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平面与平面平行
四 空间两个平面
§9.5 两个平面平行的判定和性质
(一)
一、素质教育目标
(一)知识教学点
1.两个平面平行的定义.
2.两个平面的位置关系及画法.
3.两个平面平行的判定.
(二)能力训练点
1.理解并掌握两个平面平行的定义.
2.掌握两个平面的位置关系应用了类比的方法,体现了分类的数学思维方法.
3.会画平行或相交平面的空间图形,并用字母或符号表示,进一步培养学生的空间想象能力.
4.掌握两个平面的判定定理的证明,进一步培养学生严密的逻辑思维能力.
(三)德育渗透点
让学生认识研究两个平面的位置关系以及掌握和应用两个平面平行的判定是实际生产的需要,体现了理论联系实践的原则,并更好地培养学生分析问题与解决问题的能力.
二、教学重点、难点、疑点及解决方法
1.教学重点:
掌握两个平面的位置关系;掌握两个平面平行的判定.
2.教学难点:
掌握两个平面平行的判定定理的证明及其应用.
3.教学疑点:
正确理解并应用两个平面平行的判定定理时,要注意定理中的关键词:
相交.
三、课时安排
1.12两个平面的位置关系及1.13两个平面平行的判定和性质这两个课题调整安排为2课时.本节课为第一课时,主要讲解两个平面的位置关系及两个平面平行的判定.
四、教与学过程设计
(一)两个平面的位置关系
师:
让我们一起来观察:
教室的正面和背面、左面和右面的墙面有没有公共点?
教室的正面和侧面的墙面呢?
思考问题:
两个平面的位置关系可分为几种情况?
学生通过直观观察得出结论:
两种,平行或相交.
师:
什么是平行的平面?
生:
两个平面没有公共点叫做两个平面互相平行.
师:
能否再举出一些两个平面平行和相交的实例?
(P.35中练习1.)
学生自由回答,教师点评.
师:
从上面的例子,我们知道:
两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系相类似,可从有无公共点来区分.若两个平面有不共线的两个公共点,则由公理3可知这两个平面必然重合为一个平面;若两个平面有一个公共点,则由公理2可知这两个平面相交于过这个点的一条直线;若两个平面没有公共点,则这两个平面互相平行.由此得出不重合的两个平面的位置关系:
两个平面平行——没有公共点;
两个平面相交——有一条公共直线(至少有一个公共点).
师:
那么如何画出并表示两个平行平面和两个相交平面呢?
师边画边答:
画两个平行平面的要点是:
表示平面的平行四边形的对应边相互平行.如图1—102.
画两个相交平面的要点是:
先画表示两个平面的平行四边形的相交两边,再画表示两个平面交线的线段.成图时注意不相交的直线相互平行且等长,不可见的部分画虚线或不画.如图1—103.
学生练习(P.35中练习2):
画两个平行平面和分别在这两个平面内的两条平行直线,再画一个经过这两条平行直线的平面.
如图1—104,α∥β,a∥b,a<α,b<β,a<γ,b<γ.
(二)两个平面平行的判定
师:
根据前一小节平面平行的定义,我们来判断两个互逆命题的正误,并说明理由(幻灯显示).
命题1.如果两个平面平行,那么其中一个平面内的所有直线一定都和另一个平面平行.
命题2.如果一个平面内的所有直线都和另一个平面平行,那么这两个平面平行.
生:
命题1是正确的.因为在这些直线中如果有一条和另一个平面有公共点,这点也必是这两个平面的公共点.那么这两个平面就不可能平行了.
命题2也是正确的.因为如果这两个平面有公共点,那么在另一个平面内通过这点的直线就不可能平行于另一个平面.
师:
通过上面的讨论我们知道:
两个平面平行的问题可转化为一个平面内直线和另一个平面平行的问题.实际上判定两个平面平行的条件不需要一个平面内的所有直线都平行于另一个平面,只需要在一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面.
两个平面平行的判定定理:
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.
师:
我们知道,一个定理只有经过证明才能说明它的正确性并直接应用,下面我们来证明这个定理.
已知:
在平面β内,有两条相交直线a、b和平面α平行.
求证:
β∥α.
师分析:
要证明这个定理,先思考几个问题(提出问题并启发学生得出结论)(幻灯显示).
问题1:
如果平面α与平面β不平行,那么它们的位置关系怎样?
(相交).
问题2:
若平面α与平面β相交,那么交线与平行于平面α的直线a和b各有什么关系?
