高届高级高三三维设计地理一轮复习资料第一章集合与常用逻辑用语.docx
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高届高级高三三维设计地理一轮复习资料第一章集合与常用逻辑用语
第一章
集合与常用逻辑用语
全国卷
年考情图解
高考命题规律把握
说明:
¡°Ⅰ1¡±指全国Ⅰ卷第1题,¡°Ⅱ1¡±指全国Ⅱ卷第1题,¡°Ⅲ1¡±指全国Ⅲ卷第1题.
1.本章在高考中一般考查1个小题,以选择题为主,很少以填空题的形式出现.
2.从考查内容来看,集合主要从两方面考查:
一是集合间的关系;二是集合的运算,包含集合的交、并、补集运算.对常用逻辑用语考查的频率较低,且命题点分散,其中含有量词的命题的否定、充分必要条件的判断需要关注.
3.本章一般不涉及解答题,在知识的交汇上,集合往往以函数的定义域、值域,不等式的解集,曲线的点集为载体进行考查.常用逻辑用语常以函数、平面向量、不等式等为载体进行考查.
第一节
集__合
一、基础知识批注——理解深一点
1.集合的有关概念
(1)集合元素的三个特性:
确定性、无序性、互异性.
元素互异性,即集合中不能出现相同的元素,此性质常用于求解含参数的集合问题中.
(2)集合的三种表示方法:
列举法、描述法、图示法.
(3)元素与集合的两种关系:
属于,记为
;不属于,记为
.
(4)五个特定的集合及其关系图:
N*或N+表示正整数集,N表示自然数集,Z表示整数集,Q表示有理数集,R表示实数集.
2.集合间的基本关系
(1)子集:
一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,则称A是B的子集,记作A⊆B(或B⊇A).
(2)真子集:
如果集合A是集合B的子集,但集合B中至少有一个元素不属于A,则称A是B的真子集,记作AB或BA.
AB⇔
既要说明A中任何一个元素都属于B,也要说明B中存在一个元素不属于A.
(3)集合相等:
如果A⊆B,并且B⊆A,则A=B.
两集合相等:
A=B⇔
A中任意一个元素都符合B中元素的特性,B中任意一个元素也符合A中元素的特性.
(4)空集:
不含任何元素的集合.空集是任何集合A的子集,是任何非空集合B的真子集.记作∅.
0,{0},∅,{∅}之间的关系:
∅≠{∅},
∅∈{∅},∅⊆{∅},0∉∅,0∉{∅},0∈{0},∅⊆{0}.
3.集合间的基本运算
(1)交集:
一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集,记作A∩B,即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
(2)并集:
一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为A与B的并集,记作A∪B,即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.
(3)补集:
对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集,记作∁UA,即∁UA={x|x∈U,且x∉A}.
求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”,集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素,剩下的元素构成的集合即为∁UA.
二、常用结论汇总——规律多一点
(1)子集的性质:
A⊆A,∅⊆A,A∩B⊆A,A∩B⊆B.
(2)交集的性质:
A∩A=A,A∩∅=∅,A∩B=B∩A.
(3)并集的性质:
A∪B=B∪A,A∪B⊇A,A∪B⊇B,A∪A=A,A∪∅=∅∪A=A.
(4)补集的性质:
A∪∁UA=U,A∩∁UA=∅,∁U(∁UA)=A,∁AA=∅,∁A∅=A.
(5)含有n个元素的集合共有2n个子集,其中有2n-1个真子集,2n-1个非空子集.
(6)等价关系:
A∩B=A⇔A⊆B;A∪B=A⇔A⊇B.
三、基础小题强化——功底牢一点
(1)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.( )
(2){x|x≤1}={t|t≤1}.( )
(3){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.( )
(4)任何一个集合都至少有两个子集.( )
(5)若AB,则A⊆B且A≠B.( )
(6)对于任意两个集合A,B,关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.( )
(7)若A∩B=A∩C,则B=C.( )
答案:
(1)×
(2)√ (3)× (4)× (5)√ (6)√ (7)×
(二)选一选
1.已知集合A={x∈R|0<3-x≤2},B={x∈R|0≤x≤2},则A∪B=( )
A.[0,3] B.[1,2]
C.[0,3)D.[1,3]
解析:
选C 因为A={x∈R|0<3-x≤2}={x∈R|1≤x<3},所以A∪B={x∈R|0≤x<3}.
