数学建模期末复习.docx
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数学建模期末复习
一、线性规划
1.求解如下线性规划问题:
共20分
maxz=2x1+7x2-3x3
x1+3x2+4x3≤30〔第一种资源限制约束〕
x1+4x2-x3≤10〔第二种资源限制约束〕
x1、x2、x3≥0
(1)求出该问题的最优解和最优值;
(2)第二种资源限量由10变为20,最优解是否改变;假如改变请求出新的最优解;
(3)增加一个新变量x6,其目标函数系数为3,技术消耗系数为
,最优解是否改变;假如改变请求出新的最优解。
解:
〔1〕lingo程序max=2*x1+7*x2-3*x3;
x1+3*x2+4*x3<=30;
x1+4*x2-x3<=10;
最优解〔x1x2x3〕=〔1000〕
最优值=20
〔2〕max=2*x1+7*x2-3*x3;
x1+3*x2+4*x3<=30;
x1+4*x2-x3<=20;
最优解〔x1x2x3〕=〔2000〕
最优值=40
或对第一题进展灵敏度分析(第二种资源限量可以在0到30围变化,最优基解不变最优解〔x1x2x3〕=〔2000〕最优值=40)
〔3〕max=2*x1+7*x2-3*x3+3*x4;
x1+3*x2+4*x3+x4<=30;
x1+4*x2-x3+2*x4<=10;
求解得到最优解〔x1x2x3x4〕=〔10000〕
最优值=20
2.某校基金会有一笔数额为5000万元的基金,打算将其存入银行。
当前银行存款的利率见下表2。
取款政策与银行的现行政策一样,定期存款不提前取,活期存款可任意支取。
校基金会计划在5年每年用局部本息奖励优秀师生,要求每年的奖金额大致一样,且在5年末仍保存原基金数额。
校基金会希望获得最优的基金使用计划,以提高每年的奖金额。
请你帮助校基金会设计一个基金最优使用方案,试建立其模型。
〔15分〕
表2
银行存款税后年利率〔%〕
活期
半年期
一年期
二年期
三年期
五年期
3、某公司打算在三个不同的地区设置4个销售点,根据市场预测部门估计,在不同的地区设置不同的数量的销售点,每月可得到的利润如表2所示。
试问在各个地区应如何设置销售点,才能使每月获得的总利润最大?
其最大利润是多少?
并给出最优方案。
〔15分〕
表2
销售点
利润
地区
0
1
2
3
4
1
0
16
25
30
32
2
0
12
17
21
22
3
0
10
14
16
17
解:
变量
为0,1变量xij≥0,(i=1,2,3;j=1,2,3,4,5)
目标函数:
Max
约束条件:
Cij=016253032
012172122
010141617
程序:
model:
sets:
s/1..3/;
d/1..5/;
link(s,d):
c,x;
Endsets
max=sum(link:
c*x);
!
min=sum(s(i):
sum(d(j):
c(i,j)*x(i,j)));!
同上面一样的目标函数;
for(s(i):
sum(d(j):
x(i,j))=1);
sum(s(i):
sum(d(j):
(j-1)*x(i,j)))=4;
data:
c=016253032
012172122
010141617;
Enddata
结果:
Globaloptimalsolutionfound.
Totalsolveriterations:
4
VariableValueReducedCost
答:
地区1设2个销售点,地区2、3个设1个销售点,最大利润为47
4.一个木材储运公司有很大的仓库用以储运出售木材。
由于木材季度价格的变化,该公司于每季度初购进木材,一局部于本季度出售,一局部储存起来以后出售。
该公司仓库的最大储存量为20万米3,储存费用为〔70+100u〕千元/万米3,u为存储时间〔季度数〕。
每季度的买进卖出价与预计的销售量如表1所示。
表1
季度
买进价〔万元/万米3〕
卖出价〔万元/万米3〕
预计销售量〔万米3〕
冬
410
425
100
春
430
440
140
夏
460
465
200
秋
450
455
160
由于木材不宜久贮,所有库存木材应于每年秋末售完。
为使售后利润最大,试建立这个问题的线性规划模型。
〔15分〕
解:
xij:
第i季度买进,第j季度卖出,〔i<=j〕
目标函数:
Max=x11*(425-410)+x12*(440-410)+x22*(440-430)+x13*(465-410)+x23*(465-430)+x33*(465-460)+x14*(455-410)+x24*(455-430)+x34*(455-460)+x44*(455-450)-
约束条件:
X11=100
X12+x22=140
X13+x23+x33=200
X14+x24+x34+x44=160
X12+x13+x14<=20
X13+x14+x23+x24<=20
X14+x24+x34<=20
模型:
Max=x11*(425-410)+x12*(440-410)+x22*(440-430)+x13*(465-410)+x23*(465-430)+x33*(465-460)+x14*(455-410)+x24*(455-430)+x34*(455-460)+x44*(455-450)-x12*(70+100*1)*0.1-x13*(70+100*2)*0.1-x14*(70+100*3)*0.1-x23*(70+100*1)*0.1-x24*(70+100*2)*0.1-x34*(70+100*1)*0.1;
X11=100;
X12+x22=140;
X13+x23+x33=200;
X14+x24+x34+x44=160;
X12+x13+x14<=20;
X13+x14+x23+x24<=20;
X14+x24+x34<=20;
结果:
Globaloptimalsolutionfound.
