直线与平面平面与平面平行的判定附答案.docx
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直线与平面平面与平面平行的判定附答案
直线与平面、平面与平面平行的判定
[学习目标] 1.理解直线与平面平行、平面与平面平行判定定理的含义.2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理,并知道其地位和作用.3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题.
知识点一 直线与平面平行的判定定理
语言叙述
符号表示
图形表示
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行
⇒a∥α
思考 若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线和这个平面平行吗?
答 根据直线与平面平行的判定定理可知该结论错误.
知识点二 平面与平面平行的判定定理
语言叙述
符号表示
图形表示
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行
⇒α∥β
思考 如果一条直线与两个平行平面中的一个平行,那么这条直线与另一个平面也平行吗?
答 不一定.这条直线与另一个平面平行或在另一个平面内.
题型一 直线与平面平行的判定定理的应用
例1
如图,空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.
求证:
(1)EH∥平面BCD;
(2)BD∥平面EFGH.
证明
(1)∵EH为△ABD的中位线,
∴EH∥BD.
∵EH⊄平面BCD,BD⊂平面BCD,
∴EH∥平面BCD.
(2)∵BD∥EH,BD⊄平面EFGH,
EH⊂平面EFGH,
∴BD∥平面EFGH.
跟踪训练1 在四面体A-BCD中,M,N分别是△ABD和△BCD的重心,求证:
MN∥平面ADC.
证明 如图所示,连接BM,BN并延长,分别交AD,DC于P,Q两点,连接PQ.
因为M,N分别是△ABD和△BCD的重心,
所以BM∶MP=BN∶NQ=2∶1.
所以MN∥PQ.
又因为MN⊄平面ADC,PQ⊂平面ADC,
所以MN∥平面ADC.
题型二 面面平行判定定理的应用
例2 如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,点D,E分别是BC与B1C1的中点.求证:
平面A1EB∥平面ADC1.
证明 由棱柱性质知,
B1C1∥BC,B1C1=BC,
又D,E分别为BC,B1C1的中点,
所以C1E綊DB,则四边形C1DBE为平行四边形,
因此EB∥C1D,
又C1D⊂平面ADC1,
EB⊄平面ADC1,
所以EB∥平面ADC1.
连接DE,同理,EB1綊BD,
所以四边形EDBB1为平行四边形,则ED綊B1B.
因为B1B∥A1A,B1B=A1A(棱柱的性质),
所以ED綊A1A,则四边形EDAA1为平行四边形,
所以A1E∥AD,又A1E⊄平面ADC1,AD⊂平面ADC1,
所以A1E∥平面ADC1.
由A1E∥平面ADC1,EB∥平面ADC1,
A1E⊂平面A1EB,EB⊂平面A1EB,
且A1E∩EB=E,所以平面A1EB∥平面ADC1.
跟踪训练2 已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E在AA1上,点F在CC1上,点G在BB1上,且AE=FC1=B1G=1,H是B1C1的中点.
求证:
(1)E,B,F,D1四点共面;
(2)平面A1GH∥平面BED1F.
证明
(1)∵AE=B1G=1,∴BG=A1E=2.
又∵BG∥A1E,∴四边形A1EBG是平行四边形,
∴A1G∥BE.
连接FG.∵C1F=B1G,C1F∥B1G,
∴四边形C1FGB1是平行四边形,
∴FG=C1B1=D1A1,FG∥C1B1∥D1A1,
∴四边形A1GFD1是平行四边形,
∴A1G∥D1F,∴D1F∥EB.
故E,B,F,D1四点共面.
(2)∵H是B1C1的中点,∴B1H=
.
又∵B1G=1,∴
=
.
又
=
,且∠FCB=∠GB1H=90°,
∴△B1HG∽△CBF,
∴∠B1GH=∠CFB=∠FBG,∴HG∥FB.
又由
(1)知,A1G∥BE,且HG∩A1G=G,FB∩BE=B,
∴平面A1GH∥平面BED1F.
题型三 线面平行、面面平行判定定理的综合应用
例3 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点.问:
当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?
请说明理由.
