等角螺线及其它详解.docx
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等角螺线及其它详解.docx
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等角螺线及其它详解
等角螺线及其它
・何谓等角螺线
・等角螺线的方程式
・趣史一则
・等角螺线上的相似性质
・黄金分割与等角螺线
・等角螺线的弧长
・等角螺线的再生性质
・其它螺线举例
儿何学是一门源远流长的数学分支,在十七世纪以前,儿何学一词棋至可说是数学的同义词,它以往的风光可想而知。
曾儿何时,因为某些内在与外在的因素,儿何学的地位似乎已逐渐没落;在中小学的数学教材里,儿何题材一次乂一次地被删除。
这种现象使我们感到忧心,因为自然环境中隐藏着许多儿何原理,不了解这些儿何知识,不就表示我们对所生存的空间已经愈来愈不了解了吗?
笔者从事数学教育工作多年,乂是现行高中数学教科书的编者之一,对当前高中数学教材中儿何题材的过度贫乏,实在感到忧心忡忡。
在无力对教科书作大幅度修改的情况下,只好在正式教科书之外从事一些修缮工作。
基于上述想法,笔者希望能以一系列的文章来介绍一些儿何题材。
在内容方面,笔者首先选上曲线。
因为曲线的讨论不仅是儿何学中最有趣的题材之一,而且许多曲线都会在自然现象中出现,它们的性质也往往能提供重要的应用。
例如:
天文望远镜的设计,不就是根据拋物线的反射性质吗?
本文介绍等角螺线。
何谓等角螺线
在一片空旷的草地上,甲、乙、丙、丁、四只狗分别站立在一个正方形的四个顶点4、3、C、D上。
狗主人要甲狗紧盯着乙狗、乙狗紧盯着丙狗、丙狗紧盯着丁狗、丁狗紧盯着屮狗。
一声令下,四只狗以相同的速度同时冲向1_1标。
假定每只狗在每个时刻都是正面朝向它的LI标,那么,这四只狗所跑过的路径是什么形式呢?
假设四只狗在某一时刻的位置分别为川、Bi、Ci.Di(见图一),则根据四只
□AiEiCiDi
狗的行动一致所产生的对称性,可知也是正方形,而且它的中心
也就是正方形口ABUD的中心O。
更进一步地,山于在川点的屮狗系冲向在
Bi点的乙狗,所以,屮狗在此一时刻的速度方向在向量上。
或者说,中
狗所跑的路径在Ai点的切线与直线形成45°的夹角。
同理,
乙狗所跑的路径在Bi点的切线与直线OBi形成45°的夹角等等。
一般而言,若一曲线在每个点P的切向量都与某定点O至此点P所成的向量0戸夹成一定角,且定角不是直角,则此曲线称为一等角螺线(equiangularspiral),O点称为它的极点(pole)。
前面所提的四狗追逐问题中,每只狗所经过的路线都是一等角螺线的一部分,此
等角螺线中的定角是4(或,因为切向量可选成相反方向),而其极点是正方形口ABCJD的中心O。
等角螺线的方程式
r=>0
在坐标平面上,若极坐标方程式表示一等角螺线(),其极
OVQVqag爭(f(9),9)
点是原点O,定角为a
(2),则因在点的切向量为
cos9—jf(9)sdn0J,(0)sin9+f(9)cos9)
所以,可得
cosa
cos0(尸(0)cos0—f(0)sin0)+sin0(尸(3)shi0+/(0)cos9)
WWWw
朋)
vW)F+W)F
由此可得下述结果:
7W
Inf(8)
=cota
=9cota+常數Ina,(上式兩端積分)
=ae9cota
换言之,此等角螺线的极坐标方程式为
则甲、乙、
r=ae
在前而所提的四狗追逐问题中,若中心0是极点而点A的极坐标为
丙、丁四只狗所跑的路径分别在下述四等角螺线上:
r=ae(0-5\『=曲(却于),
前面所提的r=aeffcota,就是等角螺线的极坐标方程式。
由于在导出此方程式
的过程中曾经引用了自然对数,所以,等角螺线也称为对数螺线(logarithmicspiral)o
趣史一则等角螺线的性质,笛卡儿(R.Descartes,1596〜1630)在1638年就已经考虑过,但没有获得特殊结果。
托里拆利(E.Torricelli,1608〜1647年)却在1645年发现有关等角螺线弧长的一项性质,这项性质在下文中将会介绍。
