江西省赣州市高三数学上学期期末考试试题理doc.docx
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江西省赣州市高三数学上学期期末考试试题理doc
赣州市2015~2016学年度第一学期期末考试
高三数学(理科)试题
2016年1月
(考试时间120分钟.共150分)
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每一小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的.
1.
复数2
i的共轭复数是
1
i
3
i
1
i
3
i
3i
A.
2
B.
2
C.
D.
2
2
2.
A
x|x2
4x50
,B
x||x|2
,则AI(eRB)
A.
2,5
B.
(2,5]
C.
1,2
D.
3.等比数列
an
中,S2
2,S4
8,则S6
A.
32
B.
32
C.
26
D.
1,2
26
4.已知命题p:
x
1,都有log1
x
0
,命题q:
x
R,使得x2
2x成立,则下列命题是
3
真命题的是
A.pq
B.
p
q
C.p
q
D.p
q
5.从3个英语教师和5个语文教师中选取4名教师参加外事活动,其中至少要有一名英语教师,则不同的选法共有
A.A31A53
A32A52
A33A51
B.
C31C53
C32C52
C33C51
C.C31C73
D.
C31C53
C32C52
C33C51A44
x
y
2
0
6.
变量x,y满足约束条件x
y
2
0,则目标函数
zx
3y的最小值为
y
1
A.2
B.
3
C.
4
D.
5
7.
若l,m,n是不相同的空间直线,
是不重合的两个平面,则下列命题正确的是
A.l
m
lm
B.
l∥m,m
l∥
1
C.l
,m
,l∥,m∥
∥D.
ln,mnl∥m
8.将函数y2sin(x
3
)(
0)的图像分别向左、向右各平移
π个单位后,所得的两个
3
图像的对称轴重合,则
的最小值为
A.3
B.4
C.6
D.3
3
2
9.已知双曲线x2
y2
1(a
0,b
0)的一条渐近线的方程为
y
2x,则该双曲线的离
a2
b2
心率为
A.3
B.
6
C.
3
D.
3
2
2
10.一个算法的程序框图如图所示,该程序输出的结果为
36,则空白处应填入的条件是
55
A.i
9
B.
i6
C.
i9
D.
i8
开始
i=1,s=0
s
s
1
i=i+1
2)
是
i(i
否
输出s
结束
11.已知圆O的半径为
2,A,B是圆O上任意两点,且
AOB
120o,PQ是圆O的一条
uuur
uuur
31
uuur
uuur
uuur
直径,若点C满足OC
3OA
OB
R,则CPCQ的最小值为
A.3
B.
4
C.
5
D.
6
12.已知函数g(x)lnx
mx2
nx(m,n
R)在x
2处取得极大值,则m的取值范围为
A.(
1,0)U
0,
B.(
1,
)
C.
0
U(0,1)
D.
0,
8
8
8
第Ⅱ卷(非选择题,共
90分)
二、填空题:
本大题共
4小题,每小题
5分,共
20分.
13.1x102x)的展开式中x3的系数为______.
14.
已知对任意nN,点(an1
2
1n2,an(2an1an)
1n2)
2
2
在直线yx上,若a11,an
0则an=_________.
15.
某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是
.
2
16.已知f(x)
是定义在
R上且周期为4的函数,在区间
2,2
上,
mx
2,-2
x
0
,则1
3
f(x)
,其中m,n
R,若f
1f
3
n)dx
nx
2,0
x
(mx
.
2
4
1
x
1
三、解答题:
本大题共
6小题,满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
17.(本小题满分
12分)
已知函数f(x)
3sinx3cos2
x
3
0
2
2
2
2
(1)若函数f
x
图像的一条对称轴是直线
x
π
的最小正周期
,求函数fx
4
()在
ABC
中,角A,B,C的对边分别为
a,b,c,且满足
f
A
23,
,
2
a
12
C
4
求b的值
18.(本小题满分12分)
为了解某地脐橙种植情况,调研小组在该地某
脐橙种植园中随机抽出30棵,每棵挂果情况
编成如图所示的茎叶图(单位:
个):
若挂果
在175个以上(包括175)定义为“高产”,
15778999
1612458899
17023455668
18011247
191
挂果在175个以下(不包括175)定义为“非高产”.
(1)如果用分层抽样的方法从“高产”和“非高产”中抽取5棵,再从这5棵中选2棵,
那么至少有一棵是“高产”的概率是多少?
(2)用样本估计总体,若从该地所有脐橙果树(有较多果树)中选3棵,用表示所选3
棵中“高产”的个数,试写出的分布列,并求的数学期望.
P
19.(本小题满分12分)
已知四棱锥PABCD中,面ABCD为矩形,
PA面ABCD,PAAD
1
M
AB,M为PB的中点,
2
A
1AB.
N、S分别为AB、CD上的点,且ANCS
N
D
4
S
B
C
3
(1)证明:
DMSN;
(2)求SN与平面DMN所成角的余弦值.
20.(本小题满分
12分)
从抛物线
C
:
x
2
2py(p
0)
外一点
P
作该抛物线的两条切线
PA
PB
(切点分别为
、
A
B
),分别与x轴相交于
C
D
,若
AB
与
y
轴相交于点
Q
,点M
0
在抛物线
C
、
、
x,4
上,且MF
6
(F为抛物线的焦点).
(1)求抛物线C的方程;
(2)求证:
四边形PCQD是平行四边形.