Totalsolveriterations:
0
VariableValueReducedCost
RowSlackorSurplusDualPrice
答:
最大利润为:
5160,季度冬买进120,本季度卖出100,等到季度夏卖出20
季度春买进140,本季度卖出140
季度秋买进180本季度卖出140
季度秋买进160本季度卖出160
二、对偶分析
1、求解如下线性规划问题:
共25分
maxz=4x1+x2+2x3
8x1+3x2+x3≤2〔第一种资源限制约束〕
6x1+x2+x3≤8〔第二种资源限制约束〕
x1、x2、、x3≥0
(1)求出该问题的最优解和最优值;
(2)第一种资源限量由2变为4,最优解是否改变,假如改变请求出新的最优解;
(3)现有新产品丁,每单位产品需消耗第一种资源2单位,消耗第二种资源3单位,问该产品的售价至少为多少时才值得生产?
(4)由于资源缺乏,现有第三种原来并不受约束资源现在受到限制,限制方程为:
,问此时最优解是否受到影响,假如需要改变,请求出新的最优解
解:
〔1〕最优解x1=x2=0,x3=2,最优值为4
程序:
max=4*x1+x2+2*x3;
8*x1+3*x2+x3<=2;
6*x1+x2+x3<=8;
结果:
Globaloptimalsolutionfound.
Totalsolveriterations:
2
VariableValueReducedCost
RowSlackorSurplusDualPrice
(2)
法一:
第一题进展灵敏度分析(第二种资源限量可以在0到8围变化,最优基解不变最优解〔x1x2x3〕=004〕最优值=8)
Rangesinwhichthebasisisunchanged:
ObjectiveCoefficientRanges
CurrentAllowableAllowable
VariableCoefficientIncreaseDecrease
X14.00000012.00000INFINITY
X21.0000005.000000INFINITY
RighthandSideRanges
RowCurrentAllowableAllowable
RHSIncreaseDecrease
法二:
程序:
max=4*x1+x2+2*x3;
8*x1+3*x2+x3<=4;
6*x1+x2+x3<=8;
结果:
Globaloptimalsolutionfound.
Totalsolveriterations:
2
VariableValueReducedCost
RowSlackorSurplusDualPrice
〔3〕
程序:
max=4*x1+x2+2*x3+x4;
8*x1+3*x2+x3+2*x4<=2;
6*x1+x2+x3+3*x4<=8;
灵敏度分析:
x4可由一个单位增加3个单位,即当x4>4时生产,故售价至少大于4
Rangesinwhichthebasisisunchanged:
ObjectiveCoefficientRanges
CurrentAllowableAllowable
VariableCoefficientIncreaseDecrease
X14.00000012.00000INFINITY
X21.0000005.000000INFINITY
X41.0000003.000000INFINITY
RighthandSideRanges
RowCurrentAllowableAllowable
RHSIncreaseDecrease
〔4〕最优基解不变,最优解为〔x1x2x3〕=002〕最优值=4)
程序:
max=4*x1+x2+2*x3;
8*x1+3*x2+x3<=2;
6*x1+x2+x3<=8;
2*x1+3*x2+4*x3<=10;
结果:
Globaloptimalsolutionfound.
Totalsolveriterations:
1
VariableValueReducedCost
RowSlackorSurplusDualPrice
2.某厂的二种产品I、II分别在四种设备A1、A2、A3、A4上加工。
产品所需的机器台时、设备在计划的有效台时、每件产品利润如下表所示:
A1A2A3A4
利润
I
2140
2百元
II
2204
3百元
有效台时
1281612
(1)请制定一份最优生产计划,使其总收入达到最大。
试建立此问题的数学模型。
〔2〕求解此问题。
〔3〕假如把机器台时出租,问应如何定价?
