matlab有限域上地运算.docx

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matlab有限域上地运算

1有限域基础知识

1.1有限域（Galois域）的构造

令p为一个素数.则对任意的一个正整数n，存在一个特征为p，元素个数为pn的有限域GF（pn）.

注：

任意一个有限域，其元素的个数一定为pn，其中p为一个素数（有限域的特征），n为一个正整数.

例1（有限域GF（p））令p为一个素数，集合

GF（p）=Zp={0,1,2,…,p−1}.

在GF（p）上定义加法⊕和乘法⊙分别为模p加法和模p乘法，即任意的a,b∈GF（p），

a⊕b=（a+b）modp, a⊙b=（a⋅b）modp

则为一个有p个元素的有限域，其中零元素为0，单位元为1.

令a为GF（p）中的一个非零元素.由于gcd（a,p）=1，因此，存在整数b,c，使得ab+pc=1.由此得到a的逆元为a−1=bmodp.

域GF（p）称为一个素域（primefield）.

例注1：

给定a和p，例1中的等式ab+pc=1可以通过扩展的欧几里得除法得到，从而求得GF（p）中任意非零元素的逆元.

例2（有限域GF（pn））从GF（p）出发，对任意正整数n，n≥2，我们可以构造元素元素个数为pn的有限域GF（pn）如下：

令g（x）为一个GF（p）上次数为n的不可约多项式，集合

GF（pn）=GF（p）[x]/⟨g（x）⟩={a0+a1x+a2x2+⋯+an−1xn−1 | ai∈GF（p）,0≤i≤n−1}

在GF（pn）上定义加法⊕和乘法⊙分别为模g（x）加法和模g（x）乘法，即任意的a（x）,b（x）∈GF（pn），

a（x）⊕b（x）=a（x）+b（x）, a（x）⊙b（x）=（a（x）⋅b（x））modg（x）

则为一个有pn个元素，特征为p的有限域，其中零元素为GF（p）中的0，单位元为GF（p）中的1.

令a（x）为GF（pn）中的一个非零元素.由于gcd（a（x）,g（x））=1，因此，存在GF（p）上的多项式b（x）,c（x），使得a（x）b（x）+g（x）c（x）=1.由此得到a（x）的逆元为a−1（x）=b（x）modg（x）.

域GF（pn）称为GF（p）的（n次）扩域（extensionfield），而GF（p）称为GF（pn）的子域（subfield）.

例注2.1：

给定GF（p）上的多项式a（x）和g（x），例2中的等式a（x）b（x）+g（x）c（x）=1可以通过扩展的欧几里得除法得到，从而求得GF（pn）中任意非零元素的逆元.

例注2.2：

设GF（q）是一个含有q个元素的有限域.对任意正整数n,GF（q）上的n次不可约多项式一定存在.更进一步，GF（q）上首项系数为1的n次不可约多项式的个数为

Nq（n）=1n∑d|nμ（nd）qd=1n∑d|nμ（d）qn/d

其中μ为Moebius函数，定义为

μ（m）=⎧⎩⎨1（−1）k0如果m=1如果m=p1p2⋯pk,其中p1,p2,…,pk为互不相同的素数其它

1.2有限域的性质

令GF（q）是一个含有q个元素的有限域，F∗q=GF（q）∖{0}为有限域GF（q）中所有非零元素构成的集合.则在乘法之下F∗q是一个有限循环群.循环群F∗q的一个生成元称为有限域GF（q）的一个本原元.

若α∈GF（q）为一个本原元，则

GF（q）={0,1,α,α2,…,αq−2}

并且αq−1=1，即αq=α.

定义：

设GF（q）是一个含有q个元素的有限域，GF（p）是GF（q）的一个含有p个元素的子域（p不一定为素数），α∈GF（q）.则GF（p）上以α为根，首项系数为1，并且次数最低的多项式称为α在GF（p）上的极小多项式（minimalpolynomialofαoverGF（p））.

特别地，若α∈GF（q）为GF（q）的一个本原元，则α在GF（p）上的极小多项式称为GF（p）上的一个本原多项式（primitivepolynomialforGF（q）overGF（p））.

定义注1：

对任意的α∈GF（q），α在GF（p）上的极小多项式存在并且唯一，并且α在GF（p）上的极小多项式为GF（p）上的一个不可约多项式.

定义注2：

设α∈GF（q），则α和αp在GF（p）上具有相同的极小多项式.更进一步，集合

B（α）={α,αp,αp2,αp3,…,αpi,…}

中的元素具有相同的极小多项式.设q=pn，则αpn=α.因此，集合B（α）中互不相同的元素的个数（记为r）不超过n.可以证明，α为GF（q）的一个本原元当且仅当r=n.