(平行).
问题3:
相交直线a和b都与交线平行合理吗?
(不合理,与平行公理矛盾).
师:
总结得出证明定理应该根据定义,利用反证法,让学生写出它的证明过程.
证明:
假设α∩β=c.
a∥α,a∩β,
a∥c,同理b∥c.
a∥b,这与题设a与b相交矛盾
α∥β.
师:
在实际生活中,也经常利用这个判定定理判断两个平面平行.如在判断一个平面是否水平时,把水准器放在这个平面上交叉放两次,如果水准器的气泡都是居中的,就可以判定这个平面和水平面平行.
下面请同学们完成例1和练习.
(三)练习
例1 垂直于同一直线的两个平面平行.
已知:
α⊥AA',β⊥AA',
求证:
α∥β.
师提示:
要证明两个平面平行,有两种方法:
一是利用定义;二是利用判定定理,也是较常用的一种方法.因此利用判定定理证明例1的关键是:
如何构造一个平面内的两相交直线都平行于另一个平面?
证明:
设经过直线AA'的两个平面γ,δ分别与平面α、β交于直线a,a'和b,b'.
∵AA'⊥α,AA'⊥β,
∴AA⊥a,AA'⊥a',
∴a‖a',则a'∥α.
同理,b'∥α.
又∵a'∩b'=A'
∴α∥β.
师:
这个例题的结论可与定理“垂直于同一平面的两条直线平行”联系起来记忆,也可作为判定两个平面平行的一种方法.
练习:
判断下列命题的正误(幻灯显示).
1.垂直于同一直线的两直线平行.
2.分别在两个平行平面内的两条直线都平行(P.37中练习1).
3.如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行(P.38中练习2<1>).
4.如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行(P.38中练习2<2>).
答:
1.错,这两条直线还可能相交或异面.
2.错,这两条直线还可能异面,但不会相交.
3.错,反例如图1—107.
4.对.
(四)总结
本节课我们学习了两个平面平行的定义;两个平面的位置关系:
平行或相交;两个平面平行的判定.掌握两个平面平行的判定的研究可以转化为线线平行、线面平行的研究.
五、作业
P.38中习题五1、2、3.
补充:
1.a、b为异面直线,a∥α,b∥α,a∥β,b∥β.
求证:
α∥β.
θ2,∠AOD=θ3.
求证:
cos·θ3=cosθ1·cosθ2.
六、板书设计
§1.13 两个平面平行的判定和性质
(一)
(一)两个平面的位置关系
平行—没有公共点
相交—有一条公共直线
(至少有一个公共点)
(二)两个平面平行的判定
1.根据定义(一般用反证法)
2.根据判定定理:
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.
3.根据例1的结论:
垂直于同一条直线的两个平面平行.
判定定理
已知:
在平面β内a,有两条相交直线a、b和平面α平行
求证:
β∥α.
已知:
α⊥AA'
β⊥AA'
求证:
α∥β.
七、参考资料
《立体几何全一册》教学参考书
《三点一测丛书》高一数学
§1.13 两个平面平行的判定和性质
(二)
一、素质教育目标
(一)知识教学点
1.两个平面平行的性质.
2.两个平行平面的公垂线、公垂线段、距离的定义.
(二)能力训练点
1.利用转化的思维方法掌握和应用两个平面平行的性质.
2.应用类比的方法理解并掌握两个平行平面的公垂线、公垂线段、距离的定义.
二、教学重点、难点、疑点及解决方法
1.教学重点:
掌握两个平面平行的性质及其应用;掌握两平行平面间的距离的概念,会求两个平行平面间的距离.
2.教学难点:
掌握两个平行平面的性质及其应用.
3.教学疑点:
正确掌握如何将两个平面平行的性质的研究转化为线线平行、线面平行、线面垂直的研究.
三、课时安排
1.12两个平面的位置关系及1.13两个平面平行的判定和性质这两个课题调整安排为2课时.本节课为第二课时,主要讲解两个平面平行的性质.
四、教与学过程设计
(一)复习两个平面的位置关系及两个平面平行的判定
(一)复习两个平面的位置关系及两个平面平行的判定
师:
两个平面的位置关系有哪几种?
生:
平行或相交.
师:
两个平面平行的判定方法有哪几种?
生:
第一种可根据定义(一般用反证法).
b=0,a∥β,b∥β,则α∥β.
第三种可根据例1的结论,即:
如图1-110,若α⊥AA',β⊥AA',则α∥β.