〔20%〕
解:
设生产1型x1,生产2型x2,
目标函数:
maxz=2*x1+3*x2
约束条件:
2*x1+2*x2<=12
X1+2*x2<=8
4*x1<=16
4*x2<=12
程序:
max=2*x1+3*x2;
2*x1+2*x2<=12;
x1+2*x2<=8;
4*x1<=16;
4*x2<=12;
解得:
〔x1x2〕=〔42〕
最优值=14
〔2〕
三、运输问题与整数规划
1.某公司要把4个有关能源工程项目承包给4个互不相关的外商投标者,规定每个承包商只能且必须承包一个项目,试在总费用最小的条件下确定各个项目的承包者,总费用为多少?
各承包商对工程的报价如表3所示:
〔共10分〕
表3
项目
投标者
A
B
C
D
甲
15
18
21
24
乙
19
23
22
18
丙
26
17
16
19
丁
19
21
23
17
解:
程序:
model:
sets:
s/1..4/;
d/1..4/;
link(s,d):
c,x;
Endsets
min=sum(link:
c*x);
!
min=sum(s(i):
sum(d(j):
c(i,j)*x(i,j)));!
同上面一样的目标函数;
for(s(i):
sum(d(j):
x(i,j))=1);
for(d(j):
sum(s(i):
x(i,j))=1);
data:
c=15182124
19232218
26171619
19212317;
Enddata
结果:
Globaloptimalsolutionfound.
Totalsolveriterations:
7
VariableValueReducedCost
答:
甲承包B乙承包A丙承包C丁承包D
总费用:
为70
2.运输问题的调运和运价表如下,求最优调运方案和最小总费用。
〔共10分〕。
(用qsb中的networkmodeling中的交通问题)
销地
产地
B1
B2
B3
产量
A1
5
9
2
15
A2
3
1
7
18
A3
6
2
8
17
销量
18
12
16
结果如下:
程序:
model:
sets:
s/1..3/:
a;
d/1..3/:
b;
link(s,d):
c,x;
Endsets
min=sum(link:
c*x);
!
min=sum(s(i):
sum(d(j):
c(i,j)*x(i,j)));!
同上面一样的目标函数;
for(s(i):
sum(d(j):
x(i,j))<=a(i));
for(d(j):
sum(s(i):
x(i,j))=b(j));
data:
a=151817;
b=181216;
c=592
317
628;
Enddata
end
结果:
Globaloptimalsolutionfound.
Totalsolveriterations:
6
VariableValueReducedCost
答:
A1运15个单位到B3A2运18个单位到B1A3运16个单位到B2A3运1个单位到B3
总费用:
124
3、石油公司有三个石油贮存点,四个石油需求点。
其容量和单位运价如表所示:
d1
d2
d3
d4
贮存总容量
A1
5
4
5
6
100
A2
3
3
6
6
200
A3
2
5
7
8
400
需求点的需求量
200
100
150
250
制定一个贮存点到需求点的运输计划,使总的运输费用最小。
试建立此问题的数学模型并且求解。
〔10%〕
4.许多非洲国家由于恶劣气候而使农业蒙受损害,联合国组织决定派5位农业专家去帮助5个非洲不兴旺国家,以提高他们的粮食供给。
,每位专家能帮助不同国家提高粮食供给达到不同水平,提高的期望值如下表:
专家\国家ABCDE
11215131417
21117141619
31415111818
41513121716
51315121514
假定每个国家有同样的人口,试提出一个专家指派计划,使粮食供给的增长达到极大。
试建立此问题的数学模型并且求解。
〔10%〕
5.某汽车厂与一些单位签订了生产70辆汽车的合同,按合同规定明年每季度末分别提供10,15,25和20台汽车。
该厂各季度的生产能力与生产每辆汽车的本钱如表所示:
季度
交付辆数
生产能力
每辆本钱(万元)
Ⅰ
10
25
10.8
Ⅱ
15
35
11.1
Ⅲ
25
30
11.0
Ⅳ
20
10
11.3
根据生产能力,该厂能提前完成合同,但因此要付出相应的贮存费。
现规定每辆汽车积压一个季度需付0.15万元贮存费。
试问该厂应怎样安排各季的生产计划,使总的生产费用最少?
试建立此问题的数学模型并且求解。
〔15%〕
解:
xij:
第i季度生产第j季度交的车辆
目标函数:
min=x11*10.8+x12*(+0.15)+x22*11.1+x13*(+0.3)+x23*(0.15+)+x33*11+x14*(0.45+)+x24*(0.3+)+x
X11=10
X12+x22=15
X13+x23+x33=25
X14+x24+x34+x44=20
X11+x12+x13+x14<=25
X22+x23+x24<=35
X33+x34<=30
X44<=10
程序:
min=x11*10.8+x12*(10.8+0.15)+x22*11.1+x13*(10.8+0.3)+x23*(0.15+11.1)+x33*11+x14*(0.45+10.8)+x24*(0.3+11.1)+x34*(0.15+11)+x44*11.3;
X11=10;
X12+x22=15;
X13+x23+x33=25;
X14+x24+x34+x44=20;
X11+x12+x13+x14<=25;
X22+x23+x24<=35;
X33+x34<=30;
X44<=10;
结果:
Globaloptimalsolutionfound.
