人教版高中数学《排列组合》教案.docx
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人教版高中数学《排列组合》教案
排列与组合
一、教学目标
1、知识传授目标:
正确理解和掌握加法原理和乘法原理
2、能力培养目标:
能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题
3、思想教育目标:
发展学生的思维能力,培养学生分析问题和解决问题的能力
二、教材分析
1.重点:
加法原理,乘法原理。
解决方法:
利用简单的举例得到一般的结论.
2.难点:
加法原理,乘法原理的区分。
解决方法:
运用对比的方法比较它们的异同.
三、活动设计
1.活动:
思考,讨论,对比,练习.
2.教具:
多媒体课件.
四、教学过程正
1.新课导入
随着社会发展,先进技术,使得各种问题解决方法多样化,高标准严要求,使得商品生产工序复杂化,解决一件事常常有多种方法完成,或几个过程才能完成。
排列组合这一章都是讨论简单的计数问题,而排列、组合的基础就是基本原理,用好基本原理是排列组合的关键.
2.新课
我们先看下面两个问题.
(l)从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车,还可以乘轮船.一天中,火车有4xx,汽车有2xx,轮船有3xx,问一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?
板书:
图
因为一天中乘火车有4种走法,乘汽车有2种走法,乘轮船有3种走法,每一种走法都可以从甲地到达乙地,因此,一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有4十2十3=9种不同的走法.
一般地,有如下原理:
加法原理:
做一件事,完成它可以有n类办法,在第一类办法中
有ml种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,……,在第n类办法中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N=ml十m2十…十mn种不同的方法.
(2)我们再看下面的问题:
由A村去B村的道路有3条,由B村去C村的道路有2条.从A村经B村去C村,共有多少种不同的走法?
板书:
图
这里,从A村到B村有3种不同的走法,按这3种走法中的每一种走法到达B村后,再从B村到C村又有2种不同的走法.因此,从A村经B村去C村共有3X2=6种不同的走法.
一般地,有如下原理:
乘法原理:
做一件事,完成它需要分成n个步骤,做第一步有ml种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,,做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N=m1m2…mn种不同的方法.
例1书架上层放有6本不同的数学书,下层放有5本不同的语文书.
1)从中任取一本,有多少种不同的取法?
2)从中任取数学书与语文书各一本,有多少的取法?
解:
(1)从书架上任取一本书,有两类办法:
第一类办法是从上层取数学书,可以从6本书中任取一本,有6种方法;第二类办法是从下层取语文书,可以从5本书中任取一本,有5种方法.根据加法原理,得到不同的取法的种数是6十5=11.
答:
从书架L任取一本书,有11种不同的取法.
(2)从书架上任取数学书与语文书各一本,可以分成两个步骤完成:
第一步取一本数学书,有6种方法;第二步取一本语文书,有5种方法.根据乘法原理,得到不同的取法的种数是N=6X5=30.
答:
从书架上取数学书与语文书各一本,有30种不同的方法.
练习:
一同学有4枚明朝不同古币和6枚清朝不同古币
1)从中任取一枚,有多少种不同取法?
2)从中任取明清古
币各一枚,有多少种不同取法?
例2:
(1)由数字l,2,3,4,5可以组成多少个数字允许重复三位数?
(2)由数字l,2,3,4,5可以组成多少个数字不允许重复三位数?
(3)由数字0,l,2,3,4,5可以组成多少个数字不允许重复三位数?
解:
要组成一个三位数可以分成三个步骤完成:
第一步确定百位上的数字,从5个数字中任选一个数字,共有5种选法;第二步确定十位上的数字,由于数字允许重复,
这仍有5种选法,第三步确定个位上的数字,同理,它也有5种选法.根据乘法原理,得到可以组成的三位数的个数是N=5X5X5=12.5
答:
可以组成125个三位数.
练习:
1、从甲地到乙地有2条陆路可走,从乙地到丙地有3条陆路可走,又从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走.
(1)从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法?
(2)从甲地到丙地共有多少种不同的走法?
2.一名儿童做加法游戏.在一个红口袋中装着2Oxx分别标有数
1、2、…、19、20的红卡片,从中任抽一xx,把上面的数作为被加数;在另一个黄口袋中装着10xx分别标有数1、2、…、9、10的黄卡片,从中任抽一xx,把上面的数作为加数.这名儿童一共可以列出多少个加法式子?