(二)两个平面平行的性质
师:
今天我们研究两个平面平行的性质.根据两个平面平行直线和平面平行的定义可知:
两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一个平面.因此,在解决实际问题时,常常把面面平行转化为线面平行或线线平行.这个结论可作为两个平面平行的性质1:
若α∥
1.两个平面平行的性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.
已知:
α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b.
求证:
a∥b.
师:
要证明这个定理,有两种证法:
直接证法和间接证法(即反证法).下面请同学们书写直接证法,口述反证法.
生:
(直接证法.)
∵α∥β,
∴α与β没有公共点.
∴a∥b.
(反证法.)
假设直线a不平行于直线b,因为直线a、b在同一个平面γ内,
公共点P,即α,β相交,这与“α∥β”矛盾,所以假设不成立,即a∥b.
师:
这个结论可作为性质2:
若α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,则a∥b.下面我们再看一个例题.
2.例题
例2 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面.
已知:
α∥β,l⊥α,l∩α=A.
求证:
l⊥β.
师提问:
证明直线与平面垂直的方法有几种?
师与生共同回忆:
方法一,证明直线与平面内的任何一条直线都垂直;方法二,证明直线与平面内两条相交的直线垂直;方法三,证明直线的一条平行线与平面垂直.
比较几种方法,我们可以试着用第一种方法来证明.
证明:
在平面β内任取一条直线b,平面γ是经过点A与直线b的平面,设γ∩α=a.
因为直线b是平面β内的任意一条直线,所以l⊥β.
师:
这个例题的结论可与定理“一个平面垂直于两条平行直线中的一条直线,它也垂直于另一条直线.”联系起来记忆,它也可作为性质3:
若α∥β,l⊥α,则l⊥β.
3.两个平行平面的公垂线、公垂线段和距离
师:
象性质3这样的,和两个平行平面α,β同时垂直的直线l,叫做这两个平行平面α,β的公垂线,它夹在这两个平行平面间的部分叫做这两个平行平面的公垂线段.
如图1—113,α∥β.如果AA'、BB'都是它们的公垂线段,那么AA'∥BB',根据两个平面平行的性质定理有A'B'∥AB,所以四边形ABB'A'是平行四边形,AA'=BB'.
由此,我们得到,两个平行平面的公垂线段都相等,公垂线段的长度具有唯一性.与两平行线间的距离定义相类似,我们把公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离.两个平行平面间距离实质上也是点到面或两点间的距离,求值最后也是通过解三角形求得
4.练习(幻灯显示)
(1)如图1—114,平面α∥β,△ABC在β内,P是α、β
间的一点,线段PA、PB、PC分别交α于A'、B'、C',若BC=12cm,AC=50cm,AB=13cm,且PA'∶PA=2∶3,则△
师提示:
△ABC∽△A'B'C',且相似比为3∶2.
BB'⊥β于B',若AC⊥AB,AC与β成60°角,AC=8cm,B'
师提示:
可求A'C=4cm,又可证AB⊥平面AA'C,且四边形AA'B'B为矩形,∴AB=A'B',AB∥A'B'.∴A'B'⊥平面AA'C,从而A'B'⊥A'C.在Rt△A'B'C中,
(3)(P.38中练习3)夹在两个平行平面间的平行线段相等.
已知:
如图1—116,α∥β,AB∥CD,A∈α,C∈α,B∈β,D∈β.
求证:
AB=CD.
证明:
∵AB∥CD,
∴过AB、CD的平面γ与平面α和β分别交于AC'和BD.
∵α∥β,
∴BD∥AC.
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD.
师:
这个练习的结论可作为性质4:
夹在两个平行平面间的平行线段相等.
(三)总结
这节课,我们不仅学习了两个平行平面的公垂线、公垂线段和距离的定义,还学习了两个平行平面的四个性质.此外,两平行平面的第五个性质:
经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行.它的证明作为今天的作业(P.38中习题五4).这节课学习的关键是利用两个平行平面的性质解题时,要注意常把面面平行的问题转化成线面平行或线线平行的问题.
五、作业
P.38—39中习题五4、5、6、7、8.
六、板书设计
一、两个平面平行的性质
1.两平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一平面.
4.夹在两个平行平面间的平行线段相等.
5.经过平面外一点只有一个平面与已知平面平行.
二、公垂线、公垂线段、距离
和两个平行平面同时垂直的直线叫它的公垂线.它夹在两个平行平面间的部分叫公垂线段.公垂线段的长度叫距离.
