式分解,再去找共同的因式约去。
例1:
下列式子
babaabxy1xyxy1;;;中正确的是22caacabxyxyxyxyA、1个 B、2个 C、3个 D、4个例2:
下列约分正确的是
x6xyxy12xy2130; C、2A、2x; B、; D、2
xyxxxyx4xy2例3:
下列式子正确的是( )A
yzyzcdcdcdcd2xyay00 B.1 C. D.
xxxaaaay2xy例4:
下列运算正确的是
aa241111a2aA、B、 C、2 D、ababxx22mmmbb例5:
下列式子正确的是
bb2A.2aa
B.
aba3b0 C.1 D.
abab2ab第5页/共2页
分式知识点及题型
一、分式的定义:
一般地,如果A,B表示两个整数,并且B中含有字母,那么式子二、与分式有关的条件
①分式有意义:
分母不为0 ②分式无意义:
分母为0③分式值为0:
分子为0且分母不为0
B0A0A0
或)B0B0A0A0
或)
B0B0
④分式值为正或大于0:
分子分母同号
⑦分式值为-1:
分子分母值互为相反数
三、分式的基本性质
分式的分子和分母同乘一个不等于0的整式,分式的值不变。
字母表示:
AACAAC,,其中A、B、C是整式,C0。
BBCBBC拓展:
分式的符号法则:
分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变,即:
AAAABBBB注意:
在应用分式的基本性质时,要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。
四、分式的约分
1.定义:
根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分。
2.步骤:
把分式分子分母因式分解,然后约去分子与分母的公因。
3.注意:
①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分,约去分子、分母系数的最大公约数,然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式,先对分子分母进行因式分解,再约分。
4.最简分式的定义:
一个分式的分子与分母没有公因式时,叫做最简分式。
◆约分时。
分子分母公因式的确定方法:
1)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数.2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.
3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式.
五、分式的通分
1.定义:
把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式,叫做分式的通分。
2.最简公分母:
取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母,这样的公分母叫做最简公分母。
◆通分时,最简公分母的确定方法:
1.系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.2.取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.
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3.如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.六、分式的四则运算与分式的乘方①分式的乘除法法则:
acacbdbdacadad分式除以分式:
把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘。
式子表示为:
bdbcbc分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母。
式子表示为:
ana②分式的乘方:
把分子、分母分别乘方。
式子表示为:
n
bb③分式的加减法则:
同分母分式加减法:
分母不变,把分子相加减。
式子表示为:
nababcccacadbc异分母分式加减法:
先通分,化为同分母的分式,然后再加减。
式子表示为:
bdbd整式与分式加减法:
可以把整式当作一个整数,整式前面是负号,要加括号,看作是分母为1的分式。
再通分。
④分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序
先乘方、再乘除、后加减,同级运算中,谁在前先算谁,有括号的先算括号里面的,也要注意灵活,提高解题质量。
注意:
在运算过程中,要明确每一步变形的目的和依据,注意解题的格式要规范,不要随便跳步,以便查对
有无错误或分析出错的原因。
加减后得出的结果一定要化成最简分式。
七、整数指数幂①引入负整数、零指数幂后,指数的取值范围就推广到了全体实数,并且正正整数幂的法则对对负整数指
数幂一样适用。
即:
amanamn amnnnamnabanbn amanamn
1anan0n ana0) a1
abb其中m,n均为整数。
八、分式方程的解的步骤:
⑴去分母,把方程两边同乘以各分母的最简公分母。
⑵解整式方程,得到整式方程的解。
⑶检验,把所得的整式方程的解代入最简公分母中:
如果最简公分母为0,则原方程无解,这个未知数的值是原方程的增根;如果最简公分母不为0,则是原方程的解。
产生增根的条件是:
①是得到的整式方程的解;②代入最简公分母后值为0。
九、列分式方程——基本步骤:
①审—仔细审题,找出等量关系。
②设—合理设未知数。
③列—根据等量关系列出方程。
④解—解出方程。
注意检验⑤答—答题。
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分式典型例题
一、分式
从分数到分式
题型1:
考查分式的定义
9a15例:
下列式子中,、8a2b、-23xya5ab3a2b2、、2xy42、2-a1、m5xy、
6
1x1、2x213xy、、
2
、
3、xy1中分式的个数为 2 3 4 (D) 5m练习题:
下列式子中,是分式的有 .
2x7x15a2⑴;⑵;⑶
x523a下列式子,哪些是分式?
