数列知识点归纳及例题分析.docx
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数列知识点归纳及例题分析
数列知识点归纳及例题分析
《数列》知识点归纳及例题分析
一、数列的概念:
1.归纳通项公式:
注重经验的积累例1.归纳下列数列的通项公式:
(1)0,-3,8,-15,24,.......
(2)21,211,2111,21111,......
379(3),1,,,......
21017?
a1,(n?
1)与Sn的关系:
an?
?
S?
S,(n?
2)n?
1?
n注意:
?
强调n?
1,n?
2分开,注意下标;?
an与Sn之间的互化
?
3,n?
1例2:
已知数列{an}的前n项和Sn?
?
2,求an.
?
n?
1,n?
23.数列的函数性质:
单调性的判定与证明:
?
定义法;?
函数单调性法最大项问题:
?
单调性法;?
图像法数列的周期性:
1?
2a,0?
a?
nn?
2,a?
3,求a.例3:
已知数列{an}满足an?
1?
?
1201715?
2an?
1,?
an?
12?
二、等差数列与等比数列
1.等比数列与等差数列基本性质对比
等差数列等比数列an?
1?
q定义an?
1?
an?
d通项公式an?
a1?
?
n?
1?
d推广:
an?
am?
?
n?
m?
dan?
a1qn?
1推广:
an?
amqn?
mn?
n?
1?
n?
a1?
an?
求和Sn?
na1?
d?
22公式a?
an?
k中项A?
n?
k公式2?
na1(q?
1)?
Sn?
?
a?
1?
qn?
a?
aq1n1?
(q?
1)?
1?
q?
1?
qG?
?
an?
kan?
k重要1、等和性:
am?
an?
ar?
as性质1、等积性:
am?
an?
ar?
as2、an?
am?
(n?
m)d2、an?
am?
qn?
man?
amann?
m及q?
n?
mam3、从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。
3、从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。
如:
a1,a4,a7,a10,如:
a1,a4,a7,a10,4、sn,s2n?
sn,s3n?
s2n成等差数列4、sn,s2n?
sn,s3n?
s2n成等比数列。
Sn5、{}是等差数列na1.定义:
n?
q(n≥2)?
{an}是等比数an?
1等差数列2.等差中项:
2an+1=an+an+2?
{an}是列2.等比中项:
等差数列2223.通项公式:
an?
kn?
pan?
1?
an?
an?
2(an?
0)?
{an}是等比数等价列?
{an}是等差数列条件n23.通项公式:
?
{an}是等比数列数)?
{a}是等差数列1.定义:
an-an-1=d(n≥2)?
{an}是n联系例题:
4.前n项和:
Sn?
k?
qn?
k?
{an}是非常数列的等比数列真数等比,对数等差;指数等差,幂值等比。
31
例4:
已知数列{an}中,a1=,an=2-(n≥2,n5an-1
1**
∈N),数列{bn}满足bn=(n∈N).
an-1
(1)求证:
数列{bn}是等差数列;
(2)求数列{an}中的最大项和最小项,并说明理.
11
(1)证明∵an=2-(n≥2,n∈N*),bn=.
an-1an-111
∴n≥2时,bn-bn-1=-an-1an-1-1
11
=-1?
an-1-1?
?
2-?
-1
an-1?
?
an-11=-=1.an-1-1an-1-1
5
∴数列{bn}是以-为首项,1为公差的等差数列.
2
712
(2)解
(1)知,bn=n-,则an=1+=1+,
2bn2n-72
设函数f(x)=1+,
2x-7
7?
?
7?
?
易知f(x)在区间?
-∞,?
和?
,+∞?
内为减函数.
2?
?
2?
?
∴当n=3时,an取得最小值-1;当n=4时,an取得最大值3.
例5设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn,满足S5S6+15=0.
(1)若S5=5,求S6及a1
(2)求d的取值范围.
-15
解
(1)题意知S6==-3,a6=S6-S5=-8.
S5
?
5a1+10d=5,所以?
a+5d=-8.?
1
解得a1=7,所以S6=-3,a1=7.
(2)方法一∵S5S6+15=0,
∴(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,
2
即2a21+9da1+10d+1=0.
因为关于a1的一元二次方程有解,所以Δ=81d2-8(10d2+1)=d2-8≥0,解得d≤-22或d≥22.
