数学人教A版 必修一 113 第1课时 并集交集 教案+知识点.docx
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数学人教A版必修一113第1课时并集交集教案+知识点
1.1.3 集合的基本运算
第1课时 并集、交集
学习目标 1.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集和交集(重点).2.能使用Venn图表示集合的并集、交集运算结果(难点).3.掌握有关的术语和符号,并会用它们正确进行集合的并集与交集运算(重点).
预习教材P8-P9,完成下面问题:
知识点1 并集
(1)文字语言:
由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集.
(2)符号语言:
A∪B={x|x∈A或x∈B}.
(3)图形语言:
如图所示.
【预习评价】
(1)已知集合A={x|x>0},B={x|-1≤x≤2},则A∪B等于( )
A.{x|x≥-1} B.{x|x≤2}
C.{x|0 (2)已知集合A={1,2,3},B={2,4,5},则集合A∪B中元素的个数为________. 解析 (1)A∪B={x|x>0}∪{x|-1≤x≤2}={x|x≥-1}. (2)A∪B={1,2,3}∪{2,4,5}={1,2,3,4,5},共5个元素. 答案 (1)A (2)5 知识点2 交集 (1)文字语言: 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集. (2)符号语言: A∩B={x|x∈A且x∈B}. (3)图形语言: 如图所示. 【预习评价】 (1)若集合M={-1,1},N={-2,1,0},则M∩N=( ) A.{0,-1} B.{1}C.{0} D.{-1,1} (2)若P={x|x≥1},Q={x|-1 解析 (1)M∩N={-1,1}∩{-2,1,0}={1},故选B. (2)如图所示,P∩Q={x|1≤x<4}. 答案 (1)B (2){x|1≤x<4} 题型一 并集的概念及简单应用 【例1】 (1)设集合M={4,5,6,8},集合N={3,5,7,8},那么M∪N等于( ) A.{3,4,5,6,7,8} B.{5,8}C.{3,5,7,8} D.{4,5,6,8} (2)已知集合P={x|x<3},Q={x|-1≤x≤4},那么P∪Q等于( ) A.{x|-1≤x<3} B.{x|-1≤x≤4} C.{x|x≤4} D.{x|x≥-1} 解析 (1)由定义知M∪N={3,4,5,6,7,8}. (2)在数轴上表示两个集合,如图,可得P∪Q={x|x≤4}. 答案 (1)A (2)C 规律方法 求集合并集的两种方法 (1)定义法: 若集合是用列举法表示的,可以直接利用并集的定义求解; (2)数形结合法: 若集合是用描述法表示的由实数组成的数集,则可以借助数轴分析法求解,此时要注意集合的端点能否取到. 【训练1】 已知集合M={0,1,3},N={x|x=3a,a∈M},则M∪N=( ) A.{0} B.{0,3} C.{1,3,9} D.{0,1,3,9} 解析 易知N={0,3,9},故M∪N={0,1,3,9}. 答案 D 题型二 交集的概念及简单应用 【例2】 (1)A={x∈N|1≤x≤10},B={x∈R|x2+x-6=0},则图中阴影部分表示的集合为( ) A.{2} B.{3}C.{-3,2} D.{-2,3} (2)设集合A={x|-1≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则A∩B=( ) A.{x|0≤x≤2} B.{x|1≤x≤2} C.{x|0≤x≤4} D.{x|1≤x≤4} 解析 (1)易知A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},B={-3,2},图中阴影部分表示的集合为A∩B={2},故选A. (2)在数轴上表示出集合A与B,如图所示. 则由交集的定义知,A∩B={x|0≤x≤2}. 答案 (1)A (2)A 规律方法 求集合A∩B的常见类型 (1)若A,B的代表元素是方程的根,则应先解方程求出方程的根后,再求两集合的交集. (2)若集合的代表元素是有序数对,则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集,解集是点集. (3)若A,B是无限数集,可以利用数轴来求解,但要注意利用数轴表示不等式时,含有端点的值用实心点表示,不含有端点的值用空心圈表示. 【训练2】 (1)已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中元素的个数为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 (2)已知M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x-y=4},则M∩N=( ) A.x=3,y=-1 B.