解 当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.理由如下:
连接PQ.∵Q为CC1的中点,P为DD1的中点,
∴PQ∥DC∥AB,PQ=DC=AB,
∴四边形ABQP是平行四边形,∴QB∥PA.
又∵O为DB的中点,∴D1B∥PO.
又∵PO∩PA=P,D1B∩QB=B,
∴平面D1BQ∥平面PAO.
跟踪训练3 如图,三棱柱ABC-A1B1C1的底面为正三角形,侧棱A1A⊥底面ABC,E,F分别是棱CC1,BB1上的点,EC=2FB.M是线段AC上的动点,当点M在何位置时,BM∥平面AEF?
请说明理由.
解 当M为AC中点时,BM∥平面AEF.理由如下:
方法一 如图1,取AE的中点O,连接OF,OM.
∵O,M分别是AE,AC的中点,
∴OM∥EC,OM=
EC.
又∵BF∥CE,EC=2FB,∴OM∥BF,OM=BF,
∴四边形OMBF为平行四边形,∴BM∥OF.
又∵OF⊂面AEF,BM⊄面AEF,
∴BM∥平面AEF.
方法二 如图2,取EC的中点P,连接PM,PB.
∵PM是△ACE的中位线,
∴PM∥AE.
∵EC=2FB=2PE,CC1∥BB1,∴PE=BF,PE∥BF,
∴四边形BPEF是平行四边形,∴PB∥EF.
又∵PM⊄平面AEF,PB⊄平面AEF,
∴PM∥平面AEF,PB∥平面AEF.
又∵PM∩PB=P,∴平面PBM∥平面AEF.
又∵BM⊂面PBM,∴BM∥平面AEF.
面面平行的判定
例4 已知在正方体ABCD-A′B′C′D′中,M,N分别是A′D′,A′B′的中点,在该正方体中是否存在过顶点且与平面AMN平行的平面?
若存在,试作出该平面,并证明你的结论;若不存在,请说明理由.
分析 根据题意画出正方体,根据平面AMN的特点,试着在正方体中找出几条平行于该平面的直线,然后作出判断,并证明.
解 如图,与平面AMN平行的平面有以下三种情况:
下面以图①为例进行证明.
如图①,取B′C′的中点E,连接BD,BE,DE,ME,B′D′,
可知四边形ABEM是平行四边形,
所以BE∥AM.
又因为BE⊂平面BDE,AM⊄平面BDE,
所以AM∥平面BDE.
因为MN是△A′B′D′的中位线,
所以MN∥B′D′.
因为四边形BDD′B′是平行四边形,
所以BD∥B′D′.
所以MN∥BD.
又因为BD⊂平面BDE,MN⊄平面BDE,
所以MN∥平面BDE.
又因为AM⊂平面AMN,MN⊂平面AMN,且AM∩MN=M,
所以由平面与平面平行的判定定理可得,平面AMN∥平面BDE.
1.过直线l外两点,作与l平行的平面,则这样的平面( )
A.不可能作出B.只能作出一个
C.能作出无数个D.上述三种情况都存在
2.经过平面α外两点,作与α平行的平面,则这样的平面可以作( )
A.1个或2个B.0个或1个
C.1个D.0个
3.若线段AB,BC,CD不共面,M,N,P分别为线段AB,BC,CD的中点,则直线BD与平面MNP的位置关系是( )
A.平行B.直线在平面内
C.相交D.以上均有可能
4.在正方体EFGH-E1F1G1H1中,下列四对截面彼此平行的一对是( )
A.平面E1FG1与平面EGH1B.平面FHG1与平面F1H1G
C.平面F1H1H与平面FHE1D.平面E1HG1与平面EH1G
5.梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊂平面α,CD⊄平面α,则直线CD与平面α的位置关系是________.
一、选择题
1.下列说法正确的是( )
①若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行;
②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行;
③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行;
④若一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行.
