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数学运算.docx
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数学运算
数学运算
甲袋装有2013枚白棋子和2012枚黑棋子,乙袋中装有足够多的黑棋子,丙袋是空袋。
小王每次从甲袋中任意取出2枚放入丙袋。
规定:
若取出的两枚棋子颜色相同,则从乙袋中取出一枚黑棋子放入甲袋;若取出的两枚棋子颜色不同,则将白棋子放回到甲袋中。
如果小王从甲袋中取了4023次,那么丙袋中白棋子多少枚?
A.2010B.2011C.2012D.2013
这道题目看似复杂,其实只要能分析清楚其中的变化关系,题目并不难,我们来看:
两种方式每取一次,甲袋就会减少一枚棋子,这就是我们提示大家的有规律的变化,所以可知最后甲袋中剩2012+2013-4023=2枚。
又因为甲袋中减少的白棋子是偶数,则甲袋中剩下的白棋子为奇数。
所以最后甲袋剩下的两枚为一黑一白。
丙袋中的白棋子都是从甲袋中来的,则丙袋中白棋子为2013-1=2012枚
再比如,一个酒精瓶,它的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈),如图,它的容积为24立方厘米,当瓶子正放时,瓶内的酒精的液面高为6厘米,瓶子倒放时,空余部分的高为2厘米,则瓶内酒精体积是?
A.16B.18C.20D.22
这道题目也是一样,看似没有思路,其实只要能分析出哪个变量是变化的,哪个变量是不变的,即可轻松得到答案。
跟随我们一起来看,两种放法中容器整个的体积和其中酒精的体积是不变的,那么,正放时上面没有酒精的体积和倒放时上面没有酒精的体积也是相等的,所以把正放时上面空余的部分用倒放时上面空余的部分替换掉。
整个容器就变成了一个标准的圆柱体,上下的高度比为2:
6,所以酒精占到整体的3/4,所以体积为24*3/4=18立方厘米。
一、元素相同看位置
做图形推理的时候,首先对元素进行分析,如果图形元素种类和个数完全相同,常见考点为元素的位置关系。
二、元素相似看样式(遍历+运算)
当图形之间元素部分相同,部分不同,主要考核样式的遍历和运算。
三、元素不同(数量+属性+其他)
图形之间元素完全不同,这种情况在实际考试中是涉及考点最多,最复杂的。
一种是对元素数量(点线角面素)和属性(对称曲直开封)的考核,这种考点的考核,可以使用试错法来快速达到解题的目的。
另一种是通过寻找图形之间的共同特点和共同变化,从而找出规律。
第一种被“秒杀”的规律:
遍历
什么是遍历?
所谓遍历,是指行与行之间或列与列之间含有完全相同的若干个图形,这些图形进行不同的组合,保证每一种图形都出现一次。
遍历的定义看似很繁杂,换句话说,就是每种图形出现的次数是一样的,在图形推理题目中,把所缺的图形补上即可,也就是“缺啥补啥”。
以娃娃脸方式考察遍历是公考中最为常见的一种,比如06年的国考题:
解析:
在这道题中,我们可以发现,在这个九宫格图形中,第一、二行的耳朵、眼睛和嘴巴都呈现出一致的规律,耳朵均有左闭右开、左开右闭、左右都闭三种情况;嘴巴均有向上、向下、横线三种情况;眼睛均有左白右黑、左黑右白、左右都白三种情况。
因此可以判断,这道题考察的是遍历,“缺啥补啥”,我们将第三行中缺的左闭右开的耳朵,向上的嘴巴,左右都白的眼睛给补上即可,即选C。
这就是第一种可以被秒杀的规律——遍历,需要注意的是,该类题型规律虽然很容易被发现,但在进行选择的过程中,极其需要考生的细心,因为每个选项模样相似。
因此,考生遇到此类题型的时候,要保持头脑冷静,切勿因粗心而选错。
第二种被“秒杀”的规律:
旋转
所谓旋转,即是在平面内,把一个图形绕某个点旋转一个角度的图形变换叫做旋转。
该类题型的图形组成元素完全相同,只是在位置上发生了旋转,因此,这类题目的规律非常容易识别。
在旋转中,旋转方向可为顺时针和逆时针,旋转角度常见的有90度、135度、180度等。
解析:
首先,这道题组成元素完全相同,只是位置上发生了变换,再仔细观察发现,其发生了旋转变化,且旋转规律为顺时针旋转90度,按此规律类推可以得出答案为A。