(3,-1) C.{3,-1} D.{(3,-1)} 解析 (1)8=3×2+2,14=3×4+2,故A∩B={8,14},故选D. (2)由 得 故M∩N={(3,-1)}. 答案 (1)D (2)D 互动探究 题型三 并集、交集的运算性质及应用 【探究1】 设A,B是两个集合,若已知A∩B=A,A∪B=B,由此可分别得到集合A与B具有怎样的关系? 解 A∩B=A⇔A∪B=B⇔A⊆B,即A∩B=A,A∪B=B,A⊆B三者为等价关系. 【探究2】 若集合={x|x2+2x-a=0}=∅,求a的取值范围. 解 由题意知方程x2+2x-a=0无实根,故Δ=4+4a<0,解得a<-1. 【探究3】 设集合A={1,2},若B⊆A,求B. 解 B=∅或{1}或{2}或{1,2}. 【探究4】 设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a-1)x+(a2-5)=0}. (1)若A∩B={2},求实数a的值; (2)若A∪B=A,求实数a的取值范围. 解 (1)由题可知: A={x|x2-3x+2=0}={1,2},∵A∩B={2},∴2∈B,将2带入集合B中得: 4+4(a-1)+(a2-5)=0,解得: a=-5或a=1. 当a=-5时,集合B={2,10}符合题意; 当a=1时,集合B={2,-2},符合题意. 综上所述: a=-5或a=1. (2)若A∪B=A,则B⊆A,∵A={1,2},∴B=∅或B={1}或{2}或{1,2}. 若B=∅,则Δ=4(a-1)2-4(a2-5)=24-8a<0,解得a>3; 若B={1},则 即 不成立; 若B={2},则 即 不成立; 若B={1,2},则 即 此时不成立,综上a>3. 规律方法 利用集合交集、并集的性质解题的依据及关注点 (1)依据: A∩B=A⇔A⊆B,A∪B=A⇔B⊆A. (2)关注点: 当集合A⊆B时,若集合A不确定,运算时要考虑A=∅的情况,否则易漏解. 【训练3】 已知集合A={x|2a≤x≤a+3},B={x|x<-1或x>5},若A∩B=∅,求实数a的取值范围. 解 由A∩B=∅, (1)若A=∅,有2a>a+3,∴a>3. (2)若A≠∅,如下图: ∴ 解得- ≤a≤2. 综上所述,a的取值范围是{a|- ≤a≤2或a>3}. 课堂达标 1.设集合A={0,1,2,3},集合B={2,3,4},则A∩B=( ) A.{2,3} B.{0,1}C.{0,1,4} D.{0,1,2,3,4} 解析 因为集合A={0,1,2,3},集合B={2,3,4},所以A∩B={2,3},故选A. 答案 A 2.已知集合A={x|-1≤x<3},B={x|2 A.{x|2 C.{x|-1 解析 ∵集合A={x|-1≤x<3},B={x|2 答案 B 3.已知集合M={-1,0},则满足M∪N={-1,0,1}的集合N的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.8 解析 由M∪N={-1,0,1},得到集合M⊆M∪N,且集合N⊆M∪N,又M={0,-1},所以元素1∈N,则集合N可以为{1}或{0,1}或{-1,1}或{0,-1,1},共4个.故选C. 答案 C 4.设集合A={(x,y)|y=ax+1},B={(x,y)|y=x+b},且A∩B={(2,5)},则( ) A.a=3,b=2 B.a=2,b=3 C.a=-3,b=-2 D.a=-2,b=-3 解析 ∵A∩B={(2,5)},∴ 解得a=2,b=3,故选B. 答案 B 5.已知集合A={x|3≤x<7},B={x|2 (1)A∪B; (2)C∩B. 解 (1)由集合A={x|3≤x<7},B={x|2 得到A∪B={x|2 (2)由集合B={x|2 则C∩B={x|2 课堂小结 1.对并集、交集概念的理解 (1)对于并集,要注意其中“或”的意义,“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别,它们是“相容”的.“x∈A,或x∈B”这一条件,包括下列三种情况: x∈A但x∉B;x∈B但x∉A;x∈A且x∈B.因此,A∪B是由所有至少属于A,B两者之一的元素组成的集合. (2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素,而不是部分,特别地,当集合A和集合B没有公共元素时,不能说A与B没有交集,而是A∩B=∅. 2.集合的交、并运算中的注意事项 (1)对于元素个数有限的集合,可直接根据集合的“交”、“并”定义求解,但要注意集合元素的互异性. (2)对于元素个数无限的集合,进行交、并运算时,可借助数轴,利用数轴分析法求解,但要注意端点值取到与否. 基础过关 1.设集合A={-1,0,-2},B={x|x2-x-6=0},则A∪B等于( ) A.{-2} B.{-2,3}C.{-1,0,-2} D.{-1,0,-2,3} 解析 因为A={-1,0,-2},B={x|x2-x-6=0}={-2,3},所以A∪B={-1,0,-2,3}.