A.①③B.②④C.②③④D.③④
2.平面α与平面β平行的条件可以是( )
A.α内有无穷多条直线与β平行
B.直线a∥α,a∥β,且直线a不在α与β内
C.直线a⊂α,直线b⊂β,且b∥α,a∥β
D.α内的任何直线都与β平行
3.六棱柱的表面中,互相平行的平面最多有( )
A.2对B.3对C.4对D.5对
4.如果直线a平行于平面α,那么下列命题正确的是( )
A.平面α内有且只有一条直线与a平行B.平面α内有无数条直线与a平行
C.平面α内不存在与a平行的直线D.平面α内的任意直线与直线a都平行
5.在空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD上的点,且AE∶EB=AF∶FD=1∶4,又H,G分别为BC,CD的中点,则( )
A.BD∥平面EFG,且四边形EFGH是平行四边形
B.EF∥平面BCD,且四边形EFGH是梯形
C.HG∥平面ABD,且四边形EFGH是平行四边形
D.EH∥平面ADC,且四边形EFGH是梯形
6.平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零,则α与β的位置关系为( )
A.平行B.相交C.平行或相交D.可能重合
7.已知直线l,m,平面α,β,下列命题正确的是( )
A.l∥β,l⊂α⇒α∥βB.l∥β,m∥β,l⊂α,m⊂α⇒α∥β
C.l∥m,l⊂α,m⊂β⇒α∥βD.l∥β,m∥β,l⊂α,m⊂α,l∩m=M⇒α∥β
二、填空题
8.三棱锥SABC中,G为△ABC的重心,E在棱SA上,且AE=2ES,则EG与平面SBC的关系为________.
9.如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中,
①BM∥平面DE;②CN∥平面AF;③平面BDM∥平面AFN;④平面BDE∥平面NCF.
以上四个命题中,正确命题的序号是________.
10.右图是一几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F,G,H分别为PA,PD,PC,PB的中点,在此几何体中,给出下面五个结论:
①平面EFGH∥平面ABCD;②PA∥平面BDG;
③EF∥平面PBC;④FH∥平面BDG;
⑤EF∥平面BDG;
其中正确结论的序号是________.
三、解答题
11.如图,在已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,点M,N,Q分别在PA,BD,PD上,且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD.求证:
平面MNQ∥平面PBC.
12.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,M是棱AB的中点,点N在侧面AA1D1D上运动,点N满足什么条件时,MN∥平面BB1D1D?
当堂检测答案
1.答案 D
解析 设直线外两点为A、B,若直线AB∥l,则过A、B可作无数个平面与l平行;若直线AB与l异面,则只能作一个平面与l平行;若直线AB与l相交,则过A、B没有平面与l平行.
2.答案 B
解析 ①当经过两点的直线与平面α平行时,可作出一个平面β使β∥α.
②当经过两点的直线与平面α相交时,由于作出的平面又至少有一个公共点,故经过两点的平面都与平面α相交,不能作出与平面α平行的平面.故满足条件的平面有0个或1个.
3.答案 A
解析 连接NP,因为N、P分别是BC、CD的中点,M是AB的中点,AB、BC、CD不共面,所以直线BD不在平面MNP上.∴直线BD与平面MNP平行.
4.答案 A
解析 如图,∵EG∥E1G1,
EG⊄平面E1FG1,
E1G1⊂平面E1FG1,
∴EG∥平面E1FG1,
又G1F∥H1E,
同理可证H1E∥平面E1FG1,
又H1E∩EG=E,
∴平面E1FG1∥平面EGH1.
5.答案 CD∥α
解析 因为AB∥CD,AB⊂平面α,CD⊄平面α,由线面平行的判定定理可得CD∥α.
课时精练答案
一、选择题
1.答案 D
解析 如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,在平面ABCD内,在AB上任取一点E,过点E作EF∥AD,交CD于点F,则由线面平行的判定定理,知EF,BC都平行于平面ADD1A1,用同样的方法可以在平面ABCD内作出无数条直线都与平面ADD1A1平行,但是平面ABCD与平面ADD1A1不平行,因此①②都错;③正确,事实上,因为一个平面内任意一条直线都平行于另一个平面,所以这两个平面必无公共点(要注意“任意一条直线”与“无数条直线”的区别);④是平面与平面平行的判定定理,正确.
