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一种新型5自由度并联机构刚度分析
一种新型5自由度并联机构刚度分析
耿明超1,张灿果1,2,路懿2,王烁1(1.河北建筑工程学院机械工程学院,河北张家口075000;2.燕山大学河北省并联机器人与机电系统实验室,河北秦皇岛066004)摘要:
提出了一种新型含平面分支的少自由度并联机构。
建立了该并联机构的虚拟样机模型,并分析了机构的自由度及结构特点。
通过对平面闭环分支及约束分支的速度解析,推导了机构的6X6的雅克比矩阵。
综合考虑了平面分支中上、下横梁的弹性变形及SPR分支中约束力作用下的弹性变形对并联机构刚度的影响,建立了该机构的整体刚度矩阵。
将理论解析解与软件SolidworksSimulation的仿真结果对比,验证了所建刚度模型的正确性,为含平面分支少自由度并联机构的开发和应用提供了理论基础。
关键词:
少自由度;并联机构;运动学;刚度;平面分支1引言同
6自由度并联机构相比,少自由度并联机构具有结构相对简单、控制容易、成本低等优点[1]。
含平面分支少自由度并联机构在结构设计,刚度等方面更加具有优势,在机械制造、医疗器械、航空航天等领域有着广泛的应用前景。
静刚度是并联机构的重要性能指标之一,也是目前国内外学者研究的热点。
文献[2]建立了2PRS-2UPS四自由度并联机构的静刚度矩阵模型,并分析了其最大和最小刚度所在的方向。
文献
[3]对几种三自由度的并联机构的刚度性能作了对比分析。
文献[4]在研究并联机构静刚模型的基础上,提出了一种建立少自由度并联机构刚度模型的新方法。
文献[5]对一类特殊的
3-UPU并联机构的静刚度作了分析研究。
文献[6]基于螺旋理论建立了一种过约束少自由度并联机构的刚度模型。
文献[7]考虑机构中各支链的驱动力和约束反力,建立了
SPS+SP+SPR机构的刚度模型。
文献[8]基于刚度守恒矩阵,对机构的静刚度矩阵进行了分析和求解。
由于平面分之中存在着横梁,传统的刚度建模方案仅考虑了驱动分支弹性变形对并联机构刚度的影响,而未考虑横梁的变形,而横梁的变形对少自由度并联机构刚度的影响达到了不可忽视的程度。
首先提出了一种新型含平面分支的5自由度并联机构,建立了该并联机构的雅克比矩阵。
基于虚功原理,推导了并联机构的静力学方程。
综合考虑平面分支中驱动分支、上横梁和下横梁的变形,及SPR分支中约束力作用下驱动杆的弯曲变形,建立了该并联机构的整体刚度模型。
2含平面分支5自由度并联机构描述含平面分支的5自由度并联机构三维模型,如图1所示。
该并联机构由动平台、基座,连接基座和动平台的2个结构完全相同的平面六杆闭环支链和一个SPR支链组成。
平面六杆闭环支链由两个油缸、两个活塞杆、一个上横梁和一个下横梁组成;油缸、活塞杆组成的驱动杆和上、下横梁用四个轴线相互平行的转动副联接。
平面分支的下横梁和基座通过转动副连接,转动副的轴线和基座的上平面平行。
上横梁通过动柱和动平台联接,动柱和动平台通过转动副联接,转动副的轴线和动平台上平面垂直;动柱和平面分支也通过转动副进行联接,转动副的轴线和动平台的上平面平行。
SPR分支以球副和基座联结,以转动副和动平台联结,转动副的轴线和动平台上平面平行。
图1含平面分支的5自由度并联机构三维模型
Fig.13DModelof5-DOFParallelManipulatorwithPlane
Branch此并联机构中,构件数目为18个,运动副数目为21个,包括5个移动副,15个转动副,1个球副。
该机构含有2个平面六杆闭环支链,每个平面闭环支链含有3个过约束。
根据修正的自由度计算公式计算得到该机构的自由度为5。
提出的含平面闭环的机构具有以下优点:
(1)平面分支中只含有转动副和移动福,结构简单、制造容易。
(2)平面分支中驱动杆两端的四个转动副轴线是相互平行的,可以避免驱动杆承受弯矩,增大了机构的承载能力。
(3)平面分支中的转动副和球副相比具有承载能力强、装配间隙小、转动角度范围大等优点。
同时,SPR分支与RPS分支相比,有效地增大了并联机构的工作空间。
相同条件下,该机构具有更大的承载力、更大的刚度,更大的工作空间。
3并联机构运动学分析3.1平面闭环分支的速度解析含平面分支5自由度并联机构的分析框图,如图2所示。
设v、3分别为动平台
坐标系0的线速度、角速度;vbi、3bi分别为动平台端点bi的速度和角速度;vbij为平面分支中bij点的线速度;3rij为驱动杆rij的角速度,3ri为虚拟分支ri的角速度,ei和eij分别表示向量bi0和bibij;rij为第i个平面分支中第j个驱动杆的向量,$i1和Ri1分别为动柱相对于动平台转动角速度大小和方向;$i2和Ri2分别为上横梁相对于动柱转动角速度大小和方向,3i1和Ri1分别为下横梁相对于基座转动的角速度大小和方向;3i2和Ri2分别为虚拟杆相对于下横梁转动的角速度大小和方向;3i3和Ri3分别为上横梁相对于虚拟杆转动的角速度大小和方向。