对于等角螺线的探讨,以伯努利(J.Bernoulli,1654〜1705年)的成果最为丰硕。
他发现将等角螺线作某些变换时,所得的曲线仍是全等的等角螺线。
这些变换包括:
求等角螺线的垂足曲线(pedalcurve);求等角螺线的渐屈线(evolute):
求等角螺线反演曲线(inversivecurve);求等角螺线的焦线(causticcurve):
将等角螺线以其极点为中心作伸缩变换(dilation),由于这些变换都可以使等角螺线再生,这个现象使伯努利大为欣慰,所以,临殁遗言要将等角螺线的这些性质刻在他墓碑上,同时题上一句话:
\EademmutataresurgoJ(虽然某些状况改变了,我却保持不变)。
这是继阿基米德(纪元前三世纪)之后,另一位在墓碑上表现其成果的数学家。
等角螺线上的相似性质
根据等角螺线的方程式r=ae9c^a,可以看出:
对每个o值,都有一个对应
cotct鼻0的r值;而且不同的0值所对应的r值也不同(因为)o这种现
象表示:
从等角螺线上某个点出发,随着0值的无限制增大与无限制减小,此曲线会环绕它的极点形成无数多圈,一面是愈绕愈远,一面是愈绕愈聚集在极点cota>00——qqcota<0
附近。
若,则当时,曲线聚集在极点附近。
若,
Q—>—QQ(cotcr<0)
则当时,曲线愈绕越远。
图二是等角螺线的一部分\
图二
若辐角弘,…构成一个等差数列,则由指数的性质,对应的向径
aeeicota,aeP2cata,ae^cota,…就构成等比数列。
若令Pn表示极坐标
血总曲傀)OAOP2OPs
的点,则上述结果表示,,,…构成一个等比数
山此可知:
构成一个等比数列。
0]6203
若上述等差数列,,,…的公差是加,P|,P2,P3,…等乃是过极点的一射线与等角螺线的交点。
可见:
过极点作任意射线,则此射线与等角螺线的交点必以等比数列的形式排列在射线上。
对于一般的儿何图形,若我们选定某个点做为伸缩中心将图形放大或缩小,则可得到一个相似的图形,在等角螺线的悄形中,若伸缩中心是它的极点,则不论放大或缩小多少倍,所得的不只是相似图形而已,它是与原等角螺线全等的一个等角螺线。
为什么呢?
若以极点为伸缩中心将等角螺线r=aeffcota伸缩m倍,则所得的图形是等角螺线r=am^cotG,。
因为“弄°,所以可找到一个实数°使得m=e^cotQo于是伸缩后的图形为「=〃(日+©)8t°,这个图形其实就是等角螺线r=aeffc^a绕极点顺时针旋转"角所得,它自然与原等角螺线r=ae9cata全等。
根据前段的说明,我们可以了解:
等角螺线上的一段弧经伸缩若干倍后,必与该等角螺线上的另一弧全等。
事实上,若等角螺线经伸缩成
「="(®+0)8ta,则在等角螺线r=ae^otQ>辐角o满足0*"'了的弧,
0+0<0<了+0
经伸缩后必与该等角螺线上辐角0满足-出的弧全等。
等角螺
线的这项特性,使得自然界中许多物体都呈现等角螺线的形状。
例如:
许多贝壳都很接近等角螺线的形状,因为生活在壳内的动物在成长过程中都是均匀地长大,这就像相似地放大,所以,新生的部分所栖息的空间必与原有空间形状相似。
象鼻、动物的角与毛等都呈等角螺线形。
在植物中,向日葵、菠萝与雏菊上的螺旋纹也都呈等角螺线形。
图四是鹦鹉螺的横截面,这么美的线条,令人不得不佩服造物之奇。
图四
黄金分割与等角螺线
环绕某个定点而相似地缩小,这是等角螺线在其极点附近呈现的形状。
假如我们将多边形环绕一定点而相似地缩小,是不是会与等角螺线生关联呢?
在图五中,口ABQF、口CDFH^U3EFHJ>口GHJK、OIJICL>…等是一系列的矩形,这些矩形中每两个都相似(亦即:
边的比值相等),而且后一矩形都是由其前面的矩形挖掉一个正方形而得的。
如:
口UJDFH是由
掉正方形口力而得的。
此时,上列矩形的第一个顶点A、C、E、G、I、K…等会落在一等角螺线上,此等角螺线的极点是AE.BF.CG.DH等共交的点O。
若以o为极点,射线咙为极轴,且q的极坐标为(a,7r),则此等角螺线的极坐标方程式为
「=談呵
其中。
此等角螺线通常称为黄金螺线。
1十/
为什么会扯上2呢?
