高中数学苏教版选修23教学案第1章 12 排列 Word版含答案.docx
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高中数学苏教版选修23教学案第1章12排列Word版含答案
2019-2020年高中数学苏教版选修2-3教学案:
第1章1-2 排列Word版含答案
1.甲、乙两名同学参加一项活动,其中一名参加上午的活动,另外一名参加下午的活动.
问题1:
甲在上午和乙在上午是相同的安排法吗?
提示:
不是.
问题2:
有几种不同的排法?
提示:
两种.甲上午,乙下午;甲下午,乙上午.
2.若从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动,其中1名同学参加上午的活动,另1名同学参加下午的活动.
问题3:
让你去安排这项活动,需要几步?
提示:
分两步.
问题4:
它们是什么?
提示:
第一步确定上午的同学,第二步确定下午的同学.
问题5:
有几种排法?
提示:
上午有3种,下午有2种,因分步完成共3×2=6种.
问题6:
这些排法相同吗?
提示:
不相同,它们是有顺序的.
3.从a、b、c中任取两个元素,按照一定的顺序排成一列.
问题7:
共有多少种不同的排列方法?
提示:
3×2=6种.
问题8:
试写出它们的排列.
提示:
ab,ac,ba,bc,ca,cb.
排列的定义
一般地,从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
已知数字1,2,3,4,5,6.
问题1:
从1,2,3,4,5,6中选出两个数字,能构成多少个没有重复数字的两位数?
提示:
有6×5=30(个).
问题2:
从1,2,3,4,5,6中选出三个数字,能构成多少个没有重复数字的三位数?
提示:
有6×5×4=120(个).
问题3:
从1,2,3,4,5,6中选出四个数字,能构成多少个没有重复数字的四位数?
提示:
有6×5×4×3=360(个).
问题4:
若从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列,有多少种不同的排法?
提示:
有n(n-1)(n-2)…(n-m+1)(个).
排列数
全排列
定义
从n不同元素中取出m个(m≤n)元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数
n个不同元素全部取出的一个排列,叫做n个不同元素的一个全排列
表示法
A
A
公式
乘积形式
A=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)
A=n(n-1)(n-2)·…·3·2·1
阶乘形式
A=
A=n!
性质
A=1;0!
=1
备注
n,m∈N*,且m≤n
1.判断一个具体问题是不是排列问题主要看从n个元素中取出m个元素后,在安排m个元素时,是有序还是无序,有序是排列,无序就不是排列.也就是说排列与元素的顺序有关,与元素顺序无关的不是排列.
2.排列与排列数是两个不同的概念,排列是一个具体的排法,不是数;排列数是所有排列的个数,它是一个数.
[例1] 下列哪些问题是排列问题:
(1)从10名学生中抽2名学生开会;
(2)从2,3,5,7,11中任取两个数相乘;
(3)以圆上的10个点为端点作弦;
(4)10个车站,站与站间的车票.
[思路点拨] 利用排列的定义去判断,关键是看取出的元素是否与顺序有关.
[精解详析]
(1)2名学生开会没有顺序,不是排列问题.
(2)两个数相乘,与这两个数的顺序无关,不是排列问题.
(3)弦的端点没有先后顺序,不是排列问题.
(4)车票使用时,有起点和终点之分,故车票的使用是有顺序的,是排列问题.
[一点通] 判断一个具体问题是否有顺序的方法:
变换元素的位置,看结果有无变化,若有变化,则与元素的顺序有关,是排列问题;否则,为非排列问题.
1.更改例题的各条件如下,请重新判断是不是排列问题:
(1)抽2名学生当正、副班长;
(2)取两个数相除;
(3)以圆上10个点为端点作有向线段;
(4)10个车站间站与站的票价.
解:
(1)2名学生当正、副班长是有顺序的,故是排列问题.
(2)两个数有除数和被除数之分,有顺序,是排列问题.
(3)有向线段有起点和终点之分,有顺序,是排列问题.
(4)两车站间来回的票价一样,故与顺序无关,不是排列问题.
2.判断下列问题是否为排列问题.
(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同);
(2)选2个小组分别去植树和种菜;
(3)选2个小组去种菜;
(4)选10人组成一个学习小组;
(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员;
(6)某班40名学生在假期相互通信.
解:
(1)中票价只有三种,虽然机票是不同的,但票价是一样的,不存在顺序问题,所以不是排列问题.