;⑷
x2x2b2
;⑸2
b
;⑹
xy2x2y2.
a3y3;2;5x4y
;
7x8;
1bxxy;.
45x2y题型2:
考查分式有,无意义,总有意义
使分式有意义:
令分母≠0按解方程的方法去求解;使分式无意义:
令分母=0按解方程的方法去求解;
注意:
2x11有意义; 例2:
分式中,当x____时,分式没有意义x52x1x例3:
当x 时,分式2有意义。
例4:
当x 时,分式2有意义
x1x1例1:
当x 时,分式例5:
x。
y满足关系 时,分式
xy无意义;xy例6:
无论x取什么数时,总是有意义的分式是
2xx3xx5 B. C. D.
2x1x21x31x2x例7:
使分式有意义的x的取值范围为A.x2B.x2
x2A.
例8:
要是分式
C.x2D.x2
x2没有意义,则x的值为A.2 B.-1或-3 C.-1
(x1)(x3)题型3:
考查分式的值为零的条件
第3页/共2页
使分式值为零:
令分子=0且分母≠0,注意:
当分子等于0使,看看是否使分母=0了,如果使分母=0了,那么要舍去。
12a例1:
当x 时,分式
a1例3:
如果分式
x21
的值为0 例2:
当x 时,分式的值为0
x1
a2a2的值为为零,则a的值为() A.
2 C.2D.以上全不对
x2x例4:
能使分式2的值为零的所有x的值是
x1A
x0 Bx1Cx0或x1Dx0或x1
x29例5:
要使分式2的值为0,则x的值为或-3 C.-3 D2
x5x6例6:
若
a10,则a是( )A.正数 B.负数 C.零 D.任意有理数a4为正;8x题型4:
考查分式的值为正、负的条件
【例】当x为何值时,分式
当x为何值时,分式当x为何值时,分式
5x3(x1)2为负;
x2
为非负数.x3
二、分式的基本性质
题型1:
分式的基本性质的应用
分式的基本性质:
分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式,分式的值不变。
例1:
AACBBCC0AACBBCxy6x(yz)5(3a1)5成立,则a的取值范围是________;;;如果27(3a1)7aabyyz3(yz)ab2例2:
33(ab例3:
如果把分式
1)
a2babbca(bc)
中的a和b都扩大10倍,那么分式的值
A、扩大10倍 B、缩小10倍 C、是原来的20倍 D、不变
例4:
如果把分式
10x中的x,y都扩大10倍,则分式的值xy110A.扩大100倍 B.扩大10倍 C.不变 D.缩小到原来的
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例5:
如果把分式
xy中的x和y都扩大2倍,即分式的值xyA、扩大2倍; B、扩大4倍; C、不变; D缩小2倍例6:
若把分式
x3y2x的x、y同时缩小12倍,则分式的值
A.扩大12倍B.缩小12倍C.不变
例7:
若x、y的值均扩大为原来的2倍,则下列分式的值保持不变的是
3xA、
2y3x B、
2y23x2 C、
2y3x3 D、
2y2
a可变形为abaaaaA B C D
abababa ;例9:
不改变分式的值,使分式的分子、分母中各项系数都为整数。
xx例10:
不改变分式的值,使分子、分母最高次项的系数为正数,= 。
1xx2例8:
根据分式的基本性质,分式
题型2:
分式的约分及最简分式
①约分的概念:
把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分②分式约分的依据:
分式的基本性质.
③分式约分的方法:
把分式的分子与分母分解因式,然后约去分子与分母的公因式.④约分的结果:
最简分式
约分主要分为两类:
第一类:
分子分母是单项式的,主要分数字,同字母进行约分。
第二类:
分子分母是多项式的,把分子分母能因式分解的都要进行因式分解,再去找共同的因式约去。
例1:
下列式子
babaabxy1xyxy1;;;中正确的是22caacabxyxyxyxyA、1个 B、2个 C、3个 D、4个例2:
下列约分正确的是
x6xyxy12xy2130; C、2A、2x; B、; D、2
xyxxxyx4xy2例3:
下列式子正确的是( )A
yzyzcdcdcdcd2xyay00 B.1 C. D.
xxxaaaay2xy例4:
下列运算正确的是
aa241111a2aA、B、 C、2 D、ababxx22mmmbb例5:
下列式子正确的是
bb2A.2aa
B.
aba3b0 C.1 D.
abab2ab第5页/共2页
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