定理：

设GF（q）是一个含有q个元素的有限域，GF（p）是GF（q）的一个含有p个元素的子域.设α∈GF（q），r为满足αpr=α的最小正整数.则α在GF（p）上的极小多项式g（x）是一个r次不可约多项式，并且

B（α）={α,αp,αp2,…,αpr−1}

中的元素为g（x）在GF（q）上的所有不同的根，即

g（x）=（x−α）（x−αp）（x−αp2）⋯（x−αpr−1）.

注：

r的计算方法如下：

设α在F∗q中的阶为k.集合

Z∗k={m | 0≤m≤k−1,gcd（m,k）=1}

在模k乘法运算下是一个含有φ（k）个元素的有限群（其中φ为欧拉（Euler）函数）.则r等于pmodk在Z∗k中的阶.

推论：

设GF（q）是一个含有q个元素的有限域，GF（p）是GF（q）的一个含有p个元素的子域.设|GF（q）|=pn，即q=pn.设α∈GF（q）为GF（q）的一个本原元，则α在GF（p）上的极小多项式g（x）的次数为n，并且

g（x）=（x−α）（x−αp）（x−αp2）⋯（x−αpn−1）.

更进一步，α,αp,αp2,…,αpn−1均为GF（q）的本原元.

注：

设GF（p）是一个含有p个元素的有限域，n是任意一个正整数，则GF（p）上的n次本原多项式一定存在.更进一步，GF（p）上的首项系数为1的n次本原多项式的个数为φ（pn−1）n，其中φ为欧拉函数.

例3考虑二元域GF

（2）上的不可约多项式p（α）=α3+α+1，构造有限域

GF（23）=GF

（2）[α]/⟨p（α）⟩={0,1,α,α+1,α2,α2+1,α2+α,α2+α+1}.

容易验证，α,α2,α3,α4,α5,α6都是GF（23）的本原元.GF

（2）上的首项系数为1的3次本原多项式有两个，分别为

（i）α,α2,α4在GF

（2）上的极小多项式

g（x）=（x+α）（x+α2）（x+α4）=x3+x+1

（ii）α3,α5,α6在GF

（2）上的极小多项式

g（x）=x3+x2+1

有限域GF（p）上的本原多项式一定是GF（p）上的不可约多项式；但是，GF（p）上的不可约多项式不一定是GF（p）上的本原多项式.

定理：

设GF（q）是一个含有q个元素的有限域，GF（p）是GF（q）的一个含有p个元素的子域，g（x）是GF（p）上的一个不可约多项式.则g（x）为GF（p）上的本原多项式当且仅当g（x）在GF（q）上的根都是GF（q）的本原元.

下面例子说明不可约多项式不一定是本原多项式.

例4考虑二元域GF

（2）上的不可约多项式p（x）=x4+x3+x2+x+1，构造有限域

GF（24）=GF

（2）[x]/⟨p（x）⟩={a+bx+cx2+dx3 | a,b,c,d∈GF

（2）}.

显然，x∈GF（24）.由于x5=1，即x的阶为5，因此，x不是GF（24）的本原元.于是，p（x）不是GF

（2）上的本原多项式.另外，可以验证x+1是GF（24）的本原元.

2Matlab中的有限域计算函数

Matlab中自带的有限域的计算是在GF（2m）上进行的，即在二元域GF

（2）的扩域中进行计算，其中1≤m≤16.

由“1.1有限域的构造”的“例2”可知，我们只需先找到一个GF

（2）上的m次不可约多项式g（x），得到集合GF

（2）[x]/⟨g（x）⟩，然后定义其上的加法和乘法分别为模g（x）加法和模g（x）乘法，即得到有限域GF（2m）.

然而，这样得到的有限域GF（2m）中，元素x未必是本原元，这将给后面的（乘法）运算带来很多麻烦.因此，在不可约多项式g（x）的挑选上，我们最好选择一个本原多项式.这其实就是Matlab中的做法.

Matlab中GF（2m）的元素：

在Matlab中GF（2m）:

=GF

（2）[D]/⟨p（D）⟩，其中p（D）为一个GF

（2）上的m次本原多项式.

GF（2m）={am−1Dm−1+am−2Dm−2+⋯+a1D+a0, | ai∈GF

（2）,0≤i≤m−1}

因此，每个GF（2m）中的元素本质上是一个次数小于m的多项式，每个元素和多项式之间有“1-1”对应关系.例如，取m=3和本原多项式p（D）=D3+D+1，则我们得到有限域GF（23），其中的元素和多项式之间的对应关系如下：

GF（23）

GF

（2）[D]/⟨p（D）⟩

二进制

0

0

000

1

1

001

2

D

010

3

D+1

011

4

D2

100

5

D2+1

101

6

D2+D

110

7

D2+D+1

111

GF

（2）上的多项式由系数组成的二进制所对应的（十进制）数字来表示.例如，多项式p（D）=D3+D+1的系数组成的二进制为1011，因此，多项式p（D）表示为数字11.

