整式的乘除和因式分解.docx
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整式的乘除和因式分解.docx
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整式的乘除和因式分解
姓名
周锦华
学生姓名
张翠琳
填写时间
3.5
学科
数学
年级
初二
教材版本
人教版
阶段
第(9)周观察期□:
维护期□
本人课时统计
第
(2)课时
共()课时
课题名称
整式乘除与因式分解
课时计划
第()课时
共()课时
上课时间
3.7
教学目标
(1)掌握同底数幂的乘法
(2)幂的乘方;
(3)积的乘方;
(4)整式的乘法除法法则及运算规律.
(5)单项式乘除单项式、多项式乘除单项式、以及多项式乘多项式的法则
(6)因式分解的定义与方法
教学重点
教学难点
整式乘除的法则,计算与因式分解的常用方法
教
学
过
程
教师活动
1同底数幂的乘法法则
am·an=am+n(m,n都是正整数).
同底数幂相乘,底数不变,指数相加.
例如:
计算.
(1)23×24;
(2)105×102;
解:
(1)23×24=(2×2×2)×(2×2×2×2)=2×2×2×2×2×2×2=27.
(2)105×102=(10×10×10×10×10)×(10×10)
=10×10×10×10×10×10×10
=107.
由23×24=27,105×102=107可以发现:
23×24=23+4,105×102=105+2.
计算①103×104;②a·a3;③a·a3·a5;④(m+n)2·(m+n)3.
2幂的乘方
(am)n=amn(m,n都是正整数).
幂的乘方,底数不变,指数相乘.
【说明】
(1)幂的乘方法则是由同底数幂的乘法法则和乘方的意义推导的.
(2)(am)n与的a
区别.
其中,(am)n表示n个am相乘,而a
表示mn个a相乘,例如:
(52)3=52×3=56,5
=58.因此,(am)n≠a
,要仔细区别.
计算①(103)5;②(b3)4;③(-4)3·(-
)3.
3积的乘方
(ab)n=anbn(n为正整数).
积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.
填空
(1)(ab)2=(ab)·(ab)=(a·a)(b·b)=a()b()
(2)(ab)3===a()b()
计算①(2b)3;②(2a3)2;③(-a)3;④(-3x)4.
4单项式的乘法法则
单项式乘法是指单项式乘以单项式.
单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.
计算.
(1)3x2y·(-2xy3);
(2)(-5a2b3)·(-4b2c).
解:
(1)3x2y·(-2xy3)=[3·(-2)](x2·x)(y·y3)=-6x3y4.
(2)(-5a2b3)·(-4b2c)=
5单项式与多项式相乘的乘法法则
单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.
例如:
a(m+n+p)=am+an+ap.
【说明】
(1)单项式与多项式相乘,其实质就是乘法分配律的应用.
(2)在应用乘法分配律时,要注意单项式分别与多项式的每一项相乘.
计算.
(1)2a2(3a2-5b);
(2)(-2a2)(3ab2-5ab3).
解:
(1)2a2(3a2-5b)
(2)
=2a2·3a2-2a2·5b
=6a4-10a2b.
6多项式相乘的乘法法则
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.
【说明】多项式相乘的问题是通过把它转化为单项式与多项式相乘的问题来解决的,渗透了转化的数学思想.
(a+b)(m+n)=(a+b)m+(a+b)n=am+bm+an+bn.
计算时是首先把(a+b)看作一个整体,作为单项式,利用单项式与多项式相乘的乘法法则计算.
计算.
(1)(x-3y)(x+7y);
(2)(5x+2y)(3x-2y).
解:
(1)(x-3y)(x+7y)=x2+7xy-3xy-21y2=x2+4xy-21y2.
(2)
7.单项式÷单项式
单项式相除,把系数、同底数幂分别相除后,作为商的因式;对于只在被除式中含有的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式.
如:
(3a2b)÷(5a)=(3÷5)·(a2÷a)·b=
ab.
计算:
(1)(a2n+2b3c)÷(2anb2)
(2)(x-y)5÷(y-x)3
计算:
(1)(
x3y2)3÷(
xy)2
(2)(3xy2)2·(2xy)÷(6x3y3)
点拨:
对于混合运算,先弄清运算顺序,再根据相应的法则进行计算.先进行乘方,再进行乘除法运算.,自左至右进行乘除法.
解:
(1)(
x3y2)3÷(
xy)2
(2)
=
x9y6÷(
x2y2)
=(
÷
)(x9÷x2)·(y6÷y2)
=
x7y4
2.多项式÷单项式
多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项分别除以单项式,再把所得的商相加.