2.答案 D
解析 对于A项,当α与β相交时,α内也有无数条直线都与交线平行,故A错误;对于B项,当a平行于α与β的交线时,也能满足,但此时α与β相交,故B错误;对于C项,当a和b都与α与β的交线平行时,也能满足,但此时α与β相交,故C错误;对于D项,α内的任何直线都与β平行,故在一个平面内存在两条相交直线平行于另一平面,故D正确.
3.答案 C
解析 侧面中有3对,对面相互平行,上下两底面也相互平行.
4.答案 B
解析 如图,直线B1C1∥平面ABCD,B1C1∥BC,B1C1∥AD,B1C1∥EF(E,F为中点)等,平面ABCD内平行于BC的所有直线均与B1C1平行.但AB与B1C1不平行.
5.答案 B
解析 易证EF∥平面BCD.
由AE∶EB=AF∶FD,知EF∥BD,且EF=
BD.
又因为H,G分别为BC,CD的中点,
所以HG∥BD,且HG=
BD.
综上可知,EF∥HG,EF≠HG,
所以四边形EFGH是梯形,且EF∥平面BCD.
6.答案 C
解析 若三点分布于平面β的同侧,则α与β平行,若三点分布于平面β的两侧,则α与β相交.
7.答案 D
解析
如图所示,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB∥CD,
则AB∥平面DC1,AB⊂平面AC,
但是平面AC与平面DC1不平行,
所以A错误;取BB1的中点E,CC1的中点F,则可证EF∥平面AC,
B1C1∥平面AC.EF⊂平面BC1,B1C1⊂平面BC1,但是平面AC与平面BC1不平行,所以B错误;可证AD∥B1C1,AD⊂平面AC,B1C1⊂平面BC1,又平面AC与平面BC1不平行,所以C错误;很明显D是面面平行的判定定理,所以D正确.
二、填空题
8.答案 平行
解析 如图,延长AG交BC于F,连接SF,则由G为△ABC的重心知AG∶GF=2,又AE∶ES=2,∴EG∥SF,又SF⊂平面SBC,EG⊄平面SBC,
∴EG∥平面SBC.
9.答案 ①②③④
解析 以ABCD为下底面还原正方体,如图:
则易判定四个命题都是正确的.
10.答案 ①②③④
解析 把图形还原为一个四棱锥,然后根据线面、面面平行的判定定理判断即可.
三、解答题
11.证明 因为PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD,
所以MQ∥AD,NQ∥BP.
因为BP⊂平面PBC,NQ⊄平面PBC,
所以NQ∥平面PBC.
又因为底面ABCD为平行四边形,
所以BC∥AD,所以MQ∥BC.
因为BC⊂平面PBC,MQ⊄平面PBC,
所以MQ∥平面PBC.
又因为MQ∩NQ=Q,
所以根据平面与平面平行的判定定理,得平面MNQ∥平面PBC.
12.
解 如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,分别取棱A1B1,A1D1,AD的中点E,F,G,连接ME,EF,FG,GM.
因为M是AB的中点,
所以ME∥AA1∥FG,且ME=AA1=FG.
所以四边形MEFG是平行四边形.
因为ME∥BB1,BB1⊂平面BB1D1D,ME⊄平面BB1D1D,
所以ME∥平面BB1D1D.
在△A1B1D1中,因为EF∥B1D1,B1D1⊂平面BB1D1D,EF⊄平面BB1D1D,
所以EF∥平面BB1D1D.
又因为ME∩EF=E,且ME⊂平面MEFG,EF⊂平面MEFG,
所以平面MEFG∥平面BB1D1D.
在FG上任取一点N,连接MN,
所以MN⊂平面MEFG.
所以MN与平面BB1D1D无公共点.
所以MN∥平面BB1D1D.
总之,当点N在平面AA1D1D内的直线FG上(任意位置)时,都有MN∥BB1D1D,
即当点N在矩形AA1D1D中过A1D1与AD的中点的直线上运动时,都有MN∥平面BB1D1D.
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