中考复习专题十平面图形的位置关系知识点精讲 热点题型.docx
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中考复习专题十平面图形的位置关系知识点精讲热点题型
B部分:
热点专题
◆热点题型:
第一类:
二次函数定义第一类:
三角形及三角形的概念应用
第二类:
三角形的角平分线,中位线,高,重心,垂直平分线。
第三类:
三角形的面积
第四类:
三角形三边的关系
第五类:
三角形内角和定理三角形的外角性质
第六类:
全等三角形
第七类:
特殊三角形(直角、等腰、等边三角形)
第八类:
勾股定理的应用
第九类:
平面展开路径最短问题
第一类:
三角形及三角形的概念应用
1、如图所示,图中三角形的个数共有( )
A、1个B、2个C、3个D、4个
考点:
三角形.
分析:
根据三角形的定义进行判断.只要数出BC上有几条线段即可.很明显BC上有3条线段,所以有三个三角形.
解答:
解:
BC上有3条线段,所以有三个三角形.故选C.
点评:
三角形的定义中应注意“首尾顺次连接”这一含义.
2、已知△ABC的一个外角为50°,则△ABC一定是( )
A、锐角三角形B、钝角三角形
C、直角三角形
D、锐角三角形或钝角三角形
考点:
三角形.
分析:
利用三角形外角与内角的关系计算.
解答:
解:
一个外角为50°,所以与它相邻的内角的度数为130°,所以三角形为钝角三角形.故选B.
点评:
本题考查三角形内角、外角的关系及三角形的分类.
3.王师傅用4根木条钉成一个四边形木架,如图.要使这个木架不变形,他至少还要再钉上几根木条?
( )
A、0根B、1根C、2根D、3根
考点:
三角形的稳定性.
专题:
存在型.
分析:
根据三角形的稳定性进行解答即可.
解答:
解:
加上AC后,原不稳定的四边形ABCD中具有了稳定的△ACD及△ABC,
故这种做法根据的是三角形的稳定性.
故选B.
点评:
本题考查的是三角形的稳定性在实际生活中的应用,比较简单
第二类:
三角形的角平分线,中位线,高,重心,垂直平分线。
4.小华在电话中问小明:
“已知一个三角形三边长分别是4,9,12,如何求这个三角形的面积?
”小明提示说:
“可通过作最长边上的高来求解.”小华根据小明的提示作出的图形正确的是( )
A、B、C、D、
考点:
三角形的角平分线、中线和高;三角形的面积.
分析:
由三角形的三边为4,9,12,可知该三角形为钝角三角形,其最长边上的高在三角形内部,即过最长边所对的角的顶点,作对边的垂线,垂足在最长边上.
解答:
解:
∵42+92=97<122,
∴三角形为钝角三角形,
∴最长边上的高是过最长边所对的角的顶点,作对边的垂线,垂足在最长边上.
故选C.
点评:
本题考查了三角形高的画法.当三角形为锐角三角形时,三条高在三角形内部,当三角形是直角三角形时,两条高是三角形的直角边,一条高在三角形内部,当三角形为钝角三角形时,两条高在三角形内部,一条高在内部.
5.如图,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上的一个动点,若PA=2,则PQ的最小值为( )
A、1B、2C、3D、4
考点:
角平分线的性质;垂线段最短.
分析:
根据题意点Q是射线OM上的一个动点,要求PQ的最小值,需要找出满足题意的点Q,根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短,所以我们过点P作PQ垂直OM,此时的PQ最短,然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PA=PQ,利用已知的PA的值即可求出PQ的最小值.
解答:
解:
过点P作PQ⊥OM,垂足为Q,则PQ为最短距离,
∵OP平分∠MON,PA⊥ON,PQ⊥OM,
∴PA=PQ=2,
故选B.
点评:
此题主要考查了角平分线的性质,本题的关键是要根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短,找出满足题意的点Q的位置.
6.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线BD交AC于D,若CD=3cm,则点D到AB的距离DE是( )
A、5cmB、4cmC、3cmD、2cm
考点:
角平分线的性质.
分析:
过D作DE⊥AB于E,由已知条件,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答.
解答:
解:
过D作DE⊥AB于E,
∵BD是∠ABC的平分线,∠C=90°,DE⊥AB,
∴DE=CD,
∵CD=3cm,
∴DE=3cm.
故选C.
点评:
本题主要考查角平分线的性质;作出辅助线是正确解答本题的关键.
7、如图,G为△ABC的重心,其中∠C=90°,D在AB上,GD⊥AB.若AB=29,AC=20,BC=21,则GD的长度为何?