(2)植树和种菜是不同的,存在顺序问题,属于排列问题.
(3)、(4)不存在顺序问题,不属于排列问题.
(5)中每个人的职务不同,例如,甲当班长与当学习委员是不同的,存在顺序问题,属于排列问题.
(6)A给B写信与B给A写信是不同的,所以存在着顺序问题,属于排列问题.
所以在上述各题中
(2)、(5)、(6)属于排列问题.
[例2] A,B,C,D四名同学站成一排照相,写出A不站在两端的所有可能站法.
[思路点拨] 解决本题可通过树形图法,画出依题意的形状,便可写出不同的站法.
[精解详析] 如图所示的树形图:
故所有可能的站法是BACD,BADC,BCAD,BDAC,CABD,CADB,CBAD,CDAB,DABC,DACB,DBAC,DCAB,共12种.
[一点通] “树形图”是解决简单排列问题的有效方法,特别是元素较少时.在具体操作中,先将元素按一定顺序排出,然后以安排哪个元素在首位为分类标准,进行分类,在每类中再在前面元素不变的情况下定第二位元素,依次一直进行到完成一个排列.
3.A,B,C三个同学站成一排照相留念,写出所有排列.
解:
由题意作树形图如图所示:
故所有的排列为:
ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA.
4.A,B,C,D四名同学重新换位(每个同学都不能坐其原来的位子),试列出所有可能的换位方法.
解:
假设A,B,C,D四名同学原来的位子分别为1,2,3,4号,列出树形图如图:
位置编号
换位后,原来1,2,3,4号座位上坐的同学的所有可能排法有:
BADC,BCDA,BDAC,CADB,CDAB,CDBA,DABC,DCAB,DCBA.
[例3] 计算:
(1);
(2).
[思路点拨] 利用公式A=化简变形.
[精解详析]
(1)
=
==1.
(2)原式=·(n-m)!
·
=·(n-m)!
·=1.
[一点通] 应用排列数公式应注意以下几个方面:
(1)准确展开:
应用排列数公式展开时要注意展开式的项数要准确.
(2)合理约分:
若运算式是分式形式,则要先约分后计算.
(3)合理组合:
运算时要结合数据特点,应用乘法的交换律、结合律,进行数据的组合,可以提高运算的速度和准确性,如:
n!
=n(n-1)!
;n·n!
=(n+1)!
-n!
;=-等.
5.如果A=15×14×13×12×11×10,那么n=________,m=________.
解析:
∵15×14×13×12×11×10=A,∴n=15,m=6.
答案:
15 6
6.=________.
解析:
原式===3.
答案:
3
7.解下列方程:
(1)3A=2A+6A;
(2)5A=6A.
解:
(1)由3A=2A+6A,
得3x(x-1)(x-2)=2(x+1)x+6x(x-1).
∵x≥3,
∴3(x-1)(x-2)=2(x+1)+6(x-1),
即3x2-17x+10=0.
解得x=5或x=(舍去),∴x=5.
(2)由5A=6A,得=
化简得x2-11x+24=0,解得x1=3,x2=8,
∵x≤4,且x-1≤5,∴原方程式的解为x=3.
1.排列数公式的特点
(1)第一个因数是n;
(2)每个因数都比它前面的因数少1;
(3)最后一个因数是n-m+1;
(4)一共有m个连续的自然数相乘.
2.应用排列数公式应注意的问题
(1)排列数的第一个公式A=n(n-1)…(n-m+1)适用于具体计算以及解当m较小时的含有排列数的方程和不等式.
(2)排列数的第二个公式A=适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等,在具体运用时,则应注意先提取公因式,再计算,同时还要注意隐含条件“m≤n且n∈N*,m∈N*”的运用.
课下能力提升(三)
一、填空题
1.下列问题中:
①10本不同的书分给10名同学,每人一本;
②10位同学互通一次电话;
③10位同学互通一封信;
④10个没有任何三点共线的点构成的线段.
其中属于排列问题的是________.(将正确序号填上)
解析:
①和③中两个元素交换顺序,结果发生变化,所以①和③是排列问题.
答案:
①③
2.从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为________.(填序号)
①甲乙,乙甲,甲丙,丙甲;
②甲乙丙,乙丙甲;
③甲乙,甲丙,乙甲,乙丙,丙甲,丙乙;
④甲乙,甲丙,乙丙.
解析:
这是一个排列问题,与顺序有关,任意两人对应的是两种站法,故③正确.