如:
(3x2y-4xy2)÷(xy)=(3x2y)÷(xy)-(4xy2)÷(xy)=3x-4y
计算:
(1)(6x3y4z-4x2y3z+2xy3)÷(2xy3)
(2)[(x+y)2-(x-y)2]÷(xy)
解:
(1)(6x3y4z-4x2y3z+2xy3)÷(2xy3)
(2)
=(6x3y4z)÷(2xy3)-(4x2y3z)÷(2xy3)+(2xy3)÷(2xy3)
=3x2yz-2xz+1这一项易漏!
8乘法公式
(1)平方差公式:
(a+b)(a-b)=a2-b2:
左边是两个数的和乘以这两个数的差,右边正好是这两个数的平方差,两边都有差的运算,关键要准确把握谁减去谁.
完全平方公式:
(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2:
左边是两个数的和(或差)的平方,右边是这两个数的平方和,再加(或减去)上两数积的2倍,两边的符号是一致的,要准确把握符号问题.
计算:
(3a-5b)(3a+5b)
解:
原式=(3a)2-(5b)2=9a2-25b2
1.计算:
(1)(x+3)(x-3)=
(2)(m+2)(m-2)=
(3)(2x+1)(2x-1)=
2.用平方差公式计算:
(1)(a+3b)(a-3b)
(2)(1+2y)(1-2y)
==
==
(3)(4x-5)(4x+5)(4)(
+2m)(
-2m)
==
==
3.用平方差公式计算:
(1)(3b+a)(a-3b)
(2)(3m-4n)(4n+3m)
==
==
==
(3)(3+2a)(-3+2a)(4)(7-2a)(-7-2a)
==
==
==
3.判断正误:
对的画“√”,错的画“×”.
(1)(a-b)(a+b)=a2-b2;()
(2)(b+a)(a-b)=a2-b2;()
(3)(b+a)(-b+a)=a2-b2;()
(4)(b-a)(a+b)=a2-b2;()
(5)(a-b)(a-b)=a2-b2.()
4.用多项式乘多项式法则计算:
(1)(a+b)2
(2)(a-b)2
=(a+b)(a+b)=(a-b)(a-b)
==
==
5.运用完全平方公式计算:
(1)(x+6)2
(2)(y-5)2
==
==
(3)(-2x+5)2(4)(
x-
y)2
==
1.填空:
(1)平方差公式(a+b)(a-b)=;
(2)完全平方公式(a+b)2=,(a-b)2=.
2.运用公式计算:
(1)(2x-3)2
(2)(-2x+3y)(-2x-3y)
==
==
3.判断正误:
对的画“√”,错的画“×”.
(1)(a+b)2=a2+b2;()
(2)(a-b)2=a2-b2;()
(3)(a+b)2=(-a-b)2;()
(4)(a-b)2=(b-a)2.()
4.去括号:
(1)(a+b)-c=
(2)-(a-b)+c=
(3)a+(b-c)=
(4)a-(b+c)=
5.填空:
(1)a+b+c=()+c;
(2)a-b+c=()+c;
(3)-a+b-c=-()-c;
(4)-a-b+c=-()+c;
(5)a+b-c=a+();
(6)a-b+c=a-();
(7)a-b-c=a-();
(8)a+b+c=a-().
a+b、ab和a2+b2之间的关系
在公式(a+b)2=a2+b2+2ab,如果把a+b,ab和a2+b2分别看做一个整体,则公式中有三个未知数,知道了两个就可以求第三个.
案例3已知a+b=9,ab=20,求a2+b2的值.
答案:
∵(a+b)2=a2+b2+2ab,
∴a2+b2=(a+b)2-2ab=92-2×20=41.
方法提炼:
解决这样的题目就是合理利用完全平方公式的变形(a+b)2=a2+2ab+b2,则a2+b2=(a+b)2-2ab,(a+b)2-(a-b)2=4ab等.
因式分解
1因式分解的定义
把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.
【说明】
(1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形,即互逆的运算.
例如:
因式分解是恒等变形,因此可以用整式乘法来检验.
下列变形是否是因式分解?
为什么,
(1)3x2y-xy+y=y(3x2-x);
(2)x2-2x+3=(x-1)2+2;
(3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1);
(4)xn(x2-x+1)=xn+2-xn+1+xn.
(5)x2-2x+4=x(x-2+4/x)
提公因式法
多项式ma+mb+mc中的各项都有一个公共的因式m,我们把因式m叫做这个多项式的公因式.ma+mb+mc=m(a+b+c)
例如:
x2-x=x(x-1),8a2b-4ab+2a=2a(4ab-2b+1).