( )
A、7B、14
C、
D、
考点:
三角形的重心.
专题:
计算题.
分析:
连接AG、BG,根据重心的性质可知,S△ABG=
S△ABC,再根据三角形面积的表示方法,列方程求解.
解答:
解:
连接AG、BG,
∵G为重心,
∴S△ABG=
S△ABC,
即
×AB×GD=
×
×BC×AC,
×29×GD=
×
×21×20,
29×GD=7×20,
解得GD=
故选C.
点评:
本题考查了三角形重心的性质.三角形的重心是三角形三边中线的交点,根据中线平分面积,重心将中线分为1:
2两部分求解。
第三类:
三角形的面积
8、如图将四个全等的矩形分别等分成四个全等的小矩形,其中阴影部分面积相等的是( )
A、只有①和②相等B、只有③和④相等C、只有①和④相等D、①和②,③和④分别相等
考点:
三角形的面积.
分析:
根据三角形的面积公式来计算即可.
解答:
解:
小矩形的长为a,宽为b,
则①中的阴影部分为两个底边长为a,高为b的三角形,
∴S=
×a•b×2=ab;
②中的阴影部分为一个底边长为a,高为2b的三角形,
∴S=
×a•2b=ab;
③中的阴影部分为一个底边长为a,高为b的三角形,
∴S=
×a•b=
ab;
④中的阴影部分为一个底边长为a,高为b的三角形,
∴S=
×a•b=
ab.
∴①和②,③和④分别相等.
故选D.
点评:
此题主要考查三角形面积公式的综合应用,关键是如何确定三角形的底边和高的长度.
9、在如图的方格纸中,每个小方格都是边长为1的正方形,点A、B是方格纸中的两个格点(即正方形的顶点),在这个5×5的方格纸中,找出格点C使△ABC的面积为2个平方单位,则满足条件的格点C的个数是( )
A、5B、4C、3D、2
考点:
三角形的面积.
专题:
网格型.
分析:
首先分别在AB的两侧找到一个使其面积是2个平方单位的点,再分别过这两点作AB的平行线.找到所有的格点即可.即有5个.解答:
解:
满足条件的C点有5个,如图平行于AB的直线上,与网格的所有交点就是.
故选A.
点评:
此题主要是注意:
根据两条平行线间的距离处处相等,只需在两侧各找一个符合条件的点,再作平行线,即可找到所有符合条件的点.
第四类:
三角形三边的关系
10、若三角形的两边长分别为6cm,9cm,则其第三边的长可能为( )
A、2cmB、3cmC、7cmD、16cm
考点:
三角形三边关系.
专题:
应用题.
分析:
已知三角形的两边长分别为6cm和9cm,根据在三角形中任意两边之和>第三边,或者任意两边之差<第三边,即可求出第三边长的范围.
解答:
解:
设第三边长为xcm.
由三角形三边关系定理得9-6<x<9+6,
解得3<x<15.
故选C.
点评:
本题考查了三角形三边关系定理的应用.关键是根据三角形三边关系定理列出不等式组,然后解不等式组即可.
11、下列长度的三条线段能组成三角形的是( )
A、1,2,3B、3,4,5C、3,1,1D、3,4,7
考点:
三角形三边关系.
专题:
应用题.
分析:
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边”,进行分析.
解答:
解:
根据三角形的三边关系,知
A、1+2=3,不能组成三角形,故本选项错误;
B、3+4>5,能够组成三角形;故本选项正确;
C、1+1<3,不能组成三角形;故本选项错误;
D、3+4=7,不能组成三角形,故本选项错误.
故选B.
点评:
本题考查了三角形的三边关系,判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数,难度适中.
第五类:
三角形内角和定理三角形的外角性质
12.将一副直角三角板如图所示放置,使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合,则∠1的度数为( )
A、45°B、60°C、75°D、85°
考点:
三角形内角和定理.
专题:
计算题.
分析:
根据三角形三内角之和等于180°求解.
解答:
解:
如图.
∵∠2=60°,∠3=45°,
∴∠1=180°-∠2-∠3=75°.
故选C.点评:
考查三角形内角之和等于180°.
13.将一副常规的三角尺按如图方式放置,则图中∠AOB的度数为( )
A、75°B、95°C、105°D、120°
考点:
三角形的外角性质.
专题:
计算题.
分析:
求出∠ACO的度数,根据三角形的外角性质得到∠AOB=∠A+∠ACO,代入即可.
解答:
解:
∠ACO=45°-30°=15°,
∴∠AOB=∠A+∠ACO=90°+15°=105°.
故选C.