这是考察旋转的一道典型例题,也是我们介绍的第二种被“秒杀”的规律。
考生在遇到此种题型的时候,亦需要仔细谨慎,以防出错。
综上所述,遍历和旋转是图形推理中最容易识别的两种规律,考生在遇到这些题型的时候,一定要能够掌握规律,正确推理,从而选出正确答案。
乘方尾数法是解答数量关系题的一个非常重要的方法,它的重要性不仅体现在本身的计算方法,更重要的它体现了一种尾数计算的思想,很多时候我们做一道计算题,只需要对其尾数进行计算。
下面着重讲述乘方尾数法。
2n的尾数是以“4”为周期循环变化,分别为:
2,4,8,6;
3n的尾数是以“4”为周期循环变化,分别为:
3,9,7,1;
4n的尾数是以“4”为周期循环变化,分别为:
4,6,4,6;
7n的尾数是以“4”为周期循环变化,分别为:
7,9,3,1;
8n的尾数是以“4”为周期循环变化,分别为:
8,4,2,6;
9n的尾数是以“4”周期循环变化,分别为:
9,1,9,1
0n、1n、5n和6n的尾数分别是常数0、1、5和6。
乘方尾数问题:
底数只留个位;指数除以4留余数(余数为0则换成4)。
【例1】19991998的末位数字是()
A.1B.3 C.7D.9
直接计算让人无从下手。
这类问题的核心在于,整个数乘方的尾数与末位数乘方的尾数是相同的,即19991998的尾数与91998的尾数是完全相同的,而9的乘方尾数是9、1循环的,故我们只需判断1998次方是落在哪个循环节上,1998能被2整除,因此尾数一定为1,可知A是正确答案。
这样做虽然快,但1~9这9个数的尾数循环是不同的,有的是1个一循环,有的是2个一循环,有的是4个一循环,若每次都先考虑尾数是几个一循环是非常麻烦的,而若强行记忆又容易出现错误。
所以我们尝试寻求一个更好的方法。
我们知道:
列表后容易发现,这9个数的乘方尾数都可以看做是4次一循环,这就大大减轻了记忆难度,于是做这类乘方尾数问题,我们只需要求出其指数除以4的余数(注意:
若余数为0,则代表能被4整除,则应落在第4循环节,即余数为0则看作4),而一个数除以4的余数和这个数的末两位数除以4的余数是相同的。
综上,我们给出一个口诀:
“底数留个位;指数末两位除以4留余数(余数为0,则看做4)”
下面我们应用口诀来计算几道例题:
1.左撇子的人比右撇子的人更容易患某些免疫失调症,例如过敏。
然而,左撇子也有优于右撇子的地方,例如,左撇子更擅长于由右脑半球执行的工作。
而人的数学推理工作一般是由右脑半球执行的。
从上述断定能推出以下哪个结论?
()
Ⅰ.患有过敏或其他免疫失调症的人中,左撇子比右撇子多。
Ⅱ.在所有数学推理能力强的人当中,左撇子的比例高于所有推理能力弱的人中左撇子的比例。
Ⅲ.在所有左撇子中,数学推理能力强的比例高于数学推理能力弱的比例。
A.仅ⅠB.仅ⅡC.仅ⅢD.仅Ⅰ和Ⅲ
2.当一名司机被怀疑饮用了过多的酒精时,检验该司机走直线的能力与检验该司机血液中的酒精水平相比,是检验该司机是否适于驾车的更可靠的指标。
如果正确,能最好地支持上述观点的一项是()
A.观察者们对一个人是否成功地走了直线不能全部达成一致
B.用于检验血液酒精含量水平的测试是准确、低成本和易于实施的
C.一些人在血液酒精含量水平很高时,还可以走直线,但不能完全驾车
D.由于基因的不同和对酒精的抵抗能力的差别,一些人血液酒精含量水平很高时仍能正常驾车
3.小丁把2005年年度统计报告交给樊局长过目,樊局长一眼就看出其中一个统计数字有问题,他对小丁说:
“这个统计数字有误,请查查是原始数据有误,还是计算有误?
”小丁又仔细地计算了一遍,结果表明计算错了。
据此,我们可以认为:
()
A.原始数据有问题 B.原始数据没有错
C.不能肯定原始数据是否错了D.能够肯定原始数据是否错了
4.有金、银、铜三个盒子,有一个硬币藏在其中一个盒子里,三个盒子上各贴着一张纸条,上面的提示分别是:
(1)硬币在金盒子中
(2)硬币不在银盒子中
(3)硬币不在金盒子中。
这三句话只有一句是真的。
根据以上条件,硬币藏在哪个盒子中?
