圆锥曲线大题练习1doc.docx
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圆锥曲线大题练习1doc
1.已知动直线l与椭圆C:
x2
y2
1交于Px1,y1
、Qx2,y2
两不同点,且△OPQ的
3
2
面积SOPQ=
6,其中O为坐标原点.
2
(Ⅰ)证明x12
x22和y12
y2
2均为定值;
(Ⅱ)设线段
PQ的中点为
M,求|OM||PQ|的最大值;
(Ⅲ)椭圆C上是否存在点
D,E,G,使得SODESODGSOEG
6
?
若存在,判断△
2
DEG的形状;若不存在,请说明理由.
2.如图,已知椭圆C1的中心在原点O,长轴左、右端点M,N在x
轴上,椭圆C2的短轴为MN,且C1,C2的离心率都为e,直线l
⊥MN,l与C1交于两点,与C2交于两点,这四点按纵坐标从大
到小依次为A,B,C,D.
(I)设e
1
,求BC与AD的比值;
2
(II)当e变化时,是否存在直线
l,使得BO∥AN,并说明理由
3.设
,点A的坐标为(1,1),点B在抛物线yx上
运动,点Q满足BQ
QA,经过Q点与x轴垂直的直线
交抛物线于点M,点P满足QM
MP,求点P的轨迹
方程。
4.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,-1),B点在直线y=-3上,M点满足MB//OA,MA?
AB=MB?
BA,M点的轨迹为曲线C。
(Ⅰ)求C的方程;
(Ⅱ)P为C上的动点,l为C在P点处得切线,求O点到l距离的最小值。
5.在平面直角坐标系
xOy中,点P(a,b)(a
b0)
为动点,F1,F2
x2
y
2
1
分别为椭圆
b2
a2
的左右焦点.已知△
F1PF2为等腰三角形.
(Ⅰ)求椭圆的离心率e;
(Ⅱ)设直线PF2与椭圆相交于A,B两点,M是直线PF2上的点,满足AMBM
2,
求点M的轨迹方程.
6.已知抛物线C1:
x2y,圆C2:
x2(y4)21的圆心为点M
(Ⅰ)求点M到抛物线c1的准线的距离;
(Ⅱ)已知点P是抛物线c1上一点(异于原点),过点P作圆c2的两条切
线,交抛物线c1于A,B两点,若过M,P两点的直线l垂直于AB,求直线
l的方程
7.如图7,椭圆C1:
x2
y2
1(ab0)的离心率为
3
,x轴被曲线
a2
b2
2
C2:
yx2
b截得的线段长等于C1的长半轴长.
求C1,C2的方程;
设C2与y轴的交点为M,过坐标原点O的直线
l与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1
相交于点
D,
E.
(ⅰ)证明:
MD
ME;
(ⅱ)记
MAB,
MDE
的面积分别为
S1,S2,问:
是否存在直线
l
,使得
S1
17
?
请说明理由
.
S2
32
1.已知直l与C:
x2
y2
1交于P
x1,y1、Qx2,y2
两不同点,且△OPQ的
3
2
面SOPQ=
6,其中O坐原点.
2
(Ⅰ)明x12
x22和y12
y2
2均定;
(Ⅱ)段PQ的中点M,求|OM|
|PQ|的最大;
(Ⅲ)C上是否存在点D,E,G,使得SODE
SODG
SOEG
6
?
若存在,判断△
2
DEG的形状;若不存在,明理由.
【解析】(I)解:
(1)当直l
的斜率不存在,
P,Q两点关于x称,
所以x2x1,y2
y1.因P(x1,y1)在上,因此
x12
y12
①
3
1
2
又因SOPQ
6
|y1|
6
|x1|
6
所以|x1|
2
.②;由①、②得
|y1|1.
2
2
此x12
x22
3,y12
y22
2,
(2)当直l的斜率存在,直
l的方程y
kx
m,
由意知m
0,将其代入
x2
y2
1,得(2
3k2)x2
6kmx
3(m2
2)0
,
3
2
其中
36k2m2
12(2
3k2)(m2
2)0,即3k2
2
m2
⋯⋯⋯⋯(*)
又x1x2
6km
2,x1x2
3(m2
2)
2
3k
2
3k
2,
所以|PQ|1k2
(x1
x2)2
4x1x2
1k2263k2
2m2
2
3k2
因点O到直l的距离d
|m|
1
|PQ|d
1
所以SOPQ
2
k2,
11k2263k2
2m2
|m|
6|m|3k2
2m2
,
又
2
2
3k2
1k2
2
3k2
6
SOPQ
2
整理得3k2
2
2m2,且符合(*)式,
2
2
(x1
x2)
2
2x1x2
(
6km
2)
2
3(m2
2)
3,
此时x1
x2
2
3k
2
2
3k
2
y12
y22
2(3x12)
2(3
x22)4
2(x12
x22)2.
3
3
3
综上所述,x12
x22
3;y12
y22
2,结论成立。
(II)解法一:
(1)当直线l的斜率存在时,由(
I)知|OM|
|x1|
6,|PQ|
2|y1|
2,
2
因此|OM|
|PQ|
6
2
6.
