文数届高考二轮精品复习资源专题九解析几何.docx
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文数届高考二轮精品复习资源专题九解析几何
专题九解析几何
…考向预测
从近五年的高考试题来看,该部分的试题是综合性的,题目中既有直线和圆的方程的问题,又有圆锥曲线与方
程的问题•考查的重点:
直线方程与两直线的位置关系;圆的方程;点、线、圆的位置关系;椭圆、双曲线、
抛物线及其性质;直线与圆锥曲线的位置关系;曲线的方程;圆锥曲线的综合问题.
…知识与技巧的梳理
1直线方程与圆的方程
(1)直线方程的五种形式
名称
方程形式
适用条件
点斜式
yy。
k(xxo)
不台能表示斜率不存在的直线
斜截式
ykxb
不冃匕表小斜率不存在的直线
两点式
yy1xX1
y2y1X2x
不能表示平行于坐标轴的直线
截距式
八1
ab
不能表示平行于坐标轴的直线
和过原点的直线
一般式
AxByC0(A,B
不同时为零)
可以表示所有类型的直线
(2)两条直线平行与垂直的判定
①两条直线平行:
对于两条不重合的直线ll,I2,若其斜率分别为ki,k2,则有11//l2Kk2;当直线Il,I2不重合且斜率都不存在时,I1//I2•
②两条直线垂直:
如果两条直线I1,I2的斜率存在,设为ki,k2,则有I1I2k1k21;
当其中一条直线的斜率不存在,而另一条直线的斜率为
0时,liI2•
(3)两条直线的交点的求法
直线ii:
AxBiyG0,
l2:
A>xB2yC2
则ii与12的交点坐标就是方程组
AxB〔yG
A2xB2yC2
0的解•
(4)二种距离公式
①RO,yj,BXy)两点之间的距离:
IRP2I
(X2Xi)2(y2yi)2•
②点P0(xo,yo)到直线1:
AxByC
0的距离:
AxoBy。
C
.A2B2
③平行线AxByG0与AxBy
C20间距离:
CiC2
A2B2
(5)圆的定义及方程
定义
平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
标准方程
222
(xa)(yb)r(r0)
圆心:
(a,b),半径:
r
x2y2DxEyF0,
圆心:
(二,二),
一般方程
22
(D2E24F0)
半径:
丄JD2E24F
2
(6)点与圆的位置关系
点M(X0,y°)与圆(xa)2
(y
b)2
2
r的位置关系:
①若M(x°,y°)在圆外,则
(x0
a)2
(y。
b)2
②右M(x°,y°)在圆上,则
a)2
(y。
b)2
③若M(x°,y°)在圆内,则
(x0
a)2
(y。
b)2
2•直线、圆的位置关系
相离
相切
相交
图形
a
量方程观点
—
0
0
0
(1)直线与圆的位置关系(半径为r,
圆心到直线的距离为d)
化
几何观点
dr
dr
dr
(2)圆与圆的位置关系
设两圆的圆心距为d,两圆的半径分别为R,r(Rr),则
宀护¥方位置大糸
外离
外切
相交
内切
内含
公共点个数
0
1
2
1
0
d,R,r的关系
dRr
dRr
Rrd
Rr
dRr
dRr
公切线条数
4
3
2
1
0
3•圆锥曲线及其性质
(1)椭圆的标准方程及几何性质
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
22
~1(ab°)
ab
22
■^2T21(ab0)ab
1
图形
I
*
焦点坐标
F1(c,0),F2(g0)
R(0,c),F2(0,c)
顶点坐标
A(a,0),A(a,O),B(0,b),B2(o,b)
A(0,a),A2(0,a),B(b,0),B(b0
长轴
长轴A1A22a,a疋长半轴的长
短轴
短轴B1B22b,b是短半轴的长
焦距
焦距F1F22c,c是半焦距
范围
|x|a,|y|b
|x|b,|y|a
离心率
eCJ1%(0e1),e越接近1,椭圆越扁;e越接近0,椭圆越aVa
圆
(2)双曲线的标准方程及几何性质
22
22
标准方程
-2~y^1(a0,b0)ab
■^2~21(a0,b0)
ab
图形
■hW>
L
rin?
一般方程
22
mxny1(mn0)
几
何性质
范围
|x|a,yR
|yIa,XR
焦占
八'、八\、
Fi(c,0),F2(c,0)
h(0,c),F2(0,c)
顶点
A(a,0),A(a,0)
A(0,a),A2(0,a)
对称性
关于x轴、y轴对称,关于原点中心对称
实、虚轴长
线段AA叫做双曲线的实轴,它的长IAAJ2a;线段RD叫
做双曲线的虚轴,它的长IB!
B212b(a叫做双曲线的实半轴
长,b叫做双曲线的虚半轴长)
焦距
焦距IRF2I2c,c是半焦距
离心率
c/~b2
e-』~?