()
A.硬币在金盒子中B.硬币在银盒子中C.硬币在铜盒子中D.无确切答案
5.“只有第三机步师攻占巴士拉,第五骑兵旅才能穿插到巴格达。
”
以下哪些项目正确地传达了这一军事信息:
()
(1)除非第五骑兵旅穿插到巴格达,否则第三机步师就不能攻占巴士拉;
(2)如果第三机步师不攻占巴士拉,那么第五骑兵旅就不能穿插到巴格达;
(3)只要第三机步师攻占巴士拉,第五骑兵旅就可以穿插到巴格达。
A.只有
(1) B.只有
(2)
C.只有
(1)、
(2)D.只有
(2)、(3)
参考答案解析
1.【解析】C。
从“左撇子的人比右撇子的人更容易患某些免疫失调症”推不出“患免疫失调症的人中,左撇子比右撇子多”。
选项I不能作为结论从题干推出。
选项Ⅱ也不能作为结论从题干推出。
选项RI可以作为结论从题干推出。
否则,如果在所有左撇子中,数学推理能力强的比例低于数学推理能力弱的比例,那么,一般的左撇子并不擅长数学推理,这显然有悖于题干的断定。
2.【解析】D。
题干的观点是“在检验司机是否适于驾车的指标中,检验司机走直线的能力比检验司机血液中的酒精水平更可靠”。
要支持这个观点要么指出前者的优势,要么指出后者的缺点,D项就指出了后者的缺点。
3.【解析】C。
题中“是原始数据有误,还是计算有误?
”是相容选言判断,现在知道“结果表明计算错了”,但不能判断原始数据是对是错。
4.【解析】B。
题中
(1)和(3)是矛盾关系,必有一真一假,则根据“这三句话只有一句是真的”可推得
(2)是假的,则知道硬币在银盒子中。
5.【解析】B。
“第三机步师攻占巴士拉”是必要的唯一的前提,“第五骑兵旅才能穿插到巴格达”是必然的结果。
推理
(1)倒因为果,自然错误。
(2)以假设条件用否定性的表述题干意思,可以推出的。
(3)把题干变成了充分条件,给了其他的条件也会导致同样结果的可能性,也是不能推出的。
只有
(2)可以成立。
数列篇
第一步:
整体观察,若有线性趋势则走思路A,若没有线性趋势或线性趋势不明显则走思路B。
注:
线性趋势是指数列总体上往一个方向发展,即数值越来越大,或越来越小,且直观上数值的大小变化跟项数本身有直接关联(别觉得太玄乎,其实大家做过一些题后都能有这个直觉)
第二步思路A:
分析趋势
1,增幅(包括减幅)一般做加减。
基本方法是做差,但如果做差超过三级仍找不到规律,立即转换思路,因为公考没有考过三级以上的等差数列及其变式。
例1:
-8,15,39,65,94,128,170,()
A.180B.210C.225D256
解:
观察呈线性规律,数值逐渐增大,且增幅一般,考虑做差,得出差23,24,26,29,34,42,再度形成一个增幅很小的线性数列,再做差得出1,2,3,5,8,很明显的一个和递推数列,下一项是5+8=13,因而二级差数列的下一项是42+13=55,因此一级数列的下一项是170+55=225,选C。
总结:
做差不会超过三级;一些典型的数列要熟记在心
2,增幅较大做乘除
例2:
0.25,0.25,0.5,2,16,()
A.32B.64C.128D.256
解:
观察呈线性规律,从0.25增到16,增幅较大考虑做乘除,后项除以前项得出1,2,4,8,典型的等比数列,二级数列下一项是8*2=16,因此原数列下一项是16*16=256
总结:
做商也不会超过三级
3,增幅很大考虑幂次数列
例3:
2,5,28,257,()
A.2006B。
1342C。
3503D。
3126
解:
观察呈线性规律,增幅很大,考虑幂次数列,最大数规律较明显是该题的突破口,注意到257附近有幂次数256,同理28附近有27、25,5附近有4、8,2附近有1、4。
而数列的每一项必与其项数有关,所以与原数列相关的幂次数列应是1,4,27,256(原数列各项加1所得)即1^1,2^2,3^3,4^4,下一项应该是5^5,即3125,所以选D
总结:
对幂次数要熟悉
第二步思路B:
寻找视觉冲击点
注:
视觉冲击点是指数列中存在着的相对特殊、与众不同的现象,这些现象往往是解题思路的导引
视觉冲击点1:
长数列,项数在6项以上。
基本解题思路是分组或隔项。
例4:
1,2,7,13,49,24,343,()
A.35B。
69C。
114D。
238
解:
观察前6项相对较小,第七项突然变大,不成线性规律,考虑思路B。
长数列考虑分组或隔项,尝试隔项得两个数列1,7,49,343;2,13,24,()。
明显各成规律,第一个支数列是等比数列,第二个支数列是公差为11的等差数列,很快得出答案A。
总结:
将等差和等比数列隔项杂糅是常见的考法。
视觉冲击点2:
摇摆数列,数值忽大忽小,呈摇摆状。
基本解题思路是隔项。
205
例5:
64,24,44,34,39,()
10
A.20B。
32C36.5D。
19
解:
观察数值忽小忽大,马上隔项观察,做差如上,发现差成为一个等比数列,下一项差应为5/2=2.5,易得出答案为36.5
总结:
隔项取数不一定各成规律,也有可能如此题一样综合形成规律。
视觉冲击点3:
双括号。
一定是隔项成规律!