答案:
③
3.已知A=132,则n=________.
解析:
A=n(n-1)=132,即n2-n-132=0,
又因为n∈N*,所以n=12.
答案:
12
4.从5个人中选出3人站成一排,则不同的排法有________种.
解析:
从5个人中选出3人站成一排,共有A=5×4×3=60种不同的排法.
答案:
60
5.记S=1!
+2!
+3!
+…+99!
,则S的个位数字是________.
解析:
1!
=1,2!
=2,3!
=6,4!
=24,5!
=120,而6!
=6×5!
,
7!
=7×6×5!
,…,99!
=99×98×…×6×5!
,所以从5!
开始到99!
,个位数字均为0,所以S的个位数字为3.
答案:
3
二、解答题
6.计算:
(1)2A-4A;
(2).
解:
(1)原式=2×7×6×5×4-4×6×5×4×3×2
=6×5×4(2×7-4×6)=120(14-24)=-1200.
(2)原式==4×14-12=44.
7.解方程A=140A.
解:
由题意得∴x≥3.根据排列数公式,原方程化为(2x+1)·2x·(2x-1)(2x-2)=140x·(x-1)·(x-2),x≥3,两边同除以4x(x-1),
得(2x+1)(2x-1)=35(x-2),即4x2-35x+69=0.
解得x=3或x=5(因为x为整数,故应舍去).
所以x=3.
8.用1,2,3,4四个数字排成三位数,并把这些三位数从小到大排成一个数列{an}.
(1)写出这个数列的前11项;
(2)求这个数列共有多少项.
解:
(1)111,112,113,114,121,122,123,124,131,132,133.
(2)这个数列的项数就是用1,2,3,4排成三位数的个数,每一位都有4种排法,则根据分步计数原理共有4×4×4=64项.
第2课时 排列的应用
[例1]
(1)有5个不同的科研小课题,从中选3个由高二(6)班的3个学习兴趣小组进行研究,每组一个课题,共有多少种不同的安排方法?
(2)有5个不同的科研小课题,高二(6)班的3个学习兴趣小组报名参加,每组限报一个课题,共有多少种不同的报名方法?
[思路点拨]
(1)选出3个课题进行排列;
(2)每个学习小组都选一个课题.
[精解详析]
(1)从5个不同的课题中选出3个,由兴趣小组进行研究,对应于从5个不同元素中取出3个元素的一个排列.
因此不同的安排方法有A=5×4×3=60种.
(2)由题意知,3个兴趣小组可能报同一科研课题,因此元素可以重复,不是排列问题.
由于每个兴趣小组都有5种不同的选择,且3个小组都选择完才算完成这件事.由分步计数原理得,共有5×5×5=125种报名方法.
[一点通] 没有限制条件的排列问题,即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制,这一类题相对简单,分清元素和位置即可.
1.某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目最多1项,则该外商不同的投资方案有________种.
解析:
不同的投资方案有A=4×3×2=24种.
答案:
24
2.有5名男生和2名女生,从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的科代表,则不同的选法共有________种.(用数字作答)
解析:
由题意知,从7人中选出5人担任5个学科的科代表,共有A=2520种不同的选法.
答案:
2520
3.某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号,每次可以任挂1面、2面或3面,并且不同的顺序表示不同的信号,则一共可以表示多少种不同的信号?
解:
第1类,挂1面旗表示信号,有A种不同方法;
第2类,挂2面旗表示信号,有A种不同方法;
第3类,挂3面旗表示信号,有A种不同方法.
根据分类计数原理,可以表示的信号共有A+A+A=3+3×2+3×2×1=15种.
[例2] 7位同学站成一排.
(1)其中甲站在最左端的位置,共有多少种不同的排法?
(2)甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种?
(3)其中甲不能站在排头、乙不能站在排尾的排法共有多少种?
[思路点拨] 这是一个有限制条件的排列问题,每一问均应优先考虑限制条件,遵循特殊元素或位置优先安排的原则.
[精解详析]
(1)先考虑甲站在最左端有1种方法,再在余下的6个位置排另外6位同学,共A种排法.
(2)法一:
先考虑在除两端外的5个位置选2个安排甲、乙有A种,再在余下的5个位置排另外5位同学的排法有A种,共有A·A种排法.
法二:
考虑特殊位置优先法,即两端的排法有A种,中间5个位置有A种,共有A·A种排法.