2.若集合A={x∈N|x≤
},a=2
则下面结论中正确的是( )
A.{a}⊆AB.a⊆A
C.{a}∈AD.a∉A
解析:
选D 因为2
不是自然数,所以a∉A.
3.(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为( )
A.9B.8
C.5D.4
解析:
选A 法一:
将满足x2+y2≤3的整数x,y全部列举出来,即(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),共有9个.故选A.
法二:
根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形,如图,易知在圆x2+y2=3中有9个整点,即为集合A的元素个数,故选A.
(三)填一填
4.若集合A={x|-2
解析:
由集合交集的定义可得A∩B={x|-2 答案: {x|-2 5.已知集合U={-1,0,1},A={x|x=m2,m∈U},则∁UA=________. 解析: ∵A={x|x=m2,m∈U}={0,1},∴∁UA={-1}. 答案: {-1} [典例] (1)(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B中元素的个数为( ) A.3 B.2 C.1D.0 (2)已知a,b∈R,若 ={a2,a+b,0},则a2019+b2019的值为( ) A.1B.0 C.-1D.±1 [解析] (1)因为A表示圆x2+y2=1上的点的集合,B表示直线y=x上的点的集合,直线y=x与圆x2+y2=1有两个交点,所以A∩B中元素的个数为2. (2)由已知得a≠0,则 =0,所以b=0,于是a2=1,即a=1或a=-1.又根据集合中元素的互异性可知a=1应舍去,因此a=-1,故a2019+b2019=(-1)2019+02019=-1. [答案] (1)B (2)C [解题技法] 与集合中的元素有关的解题策略 (1)确定集合中的代表元素是什么,即集合是数集还是点集. (2)看这些元素满足什么限制条件. (3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数,但要注意检验集合是否满足元素的互异性. [提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意. [题组训练] 1.设集合A={0,1,2,3},B={x|-x∈A,1-x∉A},则集合B中元素的个数为( ) A.1B.2 C.3D.4 解析: 选A 若x∈B,则-x∈A,故x只可能是0,-1,-2,-3,当0∈B时,1-0=1∈A;当-1∈B时,1-(-1)=2∈A;当-2∈B时,1-(-2)=3∈A;当-3∈B时,1-(-3)=4∉A,所以B={-3},故集合B中元素的个数为1. 2.若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a等于( ) A. B. C.0D.0或 解析: 选D 若集合A中只有一个元素,则方程ax2-3x+2=0只有一个实根或有两个相等实根. 当a=0时,x= 符合题意. 当a≠0时,由Δ=(-3)2-8a=0,得a= 所以a的值为0或 . 3.(2018·厦门模拟)已知P={x|2 解析: 因为P中恰有3个元素,所以P={3,4,5},故k的取值范围为5 答案: (5,6] [典例] (1)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0 A.B⊆A B.A=B C.ABD.BA (2)(2019·湖北八校联考)已知集合A={x∈N*|x2-3x<0},则满足条件B⊆A的集合B的个数为( ) A.2B.3 C.4D.8 (3)已知集合A={x|-1 [解析] (1)由x2-3x+2=0得x=1或x=2,∴A={1,2}.由题意知B={1,2,3,4},比较A,B中的元素可知AB,故选C. (2)∵A={x∈N*|x2-3x<0}={x∈N*|0 (3)当m≤0时,B=∅,显然B⊆A. 当m>0时,因为A={x|-1 若B⊆A,在数轴上标出两集合,如图, 所以 所以0 综上所述,m的取值范围为(-∞,1]. [答案] (1)C (2)C (3)(-∞,1] [变透练清] 1. 若本例 (2)中A不变,C={x|0 A.1 B.2 C.3D.4 解析: 选D 因为A={1,2},由题意知C={1,2,3,4},所以满足条件的B可为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}. 