例6:
1,3,3,5,7,9,13,15,(),()
A.19,21B。
19,23C。
21,23D。
27,30
解:
看见双括号直接隔项找规律,有1,3,7,13,();3,5,9,15,(),很明显都是公差为2的二级等差数列,易得答案21,23,选C
例7:
0,9,5,29,8,67,17,(),()
A.125,3B。
129,24C。
84,24D。
172,83
解:
注意到是摇摆数列且有双括号,义无反顾地隔项找规律!
有0,5,8,17,();9,29,67,()。
支数列二数值较大,规律较易显现,注意到增幅较大,考虑乘除或幂次数列,脑中闪过8,27,64,发现支数列二是2^3+1,3^3+2,4^3+3的变式,下一项应是5^3+4=129。
直接选B。
回头再看会发现支数列一可以还原成1-1,4+1,9-1,16+1,25-1.
总结:
双括号隔项找规律一般只确定支数列其一即可,为节省时间,另一支数列可以忽略不计
视觉冲击点4:
分式。
类型
(1):
整数和分数混搭,提示做乘除。
例8:
1200,200,40,(),10/3
A.10B。
20C。
30D。
5
解:
整数和分数混搭,马上联想做商,很易得出答案为10
类型
(2):
全分数。
解题思路为:
能约分的先约分;能划一的先划一;突破口在于不宜变化的分数,称作基准数;分子或分母跟项数必有关系。
例9:
3/15,1/3,3/7,1/2,()
A.5/8B。
4/9C。
15/27D。
-3
解:
能约分的先约分3/15=1/5;分母的公倍数比较大,不适合划一;突破口为3/7,因为分母较大,不宜再做乘积,因此以其作为基准数,其他分数围绕它变化;再找项数的关系3/7的分子正好是它的项数,1/5的分子也正好它的项数,于是很快发现分数列可以转化为1/5,2/6,3/7,4/8,下一项是5/9,即15/27
例10:
-4/9,10/9,4/3,7/9,1/9
A.7/3B10/9C-5/18D-2
解:
没有可约分的;但是分母可以划一,取出分子数列有-4,10,12,7,1,后项减前项得
14,2,-5,-6,(-3.5),(-0.5)与分子数列比较可知下一项应是7/(-2)=-3.5,所以分子数列下一项是1+(-3.5)=-2.5。
因此(-2.5)/9=-5/18
视觉冲击点5:
正负交叠。
基本思路是做商。
例11:
8/9,-2/3,1/2,-3/8,()
A9/32B5/72C8/32D9/23
解:
正负交叠,立马做商,发现是一个等比数列,易得出A
视觉冲击点6:
根式。
类型
(1)数列中出现根数和整数混搭,基本思路是将整数化为根数,将根号外数字移进根号内
例12:
0316√212()()248
A.√324B.√336C.224D.236
解:
双括号先隔项有0,1,√2,(),2;3,6,12,(),48.支数列一即是根数和整数混搭类型,以√2为基准数,其他数围绕它变形,将整数划一为根数有√0√1√2()√4,易知应填入√3;支数列二是明显的公比为2的等比数列,因此答案为A
类型
(2)根数的加减式,基本思路是运用平方差公式:
a^2-b^2=(a+b)(a-b)
例13:
√2-1,1/(√3+1),1/3,()
A(√5-1)/4B2C1/(√5-1)D√3
解:
形式划一:
√2-1=(√2-1)(√2+1)/(√2+1)=(2-1)/(√2+1)=1/(√2+1),这是根式加减式的基本变形形式,要考就这么考。
同时,1/3=1/(1+2)=1/(1+√4),因此,易知下一项是1/(√5+1)=(√5-1)/[(√5)^2-1]=(√5-1)/4.
视觉冲击点7:
首一项或首两项较小且接近,第二项或第三项突然数值变大。
基本思路是分组递推,用首一项或首两项进行五则运算(包括乘方)得到下一个数。
例14:
2,3,13,175,()
A.30625B。
30651C。
30759D。
30952
解:
观察,2,3很接近,13突然变大,考虑用2,3计算得出13有2*5+3=3,也有3^2+2*2=13等等,为使3,13,175也成规律,显然为13^2+3*2=175,所以下一项是175^2+13*2=30651
总结:
有时递推运算规则很难找,但不要动摇,一般这类题目的规律就是如此。
视觉冲击点8:
纯小数数列,即数列各项都是小数。
基本思路是将整数部分和小数部分分开考虑,或者各成单独的数列或者共同成规律。
例15:
1.01,1.02,2.03,3.05,5.08,()
A.8.13B。
8.013C。
7.12D7.012
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