点评:
本题主要考查对三角形的外角性质的理解和掌握,能熟练地运用三角形的外角性质进行计算是解此题的关键.
第六类:
全等三角形
14.如图,△ABC≌△DEF,BE=4,AE=1,则DE的长是( )
A、5B、4C、3D、2
考点:
全等三角形的性质.
分析:
根据全等三角形对应边相等,DE=AB,而AB=AE+BE,代入数据计算即可.
解答:
解:
∵△ABC≌△DEF
∴DE=AB
∵BE=4,AE=1
∴DE=AB=BE+AE=4+1=5
故选A.
点评:
本题主要考查全等三角形对应边相等的性质,熟练掌握性质是解题的关键.
15.在△ABC中,AB>AC,点D、E分别是边AB、AC的中点,点F在BC边上,连接DE,DF,EF,则添加下列哪一个条件后,仍无法判定△BFD与△EDF全等( )
A、EF∥ABB、BF=CFC、∠A=∠DFED、∠B=∠DEF
考点:
全等三角形的判定;平行线的判定与性质;三角形中位线定理.分析:
根据平行线的性质得到∠BDF=∠EFD,根据DE分别是ABAC的中点,推出DE∥BC,DE=
BC,得到∠EDF=∠BFD,根据全等三角形的判定即可判断A;由DE=
BC=BF,∠EDF=∠BFD,DF=DF即可得到△BFD≌△EDF;由∠A=∠DFE证不出△BFD≌△EDF;由∠B=∠DEF,∠EDF=∠BFD,DF=DF,得到△BFD≌△EDF.
解答:
解:
A、∵EF∥AB,
∴∠BDF=∠EFD,
∵DE分别是ABAC的中点,
∴DE∥BC,DE=
BC,
∴∠EDF=∠BFD,
∵DF=DF,
∴△BFD≌△EDF,故本选项错误;
B、∵DE=
BC=BF,∠EDF=∠BFD,DF=DF,∴△BFD≌△EDF,故本选项错误;
C、由∠A=∠DFE证不出△BFD≌△EDF,故本选项正确;
D、∵∠B=∠DEF,∠EDF=∠BFD,DF=DF,∴△BFD≌△EDF,故本选项错误.
故选C.
点评:
本题主要考查对全等三角形的判定,平行线的性质,三角形的中位线等知识点的理解和掌握,能求出证全等的3个条件是证此题的关键.
16.如图,已知△ABC中,∠ABC=45°,F是高AD和BE的交点,CD=4,则线段DF的长度为( )
A、2
B、4C、3D
、4
考点:
全等三角形的判定与性质.
分析:
先证明AD=BD,再证明∠FBD=∠DAC,从而利用ASA证明△BDF≌△CDA,利用全等三角形对应边相等就可得到答案.
解答:
解:
∵AD⊥BC,
∴∠ADC=∠FDB=90°,
∵∠ABC=45°,
∴∠BAD=45°,
∴AD=BD,
∵BE⊥AC,
∴∠AEF=90°,
∴∠DAC+∠AFE=90°,
∵∠FDB=90°,
∴∠FBD+∠BFD=90°,
又∵∠BFD=∠AFE,
∴∠FBD=∠DAC,
在△BDF和△ADC中,
{∠FBD=∠CAD
∠ADC=∠FDB
BD=AD,
∴△BDF≌△ADC,
∴DF=CD=4.
故选:
B.
点评:
此题主要考查了全等三角形的判定,关键是找出能使三角形全等的条件.
17.如图,将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起,使AA′、BB′可以绕着点O自由转动,就做成了一个测量工件,由三角形全等得出A′B′的长等于内槽宽AB;那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是( )
A、边角边B、角边角C、边边边D、角角边
考点:
全等三角形的应用.
分析:
由于已知O是AA′、BB′的中点O,再加对顶角相等即可证明△OAB≌△OA′B′,所以全等理由就可以知道了.
解答:
解:
△OAB与△OA′B′中,
∵AO=A′O,∠AOB=∠A′OB′,BO=B′O,
∴△OAB≌△OA′B′(SAS).
故选A.
点评:
此题主要考查全等三角形的判定方法,此题利用了SAS,做题时要认真读图,找出有用的条件是十分必要的.
第七类:
特殊三角形(直角、等腰、等边三角形)
18.如图,AC、BD是长方形ABCD的对角线,过点D作DE∥AC交BC的延长线于E,则图中与△ABC全等的三角形共有( )
A、1个B、2个C、3个D、4个
考点:
直角三角形全等的判定.