2. 若本例(3)中,把条件“B⊆A”变为“A⊆B”,其他条件不变,则m的取值范围为________. 解析: 若A⊆B,由 得m≥3, ∴m的取值范围为[3,+∞). 答案: [3,+∞) 3.已知集合A={1,2},B={x|x2+mx+1=0,x∈R},若B⊆A,则实数m的取值范围为________. 解析: ①若B=∅,则Δ=m2-4<0,解得-2 ②若1∈B,则12+m+1=0, 解得m=-2,此时B={1},符合题意; ③若2∈B,则22+2m+1=0, 解得m=- 此时B= 不合题意. 综上所述,实数m的取值范围为[-2,2). 答案: [-2,2) [解题技法] 判定集合间基本关系的两种方法和一个关键 两种 方法 ①化简集合,从表达式中寻找两集合的关系; ②用列举法(或图示法等)表示各个集合,从元素(或图形)中寻找关系 一个 关键 关键是看它们是否具有包含关系,若有包含关系就是子集关系,包括相等和真子集两种关系 考法 (一) 集合的运算 [典例] (1)(2018·天津高考)设集合A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},C={x∈R|-1≤x<2},则(A∪B)∩C=( ) A.{-1,1} B.{0,1} C.{-1,0,1}D.{2,3,4} (2)已知全集U=R,集合A={x|x2-3x-4>0},B={x|-2≤x≤2},则如图所示阴影部分所表示的集合为( ) A.{x|-2≤x<4} B.{x|x≤2或x≥4} C.{x|-2≤x≤-1} D.{x|-1≤x≤2} [解析] (1)∵A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3}, ∴A∪B={-1,0,1,2,3,4}. 又C={x∈R|-1≤x<2}, ∴(A∪B)∩C={-1,0,1}. (2)依题意得A={x|x<-1或x>4}, 因此∁RA={x|-1≤x≤4},题中的阴影部分所表示的集合为(∁RA)∩B={x|-1≤x≤2}. [答案] (1)C (2)D [解题技法] 集合基本运算的方法技巧 (1)当集合是用列举法表示的数集时,可以通过列举集合的元素进行运算,也可借助Venn图运算. (2)当集合是用不等式表示时,可运用数轴求解.对于端点处的取舍,可以单独检验. (3)集合的交、并、补运算口诀如下: 交集元素仔细找,属于A且属于B; 并集元素勿遗漏,切记重复仅取一; 全集U是大范围,去掉U中a元素,剩余元素成补集. 考法 (二) 根据集合运算结果求参数 [典例] (1)已知集合A={x|x2-x-12>0},B={x|x≥m}.若A∩B={x|x>4},则实数m的取值范围是( ) A.(-4,3)B.[-3,4] C.(-3,4)D.(-∞,4] (2)(2019·河南名校联盟联考)已知A={1,2,3,4},B={a+1,2a},若A∩B={4},则a=( ) A.3B.2 C.2或3D.3或1 [解析] (1)集合A={x|x<-3或x>4},∵A∩B={x|x>4},∴-3≤m≤4,故选B. (2)∵A∩B={4},∴a+1=4或2a=4.若a+1=4,则a=3,此时B={4,6},符合题意;若2a=4,则a=2,此时B={3,4},不符合题意.综上,a=3,故选A. [答案] (1)B (2)A [解题技法] 根据集合的运算结果求参数值或范围的方法 (1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系.若集合中的元素能一一列举,则用观察法得到不同集合中元素之间的关系;若集合是与不等式有关的集合,则一般利用数轴解决,要注意端点值能否取到. (2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解. (3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围. [题组训练] 1.已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z},则A∪B=( ) A.{1}B.{1,2} C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3} 解析: 选C 因为集合B={x|-1 2.(2019·重庆六校联考)已知集合A={x|2x2+x-1≤0},B={x|lgx<2},则(∁RA)∩B=( ) A. B. C. D.