2
(2)当直线l的斜率存在时,由(
I)知x1
2
x2
3k,
2m
y1
y2
k(x1
2
x2)m
3k2
m
3k2
2m2
2
2m
2m
m
2
x1
x2
)
2
(
y1
y2
)
2
9k2
16m2
21
(3
1
|OM|(
2
2
2
m
2
2
2
2),
4m
4m
m
2
(1
2
)
24(3k2
2
m2)
2(2m21)
2(2
1
|PQ|
k
(2
3k
2
)
2
2
m
2),
m
所以
|OM
|2
|PQ|2
1
(3
12)
2
(2
12)
(3
12)(2
12)
2
m
m
m
m
1
2
1
3
m2
25
(
m2
)
2
2
4
所以|OM|
|PQ|
5
3
1
2
1
2时,等号成立.
2
,当且仅当
m
2
2,即m
m
综合
(1)
(2)得|OM|·|PQ|的最大值为5.
2
解法二:
因为4|OM|2
|PQ|2
(x1
x2)2
(y1
y2)2
(x2
x1)2
(y2y1)2
2[(x12
x22)
(y12
y22)]
10.
所以2|OM||PQ|
4|OM|2
|PQ|2
10
5.
2
5
即|OM|
|PQ|5,当且当
2|OM||PQ|
5等号成立。
2
因此|OM|·|PQ|的最大5
.
2
(III
)C上不存在三点D,E,G,使得SODE
SODG
SOEG
6.
2
明:
假存在
D(u,v),E(x1,y1),G(x2
y2)满足SODE
SODG
SOEG
6
,
2
由(I)得
u2
x12
3,u2
x22
3,x12
x22
3;v2
y12
2,v2
y22
2,y12
y22
2,
解得u2
x12
x22
3;v2
y12
y22
1.
2
因此
u,x1
x2
只能从
5中选取
v,y1
y2
只能从
中选取
2
1
因此D,E,G只能在(
6,
1)四点中取三个不同点,
2
而三点的两两中必有一条原点,与
SODE
SODG
SOEG
6
矛盾,
2
所以C上不存在足条件的三点D,E,G.
2.如,已知C1的中心在原点O,左、右端点M,N在x上,C2的短
MN,且C1,C2的离心率都
e,直l⊥MN,l与C1交于两点,与
C2交于两点,四点按
坐从大到小依次
A,B,C,D.
(I)e
1
,求BC与AD的比;
2
(II)当e化,是否存在直
l,使得BO∥AN,并明理由
解:
(I)因C1,C2的离心率相同,故依意可
C1:
x2
y2
1,C2:
b2y2
x2
1,(ab0)
a2
b2
a4
a2
直
l:
x
t
(|t|a),分与C1,C2的方程立,求得
A(t,a
a2
t2),B(t,b
a2
t2).
⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
b
a
当e
1
3
时,b
a,分别用yA,yB表示A,B的坐,可知
2
2
2|yB|
b2
3
⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
|BC|:
|AD|
a2
.
2|yA|
4
(II)t=0的l
不符合意.t
0,BO//AN当且当BO的斜率k
BO
AN
与AN的斜率k相
等,即
b
a2
t2
a
a2
t2
a
b
t
t
a
解得t
ab
2
1e2
a.
a2
b2
e2
因|t|
a,又0e
1,所以1e2
1,解得
2
e1.
e2
2
所以当0
e
2
,不存在直
l,使得BO//AN;
2
当
2
1,存在直
l使得BO//AN.
2
e
3.
,点A的坐(1,1),点B在抛物y
x上运,点Q足BQ
QA,
Q点与x垂直的直交抛物于点
M,点P足QMMP,
求点P的迹方程。
【命意】:
本考直和抛物的方程,平面向量的概念,性与运算,点迹方
程等基本知,考灵活运用知探究和解决的能力,全面考核合数学素养。
uuur
uuur
x的直上,故可P(x,y),
【解析】:
由QM
MP知Q,M,P三点在同一条垂直于
Q(x,y),M(x,x),xy
(yx),即
yx(yx)()xy①
uuur
uur
(x,y),解得
再设B(x,y),由BQ
QA,即(xx,yy)
x()x
②
y()y
将①代入②式,消去y得
x
(
)x
③
y
(
)
x
(
)y
又点B在抛物线y
x上,所以y
x
,再将③式代入得
(
)x
(
)y
[(
)x
],即
(
)x
(
)y
(
)x
(
)x,即
(
)x
(
)y
()
,因为
,等式两边同时约去()
得
x
y
这就是所求的点P的轨迹方程。
【解题指导】:
向量与解析几何相结合时,关键是找到表示向量的各点坐标,然后利用相关
点代入法或根与系数关系解决问题,此外解析几何中的代数式计算量都是很大的,计算时应
细致加耐心。
4.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,-1),B点在直线y=-3上,M点满足MB//OA,MA?
AB=MB?
BA,M点的轨迹为曲线C。
(Ⅰ)求C的方程;
(Ⅱ)P为C上的动点,l为C在P点处得切线,求O点到l距离的最小值。
解析;(Ⅰ)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).
uuur
uuur
uuur
所以MA=(-x,-1-y
),MB=(0,-3-y),
AB=(x,-2).
uuur
uuur
uuur
即(-x,-4-2y
)?
(x,-2)=0.
再由题意可知(MA
+MB)?
AB=0,
所以曲线C的方程式为y=1x2-2.
4
(Ⅱ)设P(x
0
y
0
)为曲线C:
y=1x2-2
上一点,因为y'=1x,所以l
的斜率为1x
0
4
2
2
因此直线l的方程为
1
2
yy0
2x0(xx0),即x0
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