分析:
根据题中条件,结合图形,可得出与△ABC全等的三角形为△ADC,△ABD,△DBC,△DCE共4个.
解答:
解:
①∵AB=DC,∠D=∠B,AC=DB,
∴△ABC≌△ADC;
②∵AB=DC,∠B=∠C,BC=BC,
∴△ABC≌△DBC;
③∵AB=DC,∠A=∠C,BC=AD,
∴△ABC≌△ABD;
④∵DE∥AC,
∴∠ACB=∠DEC,
∵AB=DC,∠ABC=∠DCE,
∴△ABC≌△DCE.
故选D.
点评:
本题重点考查了三角形全等的判定定理,普通两个三角形全等共有四个定理,即AAS、ASA、SAS、SSS,直角三角形可用HL定理,但AAA、SSA,无法证明三角形全等,本题是一道较为简单的题目.
19.如图,△ABC中,以B为圆心,BC长为半径画弧,分别交AC、AB于D,E两点,并连接BD,DE.若∠A=30°,AB=AC,则∠BDE的度数为何( )
A、45B、52.5C、67.5D、75
考点:
等腰三角形的性质;三角形内角和定理.
专题:
计算题.
分析:
根据AB=AC,利用三角形内角和定理求出∠ABC的度数,再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DBC=30°,然后即可求出∠BDE的度数.
解答:
解:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∵∠A=30°,
∴∠ABC=∠ACB=
(180°-30°)=75°,
∵以B为圆心,BC长为半径画弧,
∴BE=BD=BC,
∴∠BDC=∠ACB=75°,
∴∠CBD=180°-75°-75°=30°,
∴∠DBE=75°-30°=45°,
∴∠BED=∠BDE=
(180°-45°)=67.5°.
故选C.
点评:
本题考查了学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点的理解和掌握,此题的突破点是利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DBC=45°,然后即可求得答案.
20.边长为4的正三角形的高为( )
A、2B、4C、
D、2
考点:
等边三角形的性质.
分析:
根据等边三角形三线合一的性质,即可得D为BC的中点,即可求BD的值,已知AB、BD根据勾股定理即可求AD的值.
解答:
解:
∵等边三角形三线合一,
∴D为BC的中点,
∴BD=
BC=2,
在Rt△ABD中,AB=4,BD=2,
则AD=
=2
.
故选D.
点评:
本题主要考查了勾股定理在直角三角形中的运用,等边三角形三线合一的性质,本题中根据勾股定理求AD的值是解题的关键,难度适中.
21.如图,l1∥l2,l3⊥l4,∠1=42°,那么∠2的度数为( )
A、48°B、42°C、38°D、21°
考点:
直角三角形的性质;平行线的性质.
专题:
计算题.
分析:
先根据两直线平行,同位角相等求出∠3,再根据直角三角形两锐角互余即可求出∠2.
解答:
解:
如图,∵l1∥l2,∠1=42°,
∴∠3=∠1=42°,
∵l3⊥l4,
∴∠2=90°-∠3=48°.
故选A.
点评:
本题利用平行线的性质和直角三角形两锐角互余的性质.
第八类:
勾股定理的应用
22.如图,矩形OABC的边OA长为2,边AB长为1,OA在数轴上,以原点O为圆心,对角线OB的长为半径画弧,交正半轴于一点,则这个点表示的实数是( )
A、2.5B、2
C、
D、
考点:
勾股定理;实数与数轴.
分析:
本题利用实数与数轴的关系及直角三角形三边的关系(勾股定理)解答即可.
解答:
解:
由勾股定理可知,
∵OB=
=
,
∴这个点表示的实数是
.
故选D.点评:
本题考查了勾股定理的运用和如何在数轴上表示一个无理数的方法.
第九类:
平面展开路径最短问题
23.如图,圆柱的底面周长为6cm,AC是底面圆的直径,高BC=6cm,点P是母线BC上一点,且PC=
BC.一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是( )
A、(
)cmB、5cmC、3
cmD、7cm
考点:
平面展开-最短路径问题。
分析:
首先画出圆柱的侧面展开图,根据高BC′=6cm,PC=
BC,求出PC′=
×6=4cm,在Rt△AC′P中,根据勾股定理求出AP的长.解答:
解:
侧面展开图如图所示,∵圆柱的底面周长为6cm,
∴AC′=3cm,
∵PC′=
BC′,
∴PC′=
×6=4cm,
在Rt△ACP中,
AP2=AC′2+CP2,
∴AP=
=5.
故选B.
点评:
此题主要考查了平面展开图,以及勾股定理的应用,做题的关键是画出圆柱的侧面展开图.
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