2.1定义有限域数组

在Matlab中，函数gf用来定义一个有限域数组，函数申明如下：

X_GF=GF（X,M,PRIM_POLY）

函数创建有限域GF（2M）上的一个数组，使用的GF

（2）上的M次本原多项式为PRIM_POLY；M是一个1至16之间的整数；数组X中的元素为0至2M−1之间的数.

例如，生成有限域GF（23）中的所有元素，并令本原多项式为p（D）=D3+D2+1.

>>GF8=gf（0:

7,3,13）

GF8=GF（2^3）array.Primitivepolynomial=D^3+D^2+1（13decimal）

Arrayelements=

01234567

如果不指定本原多项式，则Matlab将使用默认本原多项式.例如

>>gf（0:

7,3）

ans=GF（2^3）array.Primitivepolynomial=D^3+D+1（11decimal）

Arrayelements=

01234567

在这里例子中，Matlab使用了3次本原多项式D3+D+1.

如果不指定次数M和本原多项式PRIM_POLY，则生成二元域GF

（2）中的元素.

>>gf（0:

1）

ans=GF

（2）array.

Arrayelements=

01

生成的有限域中的数组可以参与运算（+、、.、.^、\等）.注意：

参与运算的操作数必须来自同一个有限域，用于生成有限域的本原多项式也必须相同！

一个典型的例子是计算有限域的乘法表如下：

>>GF8=gf（0:

7,3）

GF8=GF（2^3）array.Primitivepolynomial=D^3+D+1（11decimal）

Arrayelements=

01234567

>>GF8'*GF8

ans=GF（2^3）array.Primitivepolynomial=D^3+D+1（11decimal）

Arrayelements=

00000000

01234567

02463175

03657412

04376251

05142736

06715324

07521643

>>GF8=gf（0:

7,3,13）

GF8=GF（2^3）array.Primitivepolynomial=D^3+D^2+1（13decimal）

Arrayelements=

01234567

>>GF8'*GF8

Warning:

Lookuptablesnotdefinedforthisorder2^3and

primitivepolynomial13.Arithmeticstillworks

correctlybutmultiplication,exponentiation,and

inversionofelementsisfasterwithlookuptables.

Usegftabletocreateandsavethelookuptables.

>Ingf.gettablesat35

Ingf.mtimesat20

ans=GF（2^3）array.Primitivepolynomial=D^3+D^2+1（13decimal）

Arrayelements=

00000000

01234567

02465713

03651274

04517326

05723641

06172435

07346152

在这里我们用两个不同的本原多项式构造有限域GF（23），得到两不同的乘法表.

注1：

当我们计算GF

（2）[D]/⟨D3+D2+1⟩的乘法表时，Matlab给产生一个警告“Warning:

Lookuptablesnotdefinedforthisorder2^3andprimitivepolynomial13.”从警告中我们可以看出，Matlab中有限域的乘法是通过查表来完成的，这样可以显著地提高计算的速度.我们可以通过命令gftable来创建并保存查找表格.

注2：

用本原多项式D3+D+1和D3+D2+1生成两个不同的元素个数为8的有限域，然而这两个有限域是同构的.一般地，我们有如下有限域同构定理：

定理：

任意两个元素个数相同的有限域一定同构.

与本原元多项式相关的函数

primpoly

函数primpoly用于计算GF

（2）上的本原多项式，函数申明如下：

PR=PRIMPOLY（M,OPT,'nodisplay'）

其中M为本原多项式的次数，其取值为2至16之间的整数；选项OPT的定义如下：

OPT='min'给出一个权值最小的本原多项式

OPT='max'给出一个权值最大的本原多项式

OPT='all'给出所有的本原多项式

OPT=L给出所有权值为L的本原多项式

字符串‘nodisplay’用于关闭默认的本原多项式显示方式.

例如，输出GF

（2）上所有次数为3的本原多项式.

>>primpoly（3,'all'）

Primitivepolynomial（s）=

D^3+D^1+1

D^3+D^2+1

ans=

11

13

>>primpoly（3,'all','nodisplay'）

ans=

11

13

isprimitive

函数isprimitive用来检查GF

（2）上的多项式是否为本原多项式，函数申明如下：

CK=ISPRIMITIVE（A）

其中A为一个表示多项式的数字，并且表示的多项式的次数不能超过16.如果A为本原多项式，则返回1；否则返回0.

例如，检查多项式D3+D2+1和D3+D2+D+1是否为本原多项式如下：

>>isprimitive（13）

ans=

1

>>isprimitive（15）

ans=

0