3.题2的变形
4.由0-9这10个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数?
小结:
要解决某个此类问题,首先要判断是分类,还是分步?
分类时用加法,分步时用乘法
其次要注意怎样分类和分步,以后会进一步学习
练习
1.(口答)一件工作可以用两种方法完成.有5人会用第一种
方法完成,另有4人会用第二种方法完成.选出一个人来完成这件工作,共有多少种选法?
2.在读书活动中,一个学生要从2本科技书、2本政治书、3本文艺书里任选一本,共有多少种不同的选法?
3.乘积(a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4(c1+c2+c3+c4+c5)展开后共有多少项?
4.从甲地到乙地有2条xx,从乙地到丙地有3条xx;从甲地到丁地有4条xx,从丁地到丙地有2条xx.从甲地到丙地共有多少种不同的走法?
5.一个口袋内装有5个小球,另一个口袋内装有4个小球,所有这些小球的颜色互不相同.
(1)从两个口袋内任取一个小球,有多少种不同的取法?
(2)从两个口袋内各取一个小球,有多少种不同的取法?
作业:
排列
【复习基本原理】
1.加法原理做一件事,完成它可以有n类办法,第一类办法
中有ml种不同的方法,第二办法中有m2种不同的方法,第n办
法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有
N=m1+m2+m3+mn
种不同的方法.
2.乘法原理做一件事,完成它需要分成n个步骤,做第一步
有ml种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,,做第n步
有mn种不同的方法,.那么完成这件事共有
N=m1m2m3mn
种不同的方法.
3.两个原理的区别:
【练习1】
1.xx、xx、xx三个民航站之间的直达航线,需要准备多少种不
同的机票?
2.由数字1、2、3可以组成多少个无重复数字的二位数?
请一一列出.
【基本概念】
1.什么叫排列?
从n个不同元素中,任取m()个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
2.什么叫不同的排列?
元素和顺序至少有一个不同.
3.什么叫相同的排列?
元素和顺序都相同的排列.
4.什么叫一个排列?
【例题与练习】
1.由数字1、2、3、4可以组成多少个无重复数字的三位数?
2.已知a、b、c、d四个元素,①写出每次取出3个元素的所有排列;②写出每次取出4个元素的所有排列.
【排列数】
1.定义:
从n个不同元素中,任取m()个元素的所有排列的
个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数,用符号表示.
用符号表示上述各题中的排列数
2.排列数公式:
=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)
••••
7777
计算:
=;=;=;
【课后检测】
1.写出:
1从五个元素a、b、c、d、exx任意取出两个、三个元素的
所有排列;
2由1、2、3、4组成的无重复数字的所有3位数.
3由0、1、2、3组成的无重复数字的所有3位数.
2.计算:
①②③④
排列
课题:
排列的简单应用
(1)
目的:
进一步掌握排列、排列数的概念以及排列数的两个计算公
式,会用排列数公式计算和解决简单的实际问题.
过程:
一、复习:
(引导学生对上节课所学知识进行复习整理)
1.排列的定义,理解排列定义需要注意的几点问题;
2.排列数的定义,排列数的计算公式
或(其中nnCnm,nZ)
3.全排列、阶乘的意义;规定0!
=1
4.“分类”、“分步”思想在排列问题中的应用.
二、新授:
例1:
(1)7位同学站成一排,共有多少种不同的排法?
解:
问题可以看作:
7个元素的全排列一一=5040
⑵7位同学站成两排(前3后4),共有多少种不同的排法?
解:
根据分步计数原理:
7X6X5X4X3X2X1=7!
=5040
⑶7位同学站成一排,其中甲站在中间的位置,共有多少种不
同的排法?
解:
问题可以看作:
余下的6个元素的全排列——=720
⑷7位同学站成一排,甲、乙只能站在两端的排法共有多少种?
解:
根据分步计数原理:
第一步甲、乙站在两端有种;第二步余下的5名同学进行全排列有种则共有=240种排列方法
⑸7位同学站成一排,甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种?