公式法
(1)平方差公式:
a2-b2=(a+b)(a-b).
即两个数的平方差,等于这两个数的和与这个数的差的积.
例如:
4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3).
(2)完全平方公式:
a2±2ab+b2=(a±b)2.
其中,a2±2ab+b2叫做完全平方式.
即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方.
例如:
4x2-12xy+9y2=(2x)2-2·2x·3y+(3y)2=(2x-3y)2.
下列变形是否正确?
为什么?
(1)x2-3y2=(x+3y)(x-3y);
(2)4x2-6xy+9y2=(2x-3y)2;
(3)x2-2x-1=(x-1)2.
点拨
(1)不正确,目前在有理数范围内不能再分解.
(2)不正确,4x2-6xy+9y2不是完全平方式,不能进行分解.
(3)不正确,x2-2x-1不是完全平方式,不能用完全平方公式进行分解,
分组分解法
(1)形如:
am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)
=a(m+n)+b(m+n)
=(m+n)(a+b)
(2)形如:
x2-y2+2x+1=(x2+2x+1)-y2
=(x+1)2-y2
=(x+y+1)(x-y+1).
把多项式进行适当的分组,分组后能够有公因式或运用公式,这样的因式分解方法叫做分组分解法.
知识规律小结
(1)分组分解法一般分组方式不惟一.
(2)分组除具有尝试性,还要具有目的性,分组后能出现公因式,或者分组后能运用公式.
关于x2+(p+q)x+pq型二次三项式的因式分解
x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).
事实上:
x2+(p+q)x+pq
=x2+px+qx+pq
=(x2+px)+(qx+pq)
=x(x+p)+q(x+p)
=(x+p)(x+q).
∴x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).
利用这个公式,可以把二次三项式因式分解,当p=q时,这个式子化成x2+2px+p2或x2+2qx+q2,是完全平方式,可以运用公式分解因式.
例如:
把x2+3x+2分解因式.
(分析)因为二次三项式x2+3x+2的二次项系数是1,常数项2=1×2,一次项系数3=1+2,这是一个x2+(p+q)x+pq型式子.
解:
x2+3x+2=(x+1)(x+2)
例1用提公因式法将下列各式因式分解.
(1)ax-ay;
(2)6xyz-3xz2;(3)-x3z+x4y;
(4)36aby-12abx+6ab;(5)3x(a-b)+2y(b-a);
(6)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m).
把下列各式分解因式.
(1)m2+2m+1;
(2)9x2-12x+4;
(3)1-10x+25x2;(4)(m+n)2-6(m+n)+9.
把下列各式分解因式.
(1)x2+7x+10;
(2)x2-2x-8;
(3)y2-7y+10;(4)x2+7x-18.
(5)m2-7m+12;(6)x2y2-3xy-10;
利用分组分解法把下列各式分解因式.
(1)a2-b2+a-b;
(2)a2+b2-2ab-1;
(3)(ax+by)2+(ay-bx)2;(4)a2-2ab+b2-c2-2c-1.
(分析)分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解,分组有两个目的,一是分组后能出现公因式,二是分组后能应用公式,其中
(1)题分组后存在公因式,(3)题需去括号后重新分组,
(2)和(4)题分组后能运用公式.
解:
(1)a2-b2+a-b=(a2-b2)+(a-b)(4)
=(a+b)(a-b)+(a-b)=(a-b)(a+b+1).
(2)a2+b2-2ab-1=(a2-2ab+b2)-1
=(a-b)2-1=(a-b+1)(a-b-1).
(3)(ax+by)2+(ay-bx)2
=a2x2+2abxy+b2y2+a2y2-2abxy+b2x2
=a2x2+b2y2+a2y2+b2x2
=(a2x2+a2y2)+(b2y2+b2x2)
=a2(x2+y2)+b2(x2+y2)
=(a2+b2)(x2+y2).
小结解因式分解题时,首先考虑是否有公因式,如果有,先提公因式;如果没有公因式或提取公因式后,通常分下列几种情况考虑:
(1)如果是四项或四项以上,考虑用分组分解法;
(2)如果是二次三项式或完全平方式,则考虑用x2+(p+q)x+pq型式子或完全平方公式分解因式;
(3)如果是两项,则考虑能否用平方差公式分解因式.
最后,直到每一个因式都不能再分解为止.
练习
分解因式:
a2-25=;
(2)分解因式:
xy2-x2y=;
(3)分解因式:
x2-1=;
(4)分解因式:
3x2-3=;
(5)分解因式:
x2+2xy+y2-4=;
(6)分解因式:
x3y2-4x=;
(7)分解因式:
2x2-2=;
(8)分解因式:
a3+2a2+a=;
(9)分解因式:
x3y-4xy+4y=;
(10)分解因式:
a2-2ab+b2-c2=.