21.(本小题满分
12分)
已知函数f
x
lnx
x
(1)求函数g
x
f
x
x
2的图像在x
1处的切线方程
(2)证明:
f
x
lnx
1
x
2
(3)设m
n
0
f
m
fn
m
的大小,并说明理由
,比较
m
1与
m2
n2
n
请考生在第(22)、(23)、(24)两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑,把答案填在答题卡上.
22.(本小题满分10分)
如图,AB是圆O的直径,C是半径OB的中点,D是OB延长线上一点,且BD
OB,
直线MD与圆O相交于点M,T(不与A,B重合),DN与圆O相切于点N,连结
MC,MB,OT
M
(1)求证:
DT
DC;
T
DO
DM
A
B
D
(2)若BMC
40o,,试求DOT的大小.
OC
N
23.(本小题满分10分)
已知曲线C的极坐标方程是
2
4cos(
π
)10.以极点为平面直角坐标系的原
3
点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是
4
xtcos
(t为参数)
y3tsin
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)若直线l与曲线C相交于A、B两点,且|AB|32,求直线的倾斜角的值.
24.(本小题满分10分)
已知a、b为正实数,若对任意x
0,
,不等式abx1x2
恒成立.
(1)求1
1
的最小值;
a
b
(2)试判断点P1,1与椭圆x2
y2
1的位置关系,并说明理由.
a2
b2
赣州市2015~2016学年度第一学期期末考试
高三数学(理科)参考答案
一、选择题
5
1~5.CBDAB;6~10.CADDA;11~12.CB.
二、填空题
13.
195
;
14.
n2
n
2;
5.
6
2
;
16.
8.
2
3
π
三、解答题
17.解:
f(x)
3sin
x
3cos2
x
3
3
3sin
x
1cosx3
2
2
2
2
2
3sin
x
π
3
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
3分
6
(1)由π
ππkπ(kZ)得:
4
4k,
4
6
2
4
3
因为0
2,所以
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
5分
3
2π
3π⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
函数f
x
的最小正周期为T
6分
2
(2)f
A
3sinA
3
2
3,A
π
7分
3
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
6
又C
π
4
,
sinB
sin(A
C)
sin
ππ
2
6⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
9分
3
4
4
由
a
b
10分
sinA
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
sinB
asinB
3
2
6
所以b
2
66
2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
12分
sinA
3
2
18.解:
(1)根据茎叶图,有“高产”12棵,“非高产”18棵,用分层抽样的方法,每棵
被抽中的概率是
5
1
2分
30
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
6
所以选中的“高产”有
1
2棵,“非高产”有
18
1
12
3棵,用事件A表示至少有一
6
6
棵“高产”被选中,则
P(A)
1
C32
1
3
7
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
4分
C52
10
10
6
因此至少有一棵是“高产”的概率是
7
10
(2)依题意,抽取30棵中12棵是“高产”,
所以抽取一棵是“高产”的频率为
12
2
5分
30
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
5
2,
频率当作概率,那么从所有脐橙果树中抽取一棵是“高产”的概率是
5
又因为所取总体数量较多,抽取
3棵可看成进行
3次独立重复试验,
所以
服从二项分布B(3,2)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
6分
5
0)C30(12)3
27
C312(1
2)254
的取值为
0,1,2,3,P(
,P(
1)
,
5
125
5
5
125
P(
2)
C32
(2)2(12)
36
,P(
3)
C33
(2)3
8
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
9分
5
5
125
5
125
所以
的分布列如下:
0
1
2
3
P
27
54
36
8
125
125
125
125
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
11分
所以E
27
54
2
36
8
6
(或E
3
2
6
分
0
1
125
3
5
5
)⋯⋯⋯⋯⋯12
125
125
125
5
19.解:
证法一:
(1)如图,取AB中点E,连接EM、ED⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
1分
因为M为PB中点,所以EM//PA⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2分
又PA
面ABCD,SN面ABCD
P
所以PA
SN,所以EM
SN⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
3分
因为AD
1AB
AE,所以
AED
45o⋯⋯⋯⋯⋯4分
2
M
过S作SF
AB交AB于F
NA
D
则NF
FS,所以
FNS
45o
E
所以ES
ED⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
5分
B
F
C
S
又EDIME
E,SN平面EDM
所以SN
DM⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
6分
证法二:
设PA
1,以A为原点,射线
AB,AD
,AP分别为x,y,z轴正方向建立空间
直角坐标系则P(0,0,1),D(0,1,0),M(1,0,1),N(1,0,0)
,S(3,1,0)⋯⋯⋯3分
2
2
2
7
uuuur
(1,
1,
1
uuur
(
1,1,0)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
(1)证明:
DM
),SN
4分
uuur
uuuur
2
1
1+11
0
0⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
5分
因为SNDM
所以DM
SN⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
6分
uuur
1,
r
z
P
(
(x,y,z)为平面DMN的一个法向量,
(2)DN
1,0),设n
2
uuuur
r
x
y
1
z
0
DM
n
0
2
,所以
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
则uuur
r
1
M
DN
n
0
x
y
0
2
NA
r
Dy
取x2,得n
(2,1,
2)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
9分
E
设SN与平面DMN所成角为
F
S
x
B
C
uuur
r
|
2
10|
sin
|cos
|
SN,n
310⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
10分
2
5
10
cos
10
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
11分
10
所以SN与平面DMN所成角的余弦
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