解法一(直接法):
第一步从(除去甲、乙)其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有种方法;第二步从余下的5位同学中选5位进行排列(全排列)有种方法所以一共有=2400种排列方法.
解法二:
(排除法)若甲站在排头有种方法;若乙站在排尾有种方法;若甲站在排头且乙站在排尾则有种方法.所以甲不能站在排头,乙不能排在排尾的排法共有-+=2400种.
小结一:
对于“在”与“不在”的问题,常常使用“直接法”或“排除法”,对某些特殊元素可以优先考虑.
例2:
7位同学站成一排.
⑴甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种?
解:
先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的
5个元素(同学)一起进行全排列有种方法;再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有种方法.所以这样的排法一共有=1440
⑵甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种?
解:
方法同上,一共有=720种.
⑶甲、乙两同学必须相邻,而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种?
解法一:
将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素,此时一共有6个元素,因为丙不能站在排头和排尾,所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾,有种方法;将剩下的4个元素进行全排列有种方法;最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有种方法.所以这样的排法一共有=960种方法.
解法二:
将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素,此时一共有6个元素,若丙站在排头或排尾有2种方法,所以丙不能站在排头和排尾的排法有种方法.
解法三:
将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素,此时一共有6个元素,因为丙不能站在排头和排尾,所以可以从其余的四个位置选择共有种方法,再将其余的5个元素进行全排列共有种方法,最后将甲、乙两同学“松绑”,所以这样的排法一共有=960种方法.
小结二:
对于相邻问题,常用“捆绑法”(先捆后松).
例3:
7位同学站成一排.
⑴甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种?
解法一:
(排除法)
解法二:
(插空法)先将其余五个同学排好有种方法,此时他们留下六个位置(就称为“空”吧),再将甲、乙同学分别插入这六个位置(空)有种方法,所以一共有种方法.
⑵甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种?
解:
先将其余四个同学排好有种方法,此时他们留下五个“空”,再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有种方法,所以一共有=1440种.
小结三:
对于不相邻问题,常用“插空法”(特殊元素后考虑).
三、小结:
1.对有约束条件的排列问题,应注意如下类型:
⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置;
⑵某些元素要求连排(即必须相邻);
⑶某些元素要求分离(即不能相邻);
2.基本的解题方法:
⑴有特殊元素或特殊位置的排列问题,通常是先排特殊元素或特殊位置,称为优先处理特殊元素(位置)法(优限法);
⑵某些元素要求必须相邻时,可以先将这些元素看作一个元素,与其他元素排列后,再考虑相邻元素的内部排列,这种方法称为“捆绑法”;
⑶某些元素不相邻排列时,可以先排其他元素,再将这些不相邻元素插入空挡,这种方法称为“插空法”;
⑷在处理排列问题时,一般可采用直接和间接两种思维形式,从而寻求有效的解题途径,这是学好排列问题的根基.
四、作业:
《课课练》之“排列课时1—3”
课题:
排列的简单应用
(2)目的:
使学生切实学会用排列数公式计算和解决简单的实际问题,进一步培养分析问题、解决问题的能力,同时让学生学会一题多解.
过程:
一、复习:
1.排列、排列数的定义,排列数的两个计算公式;
2.常见的排队的三种题型:
⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置——优限法;
⑵某些元素要求连排(即必须相邻)一一捆绑法;
⑶某些元素要求分离(即不能相邻)——插空法.
3.分类、分布思想的应用.
二、新授:
示例一:
从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单,如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上,则共有多少种不同的排法?
解法一:
(从特殊位置考虑)
解法二:
(从特殊元素考虑)若选:
若不选:
则共有+=136080
解法三:
(间接法)136080
示例二:
⑴八个人排成前后两排,每排四人,其中甲、乙要排在前排,丙要排在后排,则共有多少种不同的排法?
略解:
甲、乙排在前排;丙排在后排;其余进行全排列.
所以一共有=5760种方法.
⑵不同的五种商品在货架上排成一排,其中a,b两种商品必须排在一起,而c,d两种商品不排在一起,则不同的排法共有多少种?
略解:
(“捆绑法”和“插空法”的综合应用)a,b捆在一起与e进行排列有;
此时留下三个空,将c,d两种商品排进去一共有;最后将a,b“松绑”有.所以一共有=24种方法.