1.已知y2+my+16是完全平方式,则m的值是()
A.8B.4C.±8D.±4
2.下列各式属于正确分解因式的是()
A.1+4x2=(1+2x)2B.6a-9-a2=-(a-3)2
C.1+4m-4m2=(1-2m)2D.x2+xy+y2=(x+y)2
3.把12a2b3c-8a2b2c+6ab3c2分解因式时,应提取的公因式是()
A.2B.2abcC.2ab2cD.2a2b2c
4.在下列各式中等号右边的括号里填上适当的正号或负号,使左右两边的值相等.
①-a+b=()(a-b)②(a-c)2=()(c-a)2
③(n-m)3=()(m-n)3
④(x-y)(y-z)(z-x)=()(y-x)(y-z)(x-z)
5.已知多项式x2+ax+b可以分解为(x+8)(x-3),求式子a2b+ab2-ab的值.
6.已知x=-19,y=12,求代数式4x2+12xy+9y2的值.
7.已知│x-y+1│与x2+8x+16互为相反数,求x2+2xy+y2的值.
课
后
作
业
(一)选择题:
1、下列计算正确的是()
A.(-x)·(-x)·(-x)2=(-x)4=-x4B.-x·(-x)2·x2=-x·x2·x2=-x4
C.(-x)2·(-x)3·(-x)4=x9D.(-x)·(-x)3·(-x)5·x=-x10
2、下列各式中,计算过程正确的是()
A.x3十x3=x3+3=x6 B.x3·x3=2x3=x6
C.x·x3·x5=x0+3+5=x8 D.x2·(-x)3=-x2+3
3、(-m2n3)6÷(-m2n3)2=()
A.m8n12B.m6n9C.-m8n12D.-m6n9
4、下列各数(-2)0,-(-2),(-2)2,(-2)3中,负数的个数为()
A.1个B.2个C.3个D.4个
5、下列关系式中,正确的是()
A.(a-b)2=a2-b2B.(a+b)(a-b)=a2-b2
C.(a+b)2=a2+b2D.(a+b)2=a2-2ab+b2
6、
()
A.4m10n10B.-12m13n12C.-12m13n10D.12m13n12
(二)填空题:
1、计算:
=_______________.
2、计算:
(-1.2×102)2×(5×103)3×(2×104)2=_____________.
3、计算:
(-x)2·(-x)3+2x·(-x)4-(-x)·x4=_____________.
4、计算:
-(y3)2(x2y4)3·(-x)7=_____________.
5、计算:
2a(a2-3a-4)-a(2a2+6a-1)=_____________.
DDAAB,D
1.-2m17n17;2.7.2*1023;3.2x5;4.x13y18;5.-12a2-7a;
一、填空题:
1、把6x2y-8xy2分解因式时应该提取公因式是_______________。
2、3ay-3by=_____________;a2-14a+49=_______________;
3、n2-4m2=______________;a2+ab+
b2=_______________。
4、下列从左向右的变形是属于因式分解的是()
A、(2x+1)(x+2)=2x2-3x-2B、a2-2ax+2x2=(a-x)2+x2
C、9-a2=(3+a)(3-a)D、(y-2)(y-1)=(2-y)(1-y)
5、下列提取公因式分解因式中,正确的是()
A、2x2-4xy=x(2x-4y)B、a3+2a2+a=a(a2+2a)
C、-2a-2b=2(a+b)D、-a2+a=-a(a-1)
6、下列二项式中,能用平方差公式分解因式的是()
A、x2+4y2B、-4y2+x2C、-x2-4y2D、x-4y2
7、下列各式中,不能用完全平方式分解因式的是()
A、x2-2xy-y2B、x2-2xy+y2
C、x2+y2+2xyD、-x2+2xy-y2
二、分解因式
(1)20a3x-45ay2x
(2)
(3)4x2-12x+9
(4)4x2y2-4xy+1(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
课后记
本节课教学计划完成情况:
照常完成□提前完成□延后完成□
学生的接受程度:
完全能接受□部分能接受□不能接受□
学生的课堂表现:
很积极□比较积极□一般□不积极□
学生上次的作业完成情况:
数量%完成质量分存在问题
配合需求:
家长:
学管师:
备注
提交时间
教研组长审批
教研主任审批
注:
此表用作每次课的教学设计方案。
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- 关 键 词:
- 整式 乘除 因式分解