(e1)
aVa
渐近线方程
yaX
yA
(3)抛物线的标准方程及其几何性质
2y
2px
2y
2px
2x
2py
2x
2py
方程标准
(p0)
(p
0)
(p
0)
(p
0)
p的几何意义:
焦点
f到准线丨的距离
J
L
T
rx
\
yr
\I
Li
图形
_J
_L
f
盯X
p
丨
-O
n
r
顶点
O(0,0)
对称轴
y0(x轴)
x0(y轴)
焦占
八'、八\、
F(P0)
F(対
F吋)
F-,自
离心率
e1
准线方程
xP
2
xE
2
y卫
2
y上
2
范围
x0,yR
x0,yR
y0,xR
y0,xR
焦半径(其
中
P(xo,yo)
|PF|x2
|PF|X。
2
|PF|y°号
|PF|y°号
4•圆锥曲线的综合问题
(1)直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线I与圆锥曲线C的位置关系时,通常将直线I的方程AxByC0(A,B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x,y)0,消去y(也可以消去X)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程.
、AxByC0、2
即联立,消去y,得axbxc0•
F(x,y)0
1当a0时,设一元二次方程ax2bxc0的判别式为,
则0直线与圆锥曲线C相交;
0直线与圆锥曲线C相切;
0直线与圆锥曲线C相离.
2当a0,b0时,即得到一个一次方程,则直线I与圆锥曲线C相交,且只有一个交点,此时,
若C为双曲线,则直线I与双曲线的渐近线的位置关系是平行;
若C为抛物线,则直线I与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合.
(2)圆锥曲线的弦长
设斜率为k(k0)的直线I与圆锥曲线C相交于M,N两点,M^,%),,
则|MN|dk2|xix21(1k2)[(xiX2)24X1X2]或
数学
经典常规题
2
x
1.(2019•全国I卷)双曲线C:
=
a
为()
A.2sin40
B.2cos40
【答案】D
【解析】根据题意可知一tan130
a
离心率e
b2
2a
2cos
50
2.(2019•全国
II卷)若抛物线
【答案】D
【解析】抛物线
限时训练
1(a
C.
,所以一
a
(45分钟)
0,b0)的一条渐近线的倾斜角为130,
1
sin50
tan50
cos250sin250
cos50
则C的离心率
1
D.
cos50
sin50cos50'
2cos
1
50
1
cos50
2
x2px(p0)的焦点是椭圆——
3p
C.4
2px(p0)的焦点是(—,0),椭圆
2
2x
3p
3.(2019全国III卷)已知F是双曲线
2
C:
X-
4
2y
5
则厶OPF的面积为(
C.
【答案】B
【解析】依据题意a2
22
4,b5,c
1的一个焦点,则
1的焦点是(..2p,0),
1的丨焦点,点P在C上,O为坐标原点
若|PO||OF|,
设F为右焦点,F(3,0),设P在第一象限
P(x,y),
2x
根据|PO||OF|,x2
2
y
y2
5
9
,得到y
1
3,所以s
OPF
15
1|OF|y5
2
x
4.(2019•全国III卷)设F1、F2为椭圆C:
—
36
2
y
20
1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限,
若厶MF1F2
为等腰三角形,则M的坐标为
【答案】(3,.15)
22
【解析】由椭圆C:
——1可知,a6,
3620
由M为C上一点且在第一象限,故等腰三角形
MFiF2中,
MF1F1F28,
MF22aMF1
M222j'15
sinRF2M,yMMFzsinF1F2M
84
、15,
22
xy1—
代入C:
1可得Xm3,故M的坐标为(3,..15).
3620
5.(2019•全国I卷)已知点A,B关于坐标原点O对称,AB4,eM过点
A,B且与直线x
20相切.
(1)若A在直线xy0上,求eM的半径;
(2)是否存在定点P,使得当A运动时,
MA
MP为定值?
并说明理由.
【答案】
(1)
2或6;
(2)存在,
P(1,0),详见解析.
【解析】
(1)
•/e
M过点A,B,
•••圆心在ab的中垂线上即直线y
X上,
设圆的方程为
(x
22
a)(ya)
又AB
根据
AO2MO2
r2,得42a2r2,
•/eM与直线x
r,联解方程得
(2)设M的坐标为(X,y),根据条件
AO2MO2r2
即4x2
x22,
化简得y24x,
即M的轨迹是以(1,0)为焦点,以x
1为准线的抛物线,
所以存在定点P(1,0),使MA
MP
(x2)(x1)
•高频易错题
1.(2019•江西省上高县第二中学期末考试)若A(2,3),
B(3,
2),
C(f,m)三点共线,则m的值为()
寸4x的焦点F作与抛物线对称轴垂直
【解析】由抛物线的性质知AB为通径,焦点坐标为
(1,0),直径2RAB
2p4,即R2,
1
A.—
2
1
B.—
2
C.2
【答案】A
23m2
1
【解析】kABkBC
m.