方法二∵S5S6+15=0,
∴(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,9da1+10d2+1=0.
222
故(4a1+9d)=d-8.所以d≥8.
故d的取值范围为d≤-22或d≥22.
例6
(1)在等差数列{an}中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,求当n取何值时,Sn取得最大值,并求出它的最大值;
(2)已知数列{an}的通项公式是an=4n-25,求数列{|an|}的前n项和.
解方法一∵a1=20,S10=S15,
10×915×145
∴10×20+d=15×20+d,∴d=-.
223
565?
5?
∴an=20+(n-1)×?
-?
=-n+.
33?
3?
∴a13=0,即当n≤12时,an>0,n≥14时,an∴当n=12或13时,Sn取得最大值,且最大值为S13=S12=12×20+=130.
5方法二同方法一求得d=-.3
25?
3125n?
n-1?
?
5?
51255?
∴Sn=20n+·?
-?
=-n2+n=-?
n-?
2+.
2?
2666?
24?
3?
∵n∈N*,∴当n=12或13时,Sn有最大值,且最大值为S12=S13=130.
(2)∵an=4n-25,an+1=4(n+1)-25,∴an+1-an=4=d,又a1=4×1-25=-21.
所以数列{an}是以-21为首项,以4为公差的递增的等差数列.?
an=4n-25?
an+1=4?
n+1?
-25≥0, ②
12×11?
5?
×?
-?
2?
3?
11
①得n44
公差为-4的等差数列,从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列,而|a7|=a7=4×7-24=3.设{|an|}的前n项和为Tn,则
n?
n-1?
?
21n+×?
-4?
?
n≤6?
?
2T=?
?
n-6?
?
n-7?
66+3?
n-6?
+×4?
n≥7?
?
2?
n2
?
-2n+23n?
n≤6?
,=?
2
?
2n-23n+132?
n≥7?
.
例7已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为 3
Sn7n+45=例8等差数列{an},{bn}的前n项和分别为{Sn},{Tn},且Tnn-3,则使得
anbn为正整数的正整数n的个数是3 .
22Sn例9已知数列?
an?
中,a1?
1,当n≥2时,其前n项和Sn满足an?
,则
2Sn?
13?
1?
n?
1?
?
3数列?
an?
的通项公式为an?
?
2n≥2?
?
2?
1?
4n?
2?
lnn例10在数列{an}中,a1?
2,an?
1?
an?
ln(1?
1),则an?
.n例11设3b是1?
a和1?
a的等比中项,则a+3b的最大值为 2 .例12若数列1,2cosθ,22cos2θ,23cos3θ,?
前100项之和为0,则θ的值为
2k?
?
2?
k?
Z3例13△ABC的三内角成等差数列,三边成等比数列,则三角形的形状为__等边三角形_
三、数列求和:
倒序相加法
112m(x?
R),求Sm?
f()?
f()f()_________如:
已知函数f(x)?
x4?
2mmm错位相减法:
?
anbn?
其中{an}是等差数列,?
bn?
是等比数列。
裂项相消法:
形如an?
拆项分组法:
形如an?
bn?
cn,
?
6n?
5(n为奇数)如:
an?
2n?
3,an?
?
n,an?
(?
1)n?
1?
n2
(n为偶数)?
2n1111?
(?
)
(An?
B)(An?
C)C?
BAn?
BAn?
C练习:
111,,···,的前n项和为1?
21?
2?
31?
2nn?
22nn2nA. B. C. D.
n?
12n?
1n?
12n?
11、数列1,
11112、数列1,3,5,7,?
前n项和Sn?
.
248163、数列?
an?
的通项公式为an?
1n?
1?
n,则S100=_________________。
4、设Sn?
31111,且Sn?
Sn?
1?
,则n?
.642612n?
n?
1?
5、设n?
N*,关于n的函数f(n)?
(?
1)n?
1?
n2,若an?
f(n)?
f(n?
1),则数列{an}前100项的和a1?
a2?
a3a100?
________.答案:
100.
解答:
an?
f(n)?
f(n?
1)?
(?
1)n?
1?
n2?
(?
1)n?
(n?
1)2?
(?
1)n[(n?
1)2?
n2],
?
(?
1)n(2n?