∅ 解析: 选A 由题意得A= B=(0,100),则∁RA=(-∞,-1)∪ 所以(∁RA)∩B= . 3.(2019·合肥质量检测)已知集合A=[1,+∞),B= 若A∩B≠∅,则实数a的取值范围是( ) A.[1,+∞)B. C. D.(1,+∞) 解析: 选A 因为A∩B≠∅, 所以 解得a≥1. 1.(2019·福州质量检测)已知集合A={x|x=2k+1,k∈Z},B={x|-1 A.1 B.2 C.3D.4 解析: 选B 依题意,集合A是由所有的奇数组成的集合,故A∩B={1,3},所以集合A∩B中元素的个数为2. 2.设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={3,4,5},则∁U(A∪B)=( ) A.{2,6}B.{3,6} C.{1,3,4,5}D.{1,2,4,6} 解析: 选A 因为A={1,3,5},B={3,4,5},所以A∪B={1,3,4,5}.又U={1,2,3,4,5,6},所以∁U(A∪B)={2,6}. 3.(2018·天津高考)设全集为R,集合A={x|0<x<2},B={x|x≥1},则A∩(∁RB)=( ) A.{x|0<x≤1}B.{x|0<x<1} C.{x|1≤x<2}D.{x|0<x<2} 解析: 选B ∵全集为R,B={x|x≥1}, ∴∁RB={x|x<1}. ∵集合A={x|0<x<2}, ∴A∩(∁RB)={x|0<x<1}. 4.(2018·南宁毕业班摸底)设集合M={x|x<4},集合N={x|x2-2x<0},则下列关系中正确的是( ) A.M∩N=MB.M∪(∁RN)=M C.N∪(∁RM)=RD.M∪N=M 解析: 选D 由题意可得,N=(0,2),M=(-∞,4),所以M∪N=M. 5.设集合A= B={x|lnx≤0},则A∩B为( ) A. B.[-1,0) C. D.[-1,1] 解析: 选A ∵ ≤2x< 即2-1≤2x<2 ∴-1≤x< ∴A= .∵lnx≤0,即lnx≤ln1,∴0 . 6.(2019·郑州质量测试)设集合A={x|1 A.(-∞,2]B.(-∞,1] C.[1,+∞)D.[2,+∞) 解析: 选D 由A∩B=A,可得A⊆B,又因为A={x|1 7.已知全集U=A∪B中有m个元素, ∪ 中有n个元素.若A∩B非空,则A∩B的元素个数为( ) A.mnB.m+n C.n-mD.m-n 解析: 选D 因为 ∪ 中有n个元素,如图中阴影部分所示,又U=A∪B中有m个元素,故A∩B中有m-n个元素. 8.定义集合的商集运算为 = 已知集合A={2,4,6},B= 则集合 ∪B中的元素个数为( ) A.6B.7 C.8D.9 解析: 选B 由题意知,B={0,1,2}, = 则 ∪B= 共有7个元素. 9.设集合A={x|x2-x-2≤0},B={x|x<1,且x∈Z},则A∩B=________. 解析: 依题意得A={x|(x+1)(x-2)≤0}={x|-1≤x≤2},因此A∩B={x|-1≤x<1,x∈Z}={-1,0}. 答案: {-1,0} 10.已知集合U=R,集合A=[-5,2],B=(1,4),则下图中阴影部分所表示的集合为 ________. 解析: ∵A=[-5,2],B=(1,4),∴∁UB={x|x≤1或x≥4},则题图中阴影部分所表示的集合为(∁UB)∩A={x|-5≤x≤1}. 答案: {x|-5≤x≤1} 11.若集合A={(x,y)|y=3x2-3x+1},B={(x,y)|y=x},则集合A∩B中的元素个数为________. 解析: 法一: 由集合的意义可知,A∩B表示曲线y=3x2-3x+1与直线y=x的交点构成的集合. 联立得方程组 解得 或 故A∩B= 所以A∩B中含有2个元素. 法二: 由集合的意义可知,A∩B表示曲线y=3x2-3x+1与直线y=x的交点构成的集合.因为3x2-3x+1=x即3x2-4x+1=0的判别式Δ>0,所以该方程有两个不相等的实根,所以A∩B中含有2个元素. 答案: 2 12.已知集合A={x|log2x≤2},B={x|x<a},若A⊆B,则实数a的取值范围是__________. 解析: 由log2x≤2,得0<x≤4, 即A={x|0<x≤4},而B={x|x<a}, 由于A⊆B,在数轴上标出集合A,B,如图所示,则a>4. 答案: (4,+∞)
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- 高级 三维设计 地理 一轮 复习资料 第一章 集合 常用 逻辑 用语