性质定理
已知:
α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b.
求证:
a∥b.
例2
已知:
α∥β,l⊥α,l∩α=A
求证:
l⊥β
练习
(1)
练习
(2)
练习(3)(P.38中练习3)
已知:
α∥β,AB∥CD,A∈α.C∈α,B∈β,D∈β.
求证:
AB=CD.
复习:
一、两个平面的位置关系
平行或相交.
二、两个平面平行的判定
1.利用定义(反证法)
2.利用判定定理
3.利用例1的结论
七、参考资料
《立体几何全一册》教学参考书
《三点一测丛书》高一数学
§1.14 二面角
一、素质教育目标
(一)知识教学点
1.二面角的有关概念.
2.二面角的平面角的定义及作法.
(二)能力训练点
1.利用类比的方法理解和掌握二面角的有关概念;掌握二面角的平面角的定义.
2.用转化的思维方法将二面角问题转化为其平面角问题,进一步培养学生的空间想象能力和分析、解决问题的能力.
3.通过练习,归纳总结作二面角的平面角的三种方法.
(三)德育渗透点
让学生认识到研究二面角的问题是人类生产实践的需要,进一步培养学生实践第一的观点.
二、教学重点、难点、疑点及解决方法
1.教学重点:
二面角、二面角的平面角的概念.
2.教学难点:
如何选取恰当的位置作出二面角的平面角来解题.
3.教学疑点:
二面角的平面角必须满足下列两个条件:
一是平面角的顶点必在棱上;二是平面角的两边分别在二面角的两个面内.
三、课时安排
1课时.
四、教与学过程设计
(一)二面角
师:
我们知道,两个平面的位置关系有两种:
一种是平行,另一种是相交.两个相交平面的相对位置是由这两个平面所成的“角”来确定的.在生产实践中,有许多问题也涉及到两个平面所成的角.如:
修筑水坝时,为了使水坝坚固耐久,必须使水坝面和水平面成适当的角度;发射人造地球卫生时,也要根据需要,使卫星的轨道平面和地球的赤道平面成一定的角度(图看课本P.39中图1—43),等等.这些事实都说明了研究两个平面所成的“角”是十分必要的,我们就把这样的“角”叫二面角,那么如何定义二面角呢?
阅读课本P.39—40,回答下列问题.
师:
我们先来回忆:
什么是角?
如何表示?
生:
从平面内一点出发的两条射线(半直线)所组成的图形叫做角(如图1—117),表示为∠AOB.
师:
根据角的定义,我们可以类似地定义二面角.先给出半平面的定义.
生:
一个平面内的一条直线,把这个平面分成两部分,其中的每一部分都叫做半平面.
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面(如图1—119).
师:
那么如何表示二面角呢?
生:
棱为AB,面为α、β的二面角记作二面角α—AB—β,如果棱用a表示,则记作二面角α—a—β.
师:
二面角的画法通常有哪几种?
生:
第一种是卧式法,也称为平卧式(如图1-120).
第二种是立式法,也称为直立式.
(二)平面角
师:
为了对相交平面的相互位置作进一步的探讨,有必要研究二面角的大小问题.如门和墙所在的平面是相交的,但门可以在关上、开一点小缝、开一半、全开等各种位置上,也就是说两平面虽处于相交的位置关系,但相互之间的位置关系还是应当讨论的.为了表示二面角的大小,我们必须引入平面角的定义.
定义:
以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
师:
二面角的大小可以用它的平面角来度量,即二面角的平面角是几度,就说这个二面角是几度.现在我们来思考:
问题1:
这样用平面角的度数来表示二面角的度数是否合理?
为什么?
生:
是合理的.
如图1—121,在二面角α—a—β的棱a上任取一点O,在半平面α和β内,从点O分别作垂直于棱a的射线OA、OB,射线OA和OB组成∠AOB,在棱上另取任意一点O',按同样的方法作∠A'O'B',因为OA和OA'、OB和OB'都垂直于棱a,所以∠AOB和∠A'O'B'的两边分别平行且方向相同,根据等角定理,得:
∠AOB=∠A'O'B',即∠AOB的大小是一定的.由于这个唯一性,从而说明这样定义二面角的平面角是合理的,且与点O在棱上的位置无关.
问题2:
二面角的平面角必须满足哪几个条件?
生:
两个条件.一是平面角的顶点必在棱上;二是平面角的两边分别在二面角的两个面内.
