《数值计算方法》试题集和答案162docx.docx
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《计算方法》期中复习试题
、填空题:
1、已知f
(1)=1∙0,f
(2)=1.2,f(3)=1∙3,则用辛普生(辛卜生)公式计算求得
3
[f(x)dx^—、
1,用三点式求得f(I^。
答案:
2.367,0.25
2、f
(1)=-1,f
(2)=2,f(3)二1,则过这三点的二次插值多项式中X2的系数为,
拉格朗日插值多项式为。
11
答案:
-1,
l2(X)W(XV(X-3—3)二(X-I)(X-2)
3、近似值X*=0.231关于真值X=0.229有
(2)位有效数字;
4、设f(X)可微,求方程x=f(x)的牛顿迭代格式是()
Xn-f(Xn)
Xn1=Xn-
答案1-f(Xn)
5、对f(x)=x3X1,差商f[0,1,2,3]=
(1),f[0,1,2,3,4]=(0);
&计算方法主要研究(截断)误差和(舍入)误差;
7、用二分法求非线性方程f(x)=0在区间(a,b)内的根时,二分n次后的误差限为
&已知f
(1)=2,f
(2)=3,f⑷=5.9,则二次NeWtOn插值多项式中X2系数为
(0.15);
I11.3-1.31
ILf(x)dxLf(x)dxfc-[f(—)+f()]
11、两点式高斯型求积公式OT(X)dx≈(022.、323),代数精
度为(5);
y=10+A1+JT一_^
12、为了使计算XT(XT)(X")的乘除法次数尽量地少,应将该表
达式改写为
y=10(3(4-6t)t)t,t=
1
xT_,为了减少舍入误差,应将表达式
一2001-一1999改写为.2001J999
13、用二分法求方程f(x)=x3∙X"=0在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区
间为0.5,1,进行两步后根的所在区间为0.5,0.75。
1
14、计算积分0.5,xdx,取4位有效数字。
用梯形公式计算求得的近似值为0.4268、
用辛卜生公式计算求得的近似值为0.4309,梯形公式的代数精度为丄,辛卜
生公式的代数精度为P—。
15、设f(0)=0,f
(1)=16,f
(2)=46,则II(X)=∣1(x)「-x(x-2),f(X)的二次牛顿
插值多项式为N2(X^16x7X(^I)
16、
求积公式
af(x)dx:
'Akf(Xk)
k=0
的代数精度以(
高斯型)求积公式为最高,具
有(2n•1)次代数精度。
5
17、已知f
(1)=1,f(3)=5,f(5)=-3,用辛普生求积公式求∙1f(X)dx≈(12)
18、设f
(1)=1,f
(2)=2,f(3)=0,用三点式求f
(1):
(2.5)。
2
19、如果用二分法求方程XX-4=0在区间[1,2J内的根精确到三位小数,需对分
(10)次。
f3
X30≤x≤1
S(x)=」132
(X-1)a(x-1)b(x-1)C1_x_3
20、已知2是三次样条函数,则
a=(3),b=(3),c=
(1)。
l0(X),l1(X),,ln(x)是以整数点XoM,Xn为节点的Lagrange插值基函数,则
21、
n
■-lk(X)Z
心(1
n
X(x4x23)lk(x)二
k=0(
n
VXkIj(Xk)=
k=0
(Xj)
X23
22、区间a,bI上的三次样条插值函数数。
23、改变函数f(XHX^X
1
)o
S(X)在a,bI上具有直到
2阶的连续导
(X1)的形式,使计算结果较精确
fXIx1∙.x
24、若用二分法求方程fX=0在区间[1,2]内的根,要求精确到第3位小数,则需要对
S(X)=■<
25、设a=3,b=-3,C=1
2x3,0兰xι≡1
32
Xaxbxc,仁X^2是3次样条函数,则
Pedx
0,要求误差不超过10-,利用余项公式估计,至少用
26、若用复化梯形公式计算
477个求积节点。
27、若f(x)=3x42X1,贝U差商吃,4,8,16,32H3
d⅛[1f8)0f()1f()]“、丄
1
Jf(X)
28、数值积分公式J
2
选择题
1、三点的高斯求积公式的代数精度为(
2、舍入误差是(A)产生的误差。
A.只取有限位数B
C观察与测量
3、3.141580是π的有(B
4、
A.
B.
9的代数精度为
模型准确值与用数值方法求得的准确值
数学模型准确值与实际值
位有效数字的近似值。
用1+x近似表示ex所产生的误差是
模型B.观测
C.