3213
2
2
2.(2019•内蒙古乌兰察布市集宁第一中学适应性考试)过抛物线
的直线交抛物线于A,B两点,则以AB为直径的圆的标准方程为()
A.(x1)2y24B.(x1)2y24C.x2(y1)24D.x2(y1)24【答案】B
所以圆的标准方程为(x1)2y24.
3(2019•宁夏银川一中调研考试)
双曲线
1(a0)的一条渐近线方程为
3
-x,则a
5
【答案】5
【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为
4.(2019•广东省5月仿真冲刺模拟卷)斜率为
3
yx,结合题意可得a5.
a
12
k(k0)的直线|过点F(0,1),且与曲线y—x(x0)
4
及直线y1分别交于A,B两点,若|FB|6|FA|,则k
【答案】
12
122
【解析】易知曲线y—x2(x0)是抛物线C:
x24y的右半部分,如图,
4
其焦点为F(0,1),准线y
1,过点A作AH准线,垂足为H,则|AH||AF|,
因为|FB|6|FA|,所以|AB|5|AH|,
tanABH带216,故直线l的斜率为
12
2
x
5.(2019•河南省八校高三1月尖子生联赛)已知椭圆C:
^
a
2
笃1(ab0),R(2,2),P2(0,^.3),b
P3(2,3),P4(2,3)四点中恰有三点在椭圆C上.
(1)求C的方程;
(2)已知点E(0,1),问是否存在直线
P与椭圆C交于M,N
两点且IME||NE|?
若存在,求出直线p
斜率的取值范围;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)
2x
16
2
—1;
(2)存在,
12
(期
【解析】
(1)
由于
P3,F4两点关于y轴对称,故由题设知C经过P3,F4两点,
又由
4
~2a
■92知C不经过点
b2
P,所以点P2在C上.
因此
12
孑
4
a2
a216
2,所以
b212
2
C的方程为—
16
2
乞1•
12
(2)
假设存在满足条件的直线p:
y
kx
设M(为,yj,
N(X2,y2)•
将直线p:
y
kxm与椭圆联立可得
y
2
x
16
kx
2
y_
12
(34k2)x2
2
8kmx4m480.
64k2m2
4(34k2)(4m248)
16k2
12
m2①,
2
8km4m48
X1X2
34k234k2
设MN的中点为F(xo,y°),故
x1x2
X。
2
4km
2?
4k
yokx°
3m
2,
34k
因为|ME||NE|,所以EF
MN,
3m
2
所以kEFk1,所以3:
幕
34k2
(4k2
3),
4
代入①得16k212(4k23)216k48k2
故存在直线p使得|ME||NE|,且直线p斜率的取值范围是(
1
2,
1
2刁
o精准预测题
1.(2019•江西省新余市第一中学模拟考试)若3人4%20,3X24y220,则过人(咅,yj,B(x>,y2)
两点的直线方程是()
A.4x3y20b.3x4y20C.4x3y20d.3x4y20
【答案】B
【解析】由题意得A^yJ,B(X2,y2)两点的坐标都满足方程3x4y20,
所以过,B(X2,y2)两点的直线方程是3x4y20.
2.(2019•湖南、湖北、河南、河北、山东五省名校4月模拟)已知椭圆的长轴长是短轴长的倍,
则该椭圆的离心率是(
)
A.-
B」
3
3
【答案】C
【解析】由题可知a
、、3b,则e
C.丄
D.乙!
3
3
ca2b2.6
a'a23•
B(5,0),△ABC的内切圆
ABC的顶点A(5,0),
圆心在直线x
3上,则顶点C
的轨迹方程是(
)
2
2
2
2
2
2
22
xA.
y_
’x
1B.
仏1C.
x
y1(x3)
D.—1(x4)
9
16
16
9
9
16
169
【答案】
C
【解析】
如图,
|AD||AE|
8,|BF||BE|
2,
|CD|ICF|,
3.(2019•山东省济南第一中学
2月适应考试)已知△
T
/
1
*
c
A
0
E
X-
B<
所以|CA||CB|82610|AB|.
22
故轨迹方程为——1(x3).
916
4.(2019•广东省高三
月调研考试)
以抛物线y24x的焦点为圆心且过点
P(5,
2.、5)的圆的标准方程为
【答案】(x1)2y236
【解析】由题意知,P在抛物线上,
且F的坐标为(1,0),则|PF|5卫
2
故所求的圆的标准方程为(x1)2
y236.
5.(2019•湖南、湖北、河南、河北、
山东五省名校高考适应性考试)过抛物线
C:
4x的焦点F,且斜
l,则M至煩线NF
率为3的直线交C于点M(M在x轴上方),丨为C的准线,N点在丨上,且MN
的距离为
【答案】
2.3
【解析】
2反
设M(x0,y°),•y04x0,•y02.x0,•sin60
x°1
4xo
x02xo14,
•••3x0
•/MN
1
10x030,解得xo=3或&3(舍去)」MF
MF,NMF60,•••△MNF为等边三角形,
•M到NF直线的距离为4
2
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