Totalsolveriterations:
4
VariableValueReducedCost
RowSlackorSurplusDualPrice
答:
最小费用为773,第一季度生产25,本季度交10,等到第二季度交15
第二季度生产25,等到第4季度交5
第三季度生产30,本季度交25,等到第4季度交5
第4季度生产10
6.某服务公司有4名技术员〔A1,A2,A3,A4〕为四位顾客〔B1,B2,B3,B4〕提供服务,由于技术员专长不同其服务时间随顾客而变化。
具体服务时间由下表给出:
服务时间
B1
B2
B3
B4
A1
3
6
7
10
A2
5
6
3
8
A3
2
8
4
16
A4
8
6
5
9
试为该公司制定一份指派计划,使其总服务时间达到最小。
试建立此问题的数学模型并求解。
〔10%〕
解:
xij:
i技术员服务j顾客,为0,1变量
Cij=36710
5638
28416
8659
目标函数:
约束条件:
程序:
model:
sets:
s/1..4/;
d/1..4/;
link(s,d):
c,x;
Endsets
min=sum(link:
c*x);
!
min=sum(s(i):
sum(d(j):
c(i,j)*x(i,j)));!
同上面一样的目标函数;
for(s(i):
sum(d(j):
x(i,j))=1);
for(d(j):
sum(s(i):
x(i,j))>=1);
data:
c=36710
5638
28416
8659;
Enddata
end
结果:
Globaloptimalsolutionfound.
Totalsolveriterations:
8
VariableValueReducedCost
答:
A1服务B2A2服务B23A3服务B1A4服务B4
四、目标规划
1、设有一纺织厂可生产衣料和窗帘布共两种产品。
该厂两班生产,每周的生产时间为80小时,无论生产哪种产品,该厂每小时的产量都是1千米。
据市场预测,每周窗帘布的销售量为70千米,而衣料的销售量为45千米。
假定窗帘布和衣料的单位利润分别为千元/千米和千元/千米,上级主管部门对该厂提出了以下四个顺序目标:
〔1〕尽可能防止开工不足;
〔2〕尽可能限制每周加班时间不超过10小时;
〔3〕尽可能满足市场需求;
〔4〕尽可能减少加班时间。
问该厂应如何安排生产才能使这些目标依序实现,试建立其数学模型。
〔15分〕
解:
约束条件:
QSB---Goalprogramming
一级目标:
min=0,x1=45,x2=45,d1+=10,d3+=30
二级目标:
min=0,x1=45,x2=45,d1+=10,d3+=30
三级目标:
min=0,x1=45,x2=45,d1+=10,d3+=30
四级目标:
min=0,x1=45,x2=45,d1+=10,d3+=30
2、求解如下目标规划的满意解:
3.某农场有3万亩农田,欲种植玉米、大豆和小麦三种农作物。
各种作物每亩需施肥料分别为0.12吨、0.2吨、0.15吨。
预计秋后玉米每亩可收获500千克,售价为0.24元/千克,大豆每亩可收获200千克,售价为1.20元/千克,小麦每亩可收获300千克,售价为0.70元/千克。
农场年初规划时依次考虑以下的几个方面:
P1:
年终收益不低于350万元;
P2:
总产量不低于1.25万吨;
P3:
小麦产量以0.5万吨为宜;
P4:
大豆产量不少于0.2万吨;
P5;玉米产量不超过0.6万吨;
P6:
农场现能提供5000吨化肥,假如不够,可在市场高价购置,但希望高价采购量愈少愈好。
试建立该目标规划问题的数学模型〔不需要求解〕。
〔16分
五、图与网络与关键路线
六、1.四个城市间的距离如下表所示,求从A城市出发,经其余城市一次且仅一次,最后返回到A城市的最短路径与距离。
〔18分〕
A
B
C
D
A
--
11
20
28
B
12
--
18
25
C
23
9
--
10
D
34
32
6
--
解:
2.某企业拟开发一新产品,该新产品投产前工序资料如下表〔15分〕:
工序
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
工序
紧前关系
/
/
A
A
D
C,E
F
B,G
B,G
H
G
I,J,K
紧前关系
工时〔周〕
4
10
3
6
8
2
3
2
8
5
2
1
工时〔周〕
试求:
1、绘制网络图;
2、计算时间参数;
3、确定关键线路。
2.某石油公司其输油管网如如下图所示,试求该网络中的最大流〔15分〕。
.
结果为:
MODEL:
sets:
nodes/s,1,
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