1),所以a1?
a2?
a3a100?
(?
3)?
5?
(?
7)?
9(?
199)?
201
《数列》知识点归纳及例题分析
一、数列的概念:
1.归纳通项公式:
注重经验的积累例1.归纳下列数列的通项公式:
(1)0,-3,8,-15,24,.......
(2)21,211,2111,21111,......
379(3),1,,,......
21017?
a1,(n?
1)与Sn的关系:
an?
?
S?
S,(n?
2)n?
1?
n注意:
?
强调n?
1,n?
2分开,注意下标;?
an与Sn之间的互化
?
3,n?
1例2:
已知数列{an}的前n项和Sn?
?
2,求an.
?
n?
1,n?
23.数列的函数性质:
单调性的判定与证明:
?
定义法;?
函数单调性法最大项问题:
?
单调性法;?
图像法数列的周期性:
1?
2a,0?
a?
nn?
2,a?
3,求a.例3:
已知数列{an}满足an?
1?
?
1201715?
2an?
1,?
an?
12?
二、等差数列与等比数列
1.等比数列与等差数列基本性质对比
等差数列等比数列an?
1?
q定义an?
1?
an?
d通项公式an?
a1?
?
n?
1?
d推广:
an?
am?
?
n?
m?
dan?
a1qn?
1推广:
an?
amqn?
mn?
n?
1?
n?
a1?
an?
求和Sn?
na1?
d?
22公式a?
an?
k中项A?
n?
k公式2?
na1(q?
1)?
Sn?
?
a?
1?
qn?
a?
aq1n1?
(q?
1)?
1?
q?
1?
qG?
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an?
kan?
k重要1、等和性:
am?
an?
ar?
as性质1、等积性:
am?
an?
ar?
as2、an?
am?
(n?
m)d2、an?
am?
qn?
man?
amann?
m及q?
n?
mam3、从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。
3、从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。
如:
a1,a4,a7,a10,如:
a1,a4,a7,a10,4、sn,s2n?
sn,s3n?
s2n成等差数列4、sn,s2n?
sn,s3n?
s2n成等比数列。
Sn5、{}是等差数列na1.定义:
n?
q(n≥2)?
{an}是等比数an?
1等差数列2.等差中项:
2an+1=an+an+2?
{an}是列2.等比中项:
等差数列2223.通项公式:
an?
kn?
pan?
1?
an?
an?
2(an?
0)?
{an}是等比数等价列?
{an}是等差数列条件n23.通项公式:
?
{an}是等比数列数)?
{a}是等差数列1.定义:
an-an-1=d(n≥2)?
{an}是n联系例题:
4.前n项和:
Sn?
k?
qn?
k?
{an}是非常数列的等比数列真数等比,对数等差;指数等差,幂值等比。
31
例4:
已知数列{an}中,a1=,an=2-(n≥2,n5an-1
1**
∈N),数列{bn}满足bn=(n∈N).
an-1
(1)求证:
数列{bn}是等差数列;
(2)求数列{an}中的最大项和最小项,并说明理.
11
(1)证明∵an=2-(n≥2,n∈N*),bn=.
an-1an-111
∴n≥2时,bn-bn-1=-an-1an-1-1
11
=-1?
an-1-1?
?
2-?
-1
an-1?
?
an-11=-=1.an-1-1an-1-1
5
∴数列{bn}是以-为首项,1为公差的等差数列.
2
712
(2)解
(1)知,bn=n-,则an=1+=1+,
2bn2n-72
设函数f(x)=1+,
2x-7
7?
?
7?
?
易知f(x)在区间?
-∞,?
和?
,+∞?
内为减函数.
2?
?
2?
?
∴当n=3时,an取得最小值-1;当n=4时,an取得最大值3.
例5设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn,满足S5S6+15=0.
(1)若S5=5,求S6及a1
(2)求d的取值范围.
-15
解
(1)题意知S6==-3,a6=S6-S5=-8.
S5
?
5a1+10d=5,所以?
a+5d=-8.?
1
解得a1=7,所以S6=-3,a1=7.
(2)方法一∵S5S6+15=0,
∴(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,
2
即2a21+9da1+10d+1=0.
因为关于a1的一元二次方程有解,所以Δ=81d2-8(10d2+1)=d2-8≥0,解得d≤-22或d≥22.