误差。
截断
.舍入
、用1+3近似表示紬+x所产生的误差是(
误差。
A.舍入B.观测C.模型
D.截断
6>-324.7500是舍入得到的近似值,它有(C)
位有效数字。
C.7D
7、设f(-1)=1,f(0)=3,f
(2)=4,则抛物插值多项式中X2的系数为(A)。
-2
8、三点的高斯型求积公式的代数精度为
C.5
9、(D)的3位有效数字是0.236×102
(A)0.0023549×103(B)2354.82×10—2
(C)235.418(D)235.54×10—1
10、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根,把方程f(x)=0表示成X=(x),则f(x)=0的
(C)y=x与X轴的交点的横坐标
(D)y=χ
与y=:
:
(x)的交点
11、拉格朗日插值多项式的余项是(B),
牛顿插值多项式的余项是(C)。
根是(B)。
(B)y=x与y=「(x)交点的横坐标
(A)y=(x)与X轴交点的横坐标
(A)f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x—x1)(x—x2)…(X—xn—1)(x—Xn),
Rn(X)=f(X)-Pn(X)=J[J
(B)
(C)
f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x—x0)(x—x1)(x—x2)…(X—Xn—1)(x—Xn),
Rn(X)=f(X)—Pn(X)=f(*'j"(X)
(n+1)!
(D)
12、用牛顿切线法解方程f(x)=0,选初始值x0满足(A),则它的解数列
{xn}n=0,1,2,…一定收敛到方程f(x)=0的根。
(A)f(xo)f(x)O(B)f(x°)f(x)O(C)f(X。
)f(X):
:
:
0(D)f(X。
)f(X):
:
:
0
13、为求方程x3—x2—仁O在区间[1.3,1.6]内的一个根,把方程改写成下列形式,并
建立相应的迭代公式,迭代公式不收敛的是(A)。
(A)
11
宀R,迭代公式:
Xk-Xk-I
(B)
(C)
(D)
X-X2,迭代公式:
xk1=1τ旷
X=1•丄,迭代公式:
XkI=1•&
XXk
X3=1X2,迭代公式:
Xk1=(1■Xk)1/3
bn
Jf(x)dx吒(b—a)∑Cy)f(Xi)⑴
14、在牛顿-柯特斯求积公式:
aT中,当系数Ci是负值时,
公式的稳定性不能保证,所以实际应用中,当()时的牛顿-柯特斯求积公式不
使用。
(1)n-8,
(2)n-7,(3)n-10,(4)n-6,
23、有下列数表
X
0
0.5
1
1.5
2
2.5
f(x)
-2
-1.75
-1
0.25
2
4.25
O
所确定的插值多项式的次数是()
(1)二次;
(2)三次;(3)四次;(4)五次
15、取.3:
1.732计算x=('-3-I)4,下列方法中哪种最好?
(
(D)C31)4
(A)28-16、3;(B)(,3r;(C(42*3)2;
x3
26、已知
S(X^2(x-1)3a(x-2)b
O_X-2
2乞X乞4是三次样条函数,
则a,b的值为
)
X
1
1.5
2
2.5
3
3.5
f(Xi)
-1
0.5
2.5
5.0
8.0
11.5
(A)6,6;(B)6,8;(C)8,6;(D)8,8。
16、由下列数表进行NeWton插值,所确定的插值多项式的最高次数是(
(A)5;(B)4;(C)3;(D2。
b
17、形如af(X)dxAf(XI)A2f(X2)A3f(X3)的高斯(GaUSS)型求积公式的代数精度为(
(D)3
(A)9;JB)7;(C)5;
18、计算-'3的NeWtOn迭代格式为()
Xk1
(A)
2Xk;(B)
3
+
2Xk
(C)
Xk1=
(D)
Xk_3
3Xk
19、用二分法求方程则对分次数至少为(
(A)1O;(B)12
X34X2-10=0在区间[1,2]内的实根,要求误差限为
)
;(C)8;(D)9。
9
Σkh(k)=
20、设Ii(X)是以Xk=k(^0,1,山,9)为节点的Lagrange插值基函数,则k=0()
(C)i;(D)1o
至少具有()次代数精度
(D)3o
0 2~x~4是三次样条函数,则 ,6;(D)8,8o (A)X;(B)k; 33、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式, (A)5;(B)4;(C)6; Ir3 X i3 2(X-1)3a(x-2)b (B)6,8;(C)8 X-2x-5=0在X=2附近有根,下列迭代格式中在 S(X)= 21、已知 (A)6,6; 35、已知方程 () a,b的值为() X0=2不收敛的是 (D) _2X3+5Xk1_3x2-2O X 0 1 2 3 4 f(x) 1 2 4 3 -5 确定的唯一插值多项式的次数为() (A)Xk1=32Xk5;(B)k1 22、由下列数据 2: ;(C)Xk厂Xk—Xk—5; (A)4;(B)2;(C)1;(D)3。 