(3)法一:
分两类:
乙站在排头和乙不站在排头,乙站在排头的排法共有A种,乙不站在排头的排法总数为:
先在除甲、乙外的5人中选1人安排在排头的方法有5种,中间5个位置选1个安排乙的方法有5种,再在余下的5个位置排另外5位同学的排法有A种,故共有A+5×5A种排法.
法二:
考虑间接法,总排法为A,不符合条件的甲在排头或乙站排尾的排法均为A种,但这两种情况均包含了甲在排头和乙站排尾的情况,故共有A-2A+A种排法.
[一点通] 解决这种有限制条件的排队问题,关键是搞清元素是什么,位置是什么,根据给出的限制条件,按特殊元素(位置)恰当合理地分类或分步来解决.
4.张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩,购票后排队依次入园.为安全起见,首尾一定要排两位爸爸,另外,两个小孩一定要排在一起,则这6人的入园顺序排法种数为________.(用数字作答)
解析:
第一步:
将两位爸爸排在两端有2种排法;第二步:
将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上有A种排法;第三步:
将两个小孩排序有2种排法.故总的排法有2×2×A=24(种).
答案:
24
5.6个人按下列要求站一排,分别有多少种不同的站法?
(1)甲不站右端,也不站左端;
(2)甲、乙站在两端;
(3)甲不站左端,乙不站右端.
解:
(1)第一步,先从甲以外的5个人中任选两人站在左、右两端,有A种不同的站法;第二步,再让剩下的4个人站在中间的4个位置,有A种不同的站法,由分步计数原理有A·A=480种不同的站法.
(2)让甲、乙先站两端,有A种站法,再考虑中间4个位置,由剩下的4个人去站,有A种不同的站法,由分步计数原理有A·A=48种不同的站法.
(3)以元素甲的位置进行考虑,可分两类:
甲站右端有A种不同的站法;甲在中间4个位置之一,而乙不在右端,可先排甲后排乙,再排其余4个,有4×4×A种不同的站法,故共有A+4×4×A=504种不同的站法.
[例3] 用0,1,2,3,4这五个数字,组成五位数,
(1)可组成多少个五位数?
(2)可组成多少个无重复数字的五位数?
(3)可组成多少个无重复数字的五位奇数?
[思路点拨] 该题目中的特殊元素为0,它不能放在首位.
(1)数字可以重复;
(2)只需限制首位(即万位)不为0;(3)限制末位是奇数,首位不是0.
[精解详析]
(1)各个数位上的数字允许重复,由分步计数原理得,共可组成五位数4×5×5×5×5=2500个.
(2)法一:
(优先考虑特殊位置)先排万位,从1,2,3,4中任取一个有A种方法,其余四个位置排四个数字共有A种方法,所以组成的无重复数字的五位数共有AA=96个.
法二:
(优先考虑特殊元素)先排0,除首位之外的其他四个数位均可,有A种方法,其余四个数字全排列,有A种方法.故组成的无重复数字的五位数共有AA=96个.
(3)(优先考虑特殊位置)先排个位,1和3均可,有A种方法.然后从剩下的3个非0数中选一个排在万位,有A种方法,最后将剩下的3个数排在其他三个数位上,有A种方法.故组成的无重复数字的五位奇数共有AAA=36个.
[一点通] 组数问题中常用的知识:
(1)能被2整除的数的特征:
末位数是偶数;不能被2整除的数的特征:
末位数是奇数.
(2)能被3整除的数的特征:
各位数字之和是3的倍数;能被9整除的数的特征:
各位数字之和是9的倍数.
(3)能被4整除的数的特征:
末两位是4的倍数.
(4)能被5整除的数的特征:
末位数是0或5;能被25整除的数的特征:
末两位数是25的正整数倍.
(5)能被6整除的数的特征:
各位数字之和是3的倍数的偶数.
6.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数,
(1)可组成多少个不同的四位数?
(2)可组成多少个四位偶数?
解:
(1)先排首位,有A种排法,再排个位、十位和百位,有A种排法,故共有AA=300个不同的四位数.
(2)当个位数字是0时,有A种;
当个位数字不是0时,有AAA种.
所以,共有A+AAA=156个,即可组成156个四位偶数.
7.在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为奇数的共有多少个?
解:
依题意,所选的三位数字有两种情况:
(1)3个数字都是奇数,从1,3,5三个数中选三个数排列,有A种方法;
(2)3个数字中有一个是奇数,分两步进行,选一个奇数,有3种选法,这个奇数与两个偶数全排列,故有3A种方法.