方法二∵S5S6+15=0,
∴(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,9da1+10d2+1=0.
222
故(4a1+9d)=d-8.所以d≥8.
故d的取值范围为d≤-22或d≥22.
例6
(1)在等差数列{an}中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,求当n取何值时,Sn取得最大值,并求出它的最大值;
(2)已知数列{an}的通项公式是an=4n-25,求数列{|an|}的前n项和.
解方法一∵a1=20,S10=S15,
10×915×145
∴10×20+d=15×20+d,∴d=-.
223
565?
5?
∴an=20+(n-1)×?
-?
=-n+.
33?
3?
∴a13=0,即当n≤12时,an>0,n≥14时,an∴当n=12或13时,Sn取得最大值,且最大值为S13=S12=12×20+=130.
5方法二同方法一求得d=-.3
25?
3125n?
n-1?
?
5?
51255?
∴Sn=20n+·?
-?
=-n2+n=-?
n-?
2+.
2?
2666?
24?
3?
∵n∈N*,∴当n=12或13时,Sn有最大值,且最大值为S12=S13=130.
(2)∵an=4n-25,an+1=4(n+1)-25,∴an+1-an=4=d,又a1=4×1-25=-21.
所以数列{an}是以-21为首项,以4为公差的递增的等差数列.?
an=4n-25?
an+1=4?
n+1?
-25≥0, ②
12×11?
5?
×?
-?
2?
3?
11
①得n44
公差为-4的等差数列,从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列,而|a7|=a7=4×7-24=3.设{|an|}的前n项和为Tn,则
n?
n-1?
?
21n+×?
-4?
?
n≤6?
?
2T=?
?
n-6?
?
n-7?
66+3?
n-6?
+×4?
n≥7?
?
2?
n2
?
-2n+23n?
n≤6?
,=?
2
?
2n-23n+132?
n≥7?
.
例7已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为 3
Sn7n+45=例8等差数列{an},{bn}的前n项和分别为{Sn},{Tn},且Tnn-3,则使得
anbn为正整数的正整数n的个数是3 .
22Sn例9已知数列?
an?
中,a1?
1,当n≥2时,其前n项和Sn满足an?
,则
2Sn?
13?
1?
n?
1?
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3数列?
an?
的通项公式为an?
?
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2?
1?
4n?
2?
lnn例10在数列{an}中,a1?
2,an?
1?
an?
ln(1?
1),则an?
.n例11设3b是1?
a和1?
a的等比中项,则a+3b的最大值为 2 .例12若数列1,2cosθ,22cos2θ,23cos3θ,?
前100项之和为0,则θ的值为
2k?
?
2?
k?
Z3例13△ABC的三内角成等差数列,三边成等比数列,则三角形的形状为__等边三角形_
三、数列求和:
倒序相加法
112m(x?
R),求Sm?
f()?
f()f()_________如:
已知函数f(x)?
x4?
2mmm错位相减法:
?
anbn?
其中{an}是等差数列,?
bn?
是等比数列。
裂项相消法:
形如an?
拆项分组法:
形如an?
bn?
cn,
?
6n?
5(n为奇数)如:
an?
2n?
3,an?
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n,an?
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1?
n2
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2n1111?
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B)(An?
C)C?
BAn?
BAn?
C练习:
111,,···,的前n项和为1?
21?
2?
31?
2nn?
22nn2nA. B. C. D.
n?
12n?
1n?
12n?
11、数列1,
11112、数列1,3,5,7,?
前n项和Sn?
.
248163、数列?
an?
的通项公式为an?
1n?
1?
n,则S100=_________________。
4、设Sn?
31111,且Sn?
Sn?
1?
,则n?
.642612n?
n?
1?
5、设n?
N*,关于n的函数f(n)?
(?
1)n?
1?
n2,若an?
f(n)?
f(n?
1),则数列{an}前100项的和a1?
a2?
a3a100?
________.答案:
100.
解答:
an?
f(n)?
f(n?
1)?
(?
1)n?
1?
n2?
(?
1)n?
(n?
1)2?
(?
1)n[(n?
1)2?
n2],
?
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1),所以a1?
a2?
a3a100?
(?
3)?
5?
(?
7)?
9(?
199)?
201
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