根据各构件之间的相互运动关系得:
式中:
vrij—平面分支中驱动杆rij的速度的大小;8ij—平面分支中驱动杆rij的单位向量,推导可得:
式中:
V=[v;3]—动平台速度的6维列向量形式;Jij—动平台速度V到平面分支中驱动杆速度vrij的映射矩阵,为1X6。
由于篇幅有限,映射矩阵Jij具体的推导过程可参考文献[9],这里不再详述。
图2并联机构的分析框图Fig.2AnalysisDiagram0fParallelManipulat0r3.2约束分支SPR的速度解析设vr3为SPR分支驱动速度的大小,83
为SPR分支的单位向量,则:
在SPR分支中,存在过球副中心且和R副轴线平行的约束力,此约束力对SPR分支的运动作功为0。
设Fy为SPR分支中约束力的大小,f3为约束力的单位方向矢量,d3为动平台原点到约束力的矢距,根
据虚功原理得Fyf3•v+(Fyf3Xd3)•w=0,将其进一步表示成矩阵形式:
将公式、和式合并起来,得到此并联机构的速度解析方程:
J即为含平面分支5自由度并联机构的
雅克比矩阵。
4并联机构刚度分析4.1平面分支的弹性变形并联机构的平面分支中,当动平台中心受到外部载荷时,驱动杆只承受沿驱动杆方向的作用力,故在驱动杆上只会产生沿驱动杆方向的变形入ij(入ij沿着rij)o设kij为平面分支中驱动杆的刚度系数,入ij为平面分支中驱动杆的变形,
则有:
式中:
ki);E—材料的弹性模量;Aij1—活塞杆件的横截面积;Aij2—油缸的横截面积;rijl—活塞杆的长度。
平
面分支中,下横梁通过转动副和基座联接。
下横梁的中心和基座之间不发生位移,故可将下横梁等效为两个悬臂梁,如图3所示。
假定分支驱动力与下横梁垂直方向的夹角为aij,
则驱动力Fij(i=1,2;j=1,2)在水平方向的分力为Fls=Fijsina,在竖直方向的分力为Flc=Fijcosaij。
下横梁在两个分力
的作用下,分别产生拉压变形8ls=Fls/kl,弯曲变形8
lc=FlcD3l/3EII°式中:
kl—下横梁抗拉压刚度系数;Dl—下
横梁长度的1/2;Il—下横梁的抗弯截面系数。
下横梁端部由于驱动力Fij作用而产生的总变形为图3下横梁受力分析图
Fig.3ForceAnalysisDiagramofLowerBeam同理,假定分支驱动力和上横梁垂直方向的夹角为eij,则驱动力在水平方向的分力为Fus=Fijsineij,在竖直方向的分力为Fuc=Fijcos
0ij。
上横梁端部的拉压变形8us=Fus/ku,弯曲变形8us=Fus
D3/3EI。
式中:
k—上横梁抗拉压刚度系数;A—上横梁的横
截uuuu面积;Du—上横梁长度的1/2;Iu—上横梁的抗弯截面系数。
上横梁端部由于驱动力Fij作用而产生的变形合成为uij=驱动杆的实际变形为驱动杆的弹性变形和横梁端部变形的叠加。
驱动杆的当量柔度表示为入’j=入
ij+wij+uij=c'ijFij,c‘ij=ij4.2SPR分支的弹性变形SPR
分支中,Fr3为驱动杆的驱动力,kr3为驱动杆的刚度系数,设8r3为在驱动力的作用下驱动杆的弹性变形,则:
式中:
Ar31—分支中活塞杆的横截面积;Ar32—油缸的横截面积;
rr31—活塞杆的长度;rr3—分支杆件的长度。
在约束力Fy
的作用下,SPR分支的弯曲变形,如图4所示。
设8d为在约束力的作用下驱动杆产生的变形,贝式中:
ky—分支的抗弯曲刚度;Ir3—分支的抗弯截面系数。
图4SPR分支
约束力变形示意图
Fig.4DeformationDiagramofSPRLimbCausedby
ConstrainedForce4.3并联机构的刚度模型将式、式和式合并写成矩阵形式:
其中,Fr=:
F11F12F21F22Fr3Fy:
为
关节力,令并联机构动平台所受的力、力矩载荷分别为Fs、Ts;8p、8书分别为载荷作用下动平台弹性变形的线位移和角位移。
有微分运动关系及力雅可比矩阵的定义,式可以进一步表示为:
式中:
K=JTKpJ即为该含平面分支的5自由度并联机构的整体刚度矩阵。
5数值算例给定含平面分支
5自由度并联机构的结构参数如下:
基座等边三角形边长L=240mm,动平台等边三角形边长l=120mm;圆柱形上横梁长度2Du=50mm,直径du=16mm;矩形截面下横梁长度2DI=80mm,高度h=20mm,宽度b=20mm;活塞杆直径d=20mm,油缸直径d=30mm;材料的弹性模量E=210GPa。
给定5个驱动杆的驱动加速度a11=2.5mm/s2,a12=2.8mm/s2,a21=3.3mm/s2,a22=3.6mm/s2,ar3=0.8mm/s2初始速度均为0。
动平台中心的载荷为:
Fs=[00100]TN,Ts=:
001000:
TN•mm。
动平台的弹性变形随位姿变换的趋势,如图5所示。
其中,弹性变形的线位移部分,如图5
(a)所示。
弹性变形的角位移部分,如图5(b)所示。
图
5并联机构动平台弹性变形随位姿变化图