23、5个节点的GaUSS型求积公式的最高代数精度为() (A)8;(B)9;(C)10;(D)11。 1、求A、 B使求积公式 111 J(x)dx: A[f(-1)f (1)]B[f(-? )f(? )] 的代数精度尽量 I 高,并求其代数精度;利用此公式求 21 1;dX (保留四位小数)。 三、是非题(认为正确的在后面的括弧中打,否则打) 1、已知观察值(Xi,yi)(i=0,1,2,,m),用最小二乘法求n次拟合多项式Pn(X)时, Pn(X)的次数n可以任意取。 () 2 X 2、用1-2近似表示COSX产生舍入误差。 () (X_Xo)(X_X2) aJ,B工 得99 求积公式为 11 J(X)dxVf(T)S 11 9[fVf(? 当f(X^X3时,公式显然精确成立;当f(X)=X34时,左=5, 1 右=3。 所以代 数精度为3 2 答案: f(X)=1,x,x是精确成立,即 2A2B=2 仁丄1c2 2A—B=— I23 Xi 1 3 4 5 f(Xi) 2 6 5 4 2、已知 21dx 1X 丄dt肚丄[-^+丄]+8[——1—+—: —] jt39-13139-1/23123 97: 0.69286 140 分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求f(x)的三次插值多项式P3(X),并求f (2) 的近似值(保留四位小数)。 L(X)_2(x_3)(x_4)(x_5)丄6(x_1)(x_4)(x_5)答案: 3_(1一3)(1-4)(1-5)(3-1)(3-4)(3-5) 5(x-1)(x-3)(x-5)4(x")(x-3)(x-4) 54 (4-1)(4-3)(4-5)(5-1)(5-3)(5-4) 差商表为 Xi yi 一阶均差 二阶均差 三阶均差 1 2 3 6 2 4 5 -1 -1 5 4 -1 ° 14 P3(x)=Ns(X)=22(x-1)-(x-1)(x-3)1(x-1)(x-3)(x-4) 4 f(2pPs (2)=5.5 5、已知 Xi -2 -1 ° 1 2 f(Xi) 4 2 1 3 5 求f(X)的二次拟合曲线P2(X),并求f(°)的近似值 答案: 解: i Xi yi 2 Xi 3 Xi 4Xi Xiyi 2 Xiyi ° -2 4 4 -8 16 -8 16 1 -1 2 1 -1 1 -2 2 2 0: 1 0 0 P0 P0 0: 3 1 3 1 1 1 3 3 4 2 5 4 8 16 10 20 Σ 0 15 10 0 34 3 41 5a0+IOa2=15 *1Oa1=3 正规方程组为LIOao+34a2=41 P2(x)= 103112 XX 71014 10 3 11 a°: a1,a2 7 10 14 P2(x)二 311 X 107 3 f(0): p2(OH130 6、已知SinX区间[0.4,0.8]的函数表 Xi 0.4 0.8 0.5 0.6 0.7 0.38942 0.47943 0.56464 0.64422 yi 0.71736 如用二次插值求Sin0.63891的近似值,如何选择节点才能使误差最小? 并求该近似 值 答案: 解: 应选三个节点,使误差 M3 |R2(X)|37^'3(x)| 尽量小,即应使^'3(X)I尽量小,最靠近插值点的三个节点满足上述要求。 即取节点 {0.5,0.6,0.7}最好,实际计算结果 Sin0.63891: 0.596274, Sin0.63891-0.596274 1 兰一∣(0.63891—0.5)(0.63891—9—0.6)(0.63891—0.7) ≤0.5503210 7、构造求解方程ex∙IOx-2=O的根的迭代格式Xn-(Xn),n=0,1,2,…,讨论其收敛 _4 性,并将根求出来,|Xn「Xn卜10一答案: 解: 令f(X)=exIOx-2,f(0)--2: : : 0,f (1)=10e0 且f(XneX100对-x∙(」: ,=),故f(x)=0在©I)内有唯一实根.将方程 f(X)=O变形为 则当x∙(O)I)时 E1>eX),IF Xe 10 e 1 10 故迭代格式 XnITseXn) 收敛。 取xO=0.5,计算结果列表如下: n 0 1 2 3 Xn 0.5 0.035127872 0.096424785 0.089877325 n 4 5 6 7 Xn 0.090595993 0.090517340 0.090525950 0.090525008 且满足∣x7—X6l≤0.00000095<10^6所以X^0.090525008 10、已知下列实验数据 Xi 1.36 1.95 2.16 f(Xi) 16.844 17.378 18.435 试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据 1 解: 当0 Rnf)容fe 只要 鳥102 二67.30877 即可,解得 所以n=68,因此至少需将[0,1]68等份。 