原来这个数就是上述相似矩形的长边与短边的长度之
比。
因为由口4BQF与口可得
BD.BC=BC.CD
1+(CV;BC)=BC.CD
(BC:
CD)2-(BC:
CD)-1=0
1+x/5
BC\CD=(因爲行C\CD>Y)
若线段丽上的一点c满足BD:
BC=BC:
CD,则称c点将丽黄金分割。
当
1十辺
2
c点将丽黄金分割时,丽:
而(或丽:
而)的值是,此数称为黄金分
1十皿
2
割比。
若一矩形的长边与短边的比值为,则此矩形称为黄金矩形。
山黄金矩形可引出等角螺线,将矩形改成三角形,也会有同样的结果吗?
.^ABC^BCDHCDESEF£EFG^FGH
在图中、、、、、、等
是一系列的等腰三角形,这些等腰三角形中每两个都相似,而且后一等腰三角形,
^BCD
都规定是山其前面的等腰三角形挖掉一个等腰三角形而得的。
例如:
是
△JLBC^DAB
由挖掉等腰三角形而得的。
图六
此时,上列等腰三角形的顶点A、B、C、D、E、F、G、H、……等会落在一等角螺线上,此等角螺线的极点是丽与而的交点0。
若以O为极点、射线
.(语)
为极轴、且A的极坐标为,则此等角螺线的极坐标方程式为
r=#叭
。
此等角螺线也称为黄金螺线。
1+血
此等角螺线也扯上2,其理由如下:
上述的相似等腰三角形ABC等,可证
:
=1+虫
明其顶角为36°,而底角为72°,所以,2o此种三角形称
为黄金三角形。
等角螺线的弧长
3 假定我们想计算等角螺线r=ae9cota上,辐角。 满足-那段弧的 长,利用前面所提的相似性质,我们可将区间等分成“等分,设每一等h=〈了一印必cotq,/3-|-ih 分的长为力,即'。 又令P表示极坐标()的点, 8(或甩一。 )时的极限存在,则其极限值就是所欲求的弧长。 上述的折线长怎么计算呢? 因为 RR+i: PqBOP]: OP° 二二eihcotafli此可得 PdP14P1P2+'''+-fk—l-frv =.(1+gfecota_|_e2facota_(pe(n-l)ftcota^ ——E&T)COtQ-1『卄八7T、 =F0Pl-—ehcota-1—(假l®0 另一方而,利用余弦泄律可求得 —1)2+4/cotasm2 再根据微积分中的^Hospital法则,可得 lim代哙J=—=tana /i-toehcota_2cota 由此可得 q』cota\/l4-tan2a a/cotQseca lim(F0F1+PiP2-\-Fn-iBt) A—0 =(1/五%eco•(小一日)cota-1)=asecQ0心a—/®) n3 由此可知: 在等角螺线r=aetata±t辐角满足一一那段弧的长为: aseca^^^-e^00^), 此值等于该狐的两端点向径之差与謂ua的乘积。 0VCt<£9—>—QQ 在2的情形中,因为当时,可得一°,所以,极点 P("仇。 山,0) 可以看成是等角螺线的一个终极位置。 我们也因此可以问: 由点绕 —QO 回极点O的长度为多少? 这段弧是辐角0满足一,所对应的部 0—H3/? -2<0<^3-1 、 P("仇。 山,0) 部分的弧长,然后相加而得。 因此,由至o的弧长等于 DO 刀aseccota-少-7cota) 7t=0 aseca・e^cotQ OPseca 前而所得的结果,可以做一项有趣的几何解释: 过0作一直线与◎戸垂直,因为过P的切线与◎⑦不垂直,所以,上述垂直线与切线交于一点「由于LOT>T=a,于是,可得丙=OF-secao换言之,由P点绕回o点的弧长与丙的长相等,这就是托里拆利所发现的性质(见图七)。 前段所提的性质,还可作如下的解释: 设想等角螺线在直线PT±作不滑的滚动,则极点O最后会移动到八而且在滚动过程中点的运动路径就是OTo 等角螺线的再生性质 垂足曲线 设C为一曲线而O为一定点,自O向C的所有切线作垂直线,则所有垂足所成的图形称为曲线C对定点O的垂足曲线。 若C是等角螺线r=ae9cota,则C对其极点的垂足曲线是一个全等的等角 螺线,为什么呢? 在图七中,若是在切线PT±的垂足,则
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