Fig.5CorrespondingDeformationofMobiIePIatformwithDifferentPose从图5中不难看出,机构的位姿不同,表现的刚度特性也不同。
随着位姿的变化,图5a中三个平移方向上的变形都逐渐增大,但是三个方向中z方向变形明显小于x、y两个方向,表明该机构沿x、y方向刚度比较小,而在z方向刚度较大,因此应避免此并联机构在x,y方向受到较大的力作用。
采用SoIidworksSimuIation软件对此5自由度并联机构进行有限元分析,模型如图6所示。
使用“探测”命
令获得三种典型位姿下动平台中心的平移变形并记录下来,将其与理论值进行对比,对比数据,如表1所示。
图6五自由度并联机构有限元软件分析模型
Fig.6AnalysisModelof5-DOFParallelManipulatorinFem
Software表中:
do—动平台中心变形的幅值。
从表1中可以
看出动平台中心变形理论值与模拟值基本相同,但是理论值偏小。
这是由于刚度理论计算忽略了铰链的弹性变形、各构件的质量及外部载荷等因素对机构刚度的影响。
表1动平
台弹性变形的线位移仿真与理论值对比单位/mmTab.1SimulationLinearDisplacementofMobilePlatformComparedwithTheoreticalValuedodXodYodZo位置一仿真值0.05370.01740.0508-7.9E-5理论值0.05270.01620.0502-7.8E-5误差0.00130.00120.00061.3E-6位置二仿真值0.09560.04190.0834-3.2E-4理论值0.09350.03880.0801-3.2E-4误差0.00210.00310.00331.5E-6位置三仿真值0.01570.07870121-0.0060理论值0.1410.07120.117-0.0059误差0.01320.00650.00420.000016结论
(1)提出了一种新型含平面分支5自由度并联机构,分析了该机构的特点,建立了少自由度并联机构的三维模型。
基于并联分支中的约束力/矩,推导了该并联机构的广义雅克比矩阵。
(2)
综合考虑了平面分支中横梁变形和SPR分支中约束力作用
下的变形对并联机构静刚度的影响,建立了该机构的整体静
刚度矩阵。
典型位姿下限元分析软件的仿真结果验证了所建
立的刚度模型的正确性,可用来指导少自由度并联机构的物
理样机的开发及应用。
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AnovelLimited-DOFparallelmanipulatorwithplanebranchisintroduced.ThevirtualprototypeofthePMisestablished,anditsDOFandstructurecharacteristicsareanalyzed.Byanalyzingthevelocityoftheclosedloopbranchandtheconstraintbranch,the6x6Jacobianmatrixisdeduced.TheelasticdeformationofupperanddownbeaminplannerlimbsandtheelasticdeformationoftheSPRcausedbytheconstrainedforces/torquesareconsideredintheprocessofbuildingstiffnessmatrix.SimulationsolutionsisgivenbythesoftwareSolidworksSimulation.Itisprovedfromtheerroranalysisofanalyticsolutionsandsimulationsolutionsthatthederivedanalyticformulaearecorrectandprovidethetheoreticalandtechnicalfoundationsforitsapplication.KeyWords:
Limited-DOF;ParallelManipulator;Kinematics;Stiffness;PlanarLimbs中图分类号:
TH16;TP242文献标识码:
A文章编号:
1001-3997(2017)11-0227-04来稿日期:
2017-05-20基金项目:
河北省高等学校青年拔尖人才计划项目(BJ2016017);
河北省自然基金资助项目(E2016203379);河北建筑工程学院校基金(B-201603);张家口市科技计划项目(1621009B)
作者简介:
耿明超,(1984-),男,河北保定人,博士研究生,
讲师,主要研究方向:
并联机器人技术及应用
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- 一种 新型 自由度 并联 机构 刚度 分析