故选D. 答案 D 2.已知集合A={x∈R|x≤5},B={x∈R|x>1}那么A∩B等于( ) A.{1,2,3,4,5} B.{2,3,4,5}C.{2,3,4} D.{x∈R|1 解析 ∵A={x∈R|x≤5},B={x∈R|x>1},∴A∩B={x∈R|1 答案 D 3.设集合A={1,4,x},B={1,x2}且A∪B={1,4,x},则满足条件的实数x的个数是( ) A.1 B.2C.3 D.4 解析 ∵A={1,4,x},B={1,x2},∴x≠1,x≠4且x2≠1,得x≠±1且x≠4,∵A∪B={1,4,x},∴x2=x或x2=4,解之得x=0或x=±2满足条件的实数x有0,2,-2共3个,故选C. 答案 C 4.已知集合A={3,2a},B={a,b}.若A∩B={2},则A∪B=________. 解析 因为A∩B={2},所以2a=2,所以a=1,b=2,故A∪B={1,2,3}. 答案 {1,2,3} 5.若集合A={x|-1≤x<2},B={x|x≤a},若A∩B≠∅,则实数a的取值范围是________. 解析 A={x|-1≤x<2},B={x|x≤a},由A∩B≠∅,得a≥-1. 答案 a≥-1 6.设A={x|x2+ax+12=0},B={x|x2+3x+2b=0},A∩B={2},C={2,-3}. (1)求a,b的值及A,B; (2)求(A∪B)∩C. 解 (1)∵A∩B={2},∴4+2a+12=0即a=-8,4+6+2b=0,即b=-5, ∴A={x|x2-8x+12=0}={2,6},B={x|x2+3x-10=0}={2,-5}. (2)∵A∪B={-5,2,6},C={2,-3},∴(A∪B)∩C={2}. 7.已知集合A={x|x2-px+15=0}和B={x|x2-ax-b=0},若A∪B={2,3,5},A∩B={3},分别求实数p,a,b的值. 解 因为A∩B={3},所以3∈A. 从而可得p=8,所以A={3,5}. 又由于3∈B,且A∪B={2,3,5},所以B={2,3}. 所以方程x2-ax-b=0的两个根为2和3. 由根与系数的关系可得a=5,b=-6. 综上可得,p=8,a=5,b=-6. 能力提升 8.设A,B是非空集合,定义A*B={x|x∈A∪B且x∉A∩B},已知A={x|0≤x≤3},B={y|y≥1},则A*B等于( ) A.{x|1≤x<3}B.{x|1≤x≤3} C.{x|0≤x<1或x>3}D.{x|0≤x≤1或x≥3} 解析 由题意知,A∪B={x|x≥0}, A∩B={x|1≤x≤3}, ∴A*B={x|0≤x<1或x>3}. 答案 C 9.设集合A= ,B={t|t2+2(a+1)t+(a2-5)=0}.若A∩B=B,则实数a的取值范围是( ) A.{a|a≤-2} B.{a|a≤-3} C.{a|a≤-4} D.{a|a≤-1} 解析 ∵A= ={1,2},B={t|t2+2(a+1)t+(a2-5)=0}.由A∩B=B,得B⊆A. 当4(a+1)2-4(a2-5)<0,即a<-3时,B=∅,符合题意; 当4(a+1)2-4(a2-5)=0,即a=-3时,B={t|t2-4t+4=0}={2},符合题意; 当4(a+1)2-4(a2-5)>0,即a>-3时,要使B⊆A,则B=A, 即 此方程组无解. ∴实数a的取值范围是{a|a≤-3}. 答案 B 10.集合A={0,2,a},B={1,a2},若A∪B={0,1,2,4,16},则a=________. 解析 ∵A∪B={0,1,2,a,a2},又A∪B={0,1,2,4,16},∴{a,a2}={4,16},∴a=4. 答案 4 11.已知A={1,2,3},B={x∈R|x2-ax+1=0,a∈A},若A∩B=B,则a的值为________. 解析 由题意得,当a=1时,方程x2-ax+1=0,即x2-x+1=0无解,集合B=∅,满足题意;当a=2时,方程x2-ax+1=0,即x2-2x+1=0有两个相等的实根1,集合B={1},满足题意;当a=3时,方程x2-ax+1=0,即x2-3x+1=0有两个不相等的实根 , ,集合B= ,不满足题意.综上可知,a的值为1或2. 答案 1或2 12.若P={1,2,3,m},Q={m2,3},且满足P∩Q=Q,求m的值. 解 由P∩Q=Q,可知Q⊆P, ∴m2=1或m2=2或m2=m. 解得m=±1或m=± 或m=0. 经检验m=1时不满足集合中元素的互异性,舍去. ∴m=-1或m=± 或m=0. 13.(选做题)设集合A={x|-1 },C={x|1-2a (1)若C=∅,求实数a的取值范围; (2)若C≠∅且C⊆(A∩B),求实数a的取值范围. 解 (1)∵C={x|1-2a ∴a≤ ,即实数a的取值范围是 . (2)∵C={x|1-2a ∴1-2a<2a, 即a> , ∵A={x|-1 B={x|-5 }, ∴A∩B={x|-1 }, ∵C⊆(A∩B), ∴ 解得
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