由分类计数原理,共有A+3A=24个满足条件的三位数.
1.解决排列问题时通常从以下三个途径考虑
(1)以元素为主考虑,即先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素;
(2)以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置,如组数问题中的首位,如果所给数字中有0,应先考虑首位不为0;
(3)先不考虑附加条件,计算出排列数,然后去掉不符合要求的排列.
2.解决组数问题应注意的几点
(1)首位数字不为0;
(2)若所选数字中含有0,则可先排0,即“元素分析法”;
(3)若排列的数是特殊数字,如偶数,则先排个位数字,即“位置分析法”;
(4)此类问题往往需要分类,可依据特殊元素,特殊位置分类.
课下能力提升(四)
一、填空题
1.由1,2,3,4,5,6,7,8八个数字,组成无重复数字的两位数的个数为________.(用数字作答)
解析:
A=8×7=56个.
答案:
56
2.5个人站成一排,其中甲、乙两人不相邻的排法有________种.(用数字作答)
解析:
先排甲、乙之外的3人,有A种排法,然后将甲、乙两人插入形成的4个空中,有A种排法,故共有A·A=72(种)排法.
答案:
72
3.A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果A,B必须相邻且B在A的右边,那么不同的排法有________种.
解析:
根据题目的条件可知,A,B必须相邻且B在A的右边,所以先将A,B两人捆起来看成一个人参加排列,即是4个人在4个位置上作排列,故不同的排法有A=4×3×2×1=24(种).
答案:
24
4.由数字1,2,3与符号“+”和“-”五个元素的所有全排列中,任意两个数字都不相邻的全排列的个数是________.
解析:
符号“+”和“-”只能在两个数之间,这是间隔排列,排法共有AA=12种.
答案:
12
5.将数字1,2,3,4,5,6按第一行1个数,第二行2个数,第三行3个数的形式随机排列,设Ni(i=1,2,3)表示第i行中最大的数,则满足N1 解析: 由题意知数字6一定在第三行,第三行的排法种数为AA=60;剩余的三个数字中最大的一定排在第二行,第二行的排法种数为AA=4,由分步计数原理知满足条件的排列个数是240. 答案: 240 二、解答题 6.7名同学排队照相, (1)若分成两排照,前排3人,后排4人,有多少种不同的排法? (2)若排成两排照,前排3人,后排4人,但其中甲必须在前排,乙必须在后排,有多少种不同的排法? 解: (1)分两步,先排前排,有A种排法,再排后排,有A种排法,符合要求的排法共有A·A=5040种; (2)第一步安排甲,有A种排法;第二步安排乙,有A种排法,第三步将余下的5人排在剩下的5个位置上,有A种排法.由分步计数原理得,符合要求的排法共有A·A·A=1440种. 7.从-3,-2,-1,0,1,2,3,4八个数字中任取3个不同的数字作为二次函数y=ax2+bx+c的系数a,b,c,问: (1)共能组成多少个不同的二次函数? (2)在这些二次函数中,图象关于y轴对称的有多少个? 解: (1)法一: (直接法——优先考虑特殊位置) ∵a≠0, ∴确定二次项系数有7种,确定一次项和常数项有A种, ∴共有7A=294个不同的二次函数. 法二: (直接法——优先考虑特殊元素)a,b,c中不含0时,有A个,a,b,c中含有0时,有2A个,故共有A+2A=294个不同的二次函数. 法三: (间接法)共可构成A个函数,其中a=0时有A个均不符合要求,从而共有A-A=294个不同的二次函数. (2)(直接法)依题意b=0,所以共有A=42个符合条件的二次函数. 8.用0,1,2,3,4,5这六个数字, (1)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数? (2)能组成多少个比1325大的四位数? 解: (1)五位数中为5的倍数的数可分两类: 第1类: 个位上是0的五位数有A个; 第2类: 个位上是5的五位数有AA个. 所以满足条件的五位数有A+AA=216(个). (2)比1325大的四位数可分三类: 第1类: 千位上是2,3,4,5时,共有AA个; 第2类: 千位上是1,百位上是4,5时,共有AA个; 第3类: 千位上是1,百位上是3,十位上是4,5时,共有AA个. 由分类计数原理得,比1325大的四位数共有AA+AA+AA=270(个).
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