12、取节点χo"Xi=0∙5,χ2=1,求函数f(x)=e»在区间[0,1]上的二次插值多项式 p2(x),并估计误差。 P2(x)=eH(X"∙5)(x7討5(X一O)(XI) 解: (0-0.5)(0-1)(0.5-0)(0.5-1) ej(x-0)(x-0.5) (1_0)(1_0.5) 051 =2(x-0.5)(x-1)-4e.x(x-1)∙2e~x(x-0.5) f(X)寸 f(x)--e=M3=max|f(x)I=1 X[0,1] |R2(x)F|e」-R(x)f3! |x(x-0.5)(x-1)| 故截断误差 ・。 X 14、给定方程f(XH(X-I)eT=0 1)分析该方程存在几个根; 2)用迭代法求出这些根,精确到5位有效数字; 3)说明所用的迭代格式是收敛的。 X 解: 1)将方程(X-I)eT" (1) 改写为 X_1二 (2) 作函数f1(x)=xT,f2(x)=e"的图形(略)知 (2)有唯一根X'(1,2) 九=1+e」k -≈ 构造迭代格式JXO=「5(k=°,12…) 计算结果列表如下: k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1.2231 1.2943 1.2740 1.2796 1.2781 1.2785 1.2784 1.2784 1.2784 Xk 3 1 9 9 2 6 4 7 6 3)CP(X)=1+e»W(X)=-e» 当X[1,2]时,-(X)[ (2),- (1)][1,2],且 I」(x)∣^e-: : : 1 所以迭代格式x—(Xk)(k二0,1,,…)对任意χχ[1,2]均收敛。 15、用牛顿(切线)法求的近似值。 取Xo=1.7,计算三次,保留五位小数。 解: '∙3是f(x)=χ2-3=0的正根, f(X^2x,牛顿迭代公式为 Xn2-3 Xn1=Xn- 2xn,即 Xn3 xn∙1巧瓦(n“,2,) 取Xo=1.7,列表如下: n 1 2 3 Xn 1.73235 1.73205 1.73205 5)的 16、已知f(-1)=2,f (1)=3,f (2)=-4,求拉格朗日插值多项式L2(x)及f(1, 近似值,取五位小数。 L2(χ)=2H)3&1Dr&W") 解: (-1-1)(-1-2)(11)(1-2)(21)(2-1) 234 (x-1)(x-2)(X1)(x-2)(X1)(x-1) 323 1 f(1.5): L2(1.5)0.04167 24 1 IeXdx 17、n=3,用复合梯形公式求0edX的近似值(取四位小数),并求误差估计 f(X)=ex,fRr(X)=ex,0≤x≤1时,|fF(X) Xee IRl=IeX—T3I20.025乞0.05 12χ32108 至少有两位有效数字。 Xi 19 25 30 38 yi 19.0 32.3 49.0 73.3 2 20、(8分)用最小二乘法求形如y=a∙bx的经验公式拟合以下数据: 2 解: G=SPan{1,x} 1 1 11 J92 252 312 382一 AT ATAC=ATy =19.032.349.073.3〕 解方程组 其中 C 解得: T43391 AA= ∣∣33913529603 0.9255577 ;=I1 0.0501025所以 ATy=]1736] $79980.7一 a=0.9255577,b=0.0501025 1 …….「…adx时,试用余 n=8的复化梯形公式(或复化SimPSOn公式)计算出该积分的近似 21、(15分)用n=8的复化梯形公式(或复化Simpson公式)计算'项估计其误差。 用 值。 专")专 7 11e0 1282 —0.001302 768 厶RT[f]= 解: T(8∏-[f(a)2、f(xQf(b)] 2k1 1 [12(0.88249690.77880080.60653066 0.53526140.472366550.41686207)0.36787947] =0.6329434 3 22、(15分)方程X-x-1=0在x=1.5附近有根,把方程写成三种不同的等价形式 (1) X=対X+1对应迭代格式Xn十詡xn+1;⑵X X=X-1对应迭代格式XnI=XnT。 判断迭代格式在X0式计算X=1.5附近的根,精确到小数点后第三位。 1- W(x)=-(x+1)3 解: (1)3 1+丄XnJh X对应迭代格式 可.5的收敛性, F: ;(3) 选一种收敛格 (1.5W,故收敛; : (X) 则有: 1 °xH3(x)dx=S(X) 1 1 R(X)=0x[f(x)-S(x)]dx二I 4! f(X)-H3(Xr4! ⑷(Λ ()χ2(x-1)2 4! ^X3(X-1)2dx χ3(χ")2dXfJ=d 4! 601440 2x211 ⑵VX,pg=O.-1,故收敛; (3)®'(x)=3χ2,IV(I∙5)=
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