师:
平面角是直角的二面角叫直二面角.
在实际生活中,木工用活动角尺测量工件的两个面所成的角时,就是测量这两个角所成二面角的平面角(图见P.40中图1—45).我国发射的第一颗人造地球卫星的倾角是68.5°,就是说卫生轨道平面与地球赤道平面所成的二面角的平面角是68.5°(图见P.39中图1—43).
下面请同学们完成例题和练习.
(三)练习
例 如图1—122,山坡的倾斜度(坡面与水平面所成二面角的度数)是60°,山坡上有一条直道CD,它和坡脚的水平线AB的夹角是30°,沿这条路上山,行走100米后升高多少米?
解:
已知CD=100米,设DH垂直于过BC的水平平面,垂足为H,线段DH的长度就是所求的高度.在平面DBC内,过点D作DG⊥BC,垂足是G,连结GH.
∵DH⊥平面BCH,DG⊥BC,
∴GH⊥BC.
因此,∠DGH就是坡面DGC和水平平面BCH所成的二面角的平面角,∠DGH=60°,由此得:
≈43.3(米).
答:
沿直道前进100米,升高约43.3米.
注:
在解题中要特别注意书写规范.如:
∵DG⊥BC,GH⊥BC,
∴∠DGH是坡面DGC和水平面BCH所成二面角的平面角.
练习:
(P.41—42练习1、2、3、4.)
1.拿一张正三角形的纸片ABC,以它的高AD为折痕,折成一个二面角,指出这个二面角的面、棱、平面角.
2.一个平面垂直于二面角的棱,它和二面角的两个面的交线所成的角就是二面角的平面角.为什么?
3.教室相邻两面墙、天花板两两所成的二面角各有多少度?
4.在30°二面角的一个面内有一个点,它到另一个面的距离是10cm,求它到棱的距离.
解:
1.如图1—123,二面角B—AD—C中,面ABD,面ACD;棱AD;平面角∠BDC.
2.如图1—124,平面AOB⊥a,平面AOB与平面α、β的交
∠AOB是二面角α—a—β的平面角.
3.如图1—125,二面角α—c—β,二面角β—b—γ,二面角α—a—γ的平面角分别为∠AOB,∠AOC,∠BOC,都是90°.
4.已知:
如图1—126,二面角α—AB—β为30°,P∈α,P到平面β的距离为10cm.
求P到AB的距离.
解:
在β内作点P的射影O,过点P作PQ⊥AB于Q,连结OQ,根据三垂线定理,可得OQ⊥AB.
∴∠PQO为二面角α—AB—β的平面角,即∠PQO=3O°.
∵PO=10cm,
∴PQ=20cm.
即P到AB的距离为20cm.
小结:
从上面四题练习,我们可以总结三种作二面角的平面角的一般方法.
1.定义法:
以二面角的棱上某一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角即二面角的平面角(如练习1,3).
2.应用三垂线(逆)定理法:
在二面角α—l—β的面α上取一点A,作AB⊥β于B,BC⊥l于C,则∠ACB即为α—l—β的平面角(如练习4).
3.作垂面法:
作棱的垂面,则它和二面角的两个面的交线所成的角就是二面角的平面角(如练习2).
(四)总结
本节课我们学习了二面角,二面角的平面角等有关概念,并学会了如何作二面角的平面角.学习的关键是将二面角的问题转化为其平面角的问题.
五、作业
P.45—46中习题六1、2、3、4、5.
六、板书设计
§1.14 二面角
一、二面角
1.定义
2.表示
3.画法:
(1)卧式法
(2)立式法
二、平面角
1.定义(课本P.40)
2.平面角的作法
(1)定义法:
(2)三垂线(逆)定理法:
(3)垂面法:
练习
1.拿一张正三角形的纸片ABC,以它的高AD为折痕,折成一个二面角,指出这个二面角的面、棱、平面角.
2.一个平面垂直于二面角的棱,它和二面角的两个面的交线所成的角就是二面角的平面角,为什么?
例:
山坡的倾斜度是60°,山坡上有一条直道CD,它和坡脚的水平线AB的夹角是30°,沿这条路上山,行走100米后升高多少米?
3.教室相邻两面墙、天花板两两所成的二面角各有多少度?
4.在30°二面角的一个面内有一个点,它到另一个面的距离是10cm,求它到棱的距离.
七、参考资料
《立体几何全一册》教学参考书
《三点一测丛书》高一数学
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