⑶6xx同排连号的电影票,分给3名教师与3名学生,若要求xx相间而坐,则不同的坐法有多少种?
略解:
(分类)若第一个为老师则有;若第一个为学生则有
所以一共有2=72种方法.
示例三:
⑴由数字1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的正整数?
略解:
⑵由数字1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字,并且比13000大的正整数?
解法一:
分成两类,一类是首位为1时,十位必须大于等于3有
种方法;另一类是首位不为1,有种方法.所以一共有个数比13000大.
解法二:
(排除法)比13000小的正整数有个,所以比13000大的正整数有=114个.
示例四:
用1,3,6,7,8,9组成无重复数字的四位数,由小到大排列.
⑴第114个数是多少?
⑵3796是第几个数?
解:
⑴因为千位数是1的四位数一共有个,所以第114个数的千位数应该是“3”,十位数字是“1”即“31”开头的四位数有个;同理,以“36”、“37”、“38”开头的数也分别有12个,所以第114个数的前两位数必然是“39”,而“3968”排在第6个位置上,所以“3968”是第114个数.
⑵由上可知“37”开头的数的前面有60+12+12=84个,而3796在“37”开头的四位数中排在第11个(倒数第二个),故3796是第95个数.
示例五:
用0,1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数,其中
⑴能被25整除的数有多少个?
⑵十位数字比个位数字大的有多少个?
解:
⑴能被25整除的四位数的末两位只能为25,50两种,末尾为50的四位数有个,末尾为25的有个,所以一共有+=21个.
注:
能被25整除的四位数的末两位只能为25,50,75,00四种情况.
⑵用0,1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数,一共有个.因为在这300个数中,十位数字与个位数字的大小关系是“等可能的”,所以十位数字比个位数字大的有个.
三、小结:
能够根据题意选择适当的排列方法,同时注意考虑问题的全面性,此外能够借助一题多解检验答案的正确性.
四、作业:
“3+X”之排列练习
组合⑴
课题:
组合、组合数的概念
目的:
理解组合的意义,掌握组合数的计算公式.
过程:
一、复习、引入:
1.复习排列的有关内容:
疋
义
特
点
八、、
相
同排列
公
式
排
列
以上由学生口答.
2.提出问题:
示例1:
从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项
活动,其中1名同学参加上午的活动,1名同学参加下午的活动,有
多少种不同的选法?
示例2:
从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动,有多少种不同的选法?
引导观察:
示例1xx不但要求选出2名同学,而且还要按照一定
的顺序“排列”,而示例2只要求选出2名同学,是与顺序无关的.
弓I出课题:
组合问题.
、新授:
1.组合的概念:
一般地,从n个不同元素中取出m(men)个
元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
注:
1.不同元素2.“只取不排”一一无序性3.相同组合:
元素相同
判断下列问题哪个是排列问题哪个是组合问题:
⑴从AB、C、D四个景点选出2个进行游览;(组合)
⑵从甲、乙、丙、xx四个学生中选出2个人担任班长和团支部书记.(排列)
2.组合数的概念:
从n个不同元素中取出m(men)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号表示.
例如:
示例2中从3个同学选出2名同学的组合可以为:
甲乙,甲丙,乙丙.即有种组合.
又如:
从AB、CD四个景点选出2个进行游览的组合:
AB,
ACADBCBDCD一共6种组合,即:
在讲解时一定要让学生去分析:
要解决的问题是排列问题还是组合问题,关键是看是否与顺序有关.那么又如何计算呢?
3.组合数公式的推导
⑴提问:
从4个不同元素a,b,c,dxx取出3个元素的组合数是多少呢?
启发:
由于排列是先组合再排列,而从4个不同元素中取出3个元素的排列数可以求得,故我们可以考察一下和的关系,如下:
组合排列
abc
T
abc,
bac,
cab,
acb,
bca,
cba
abd
T
abd,
bad,
dab,
adb,
bda,
dba
acd
T
acd,
cad,
dac,
adc,
cda,
dca
bcd
T
bcd,
cbd,
dbc,
bdc,
cdb,
dcb
由此可知:
每一个组合都对应着6个不同的排列,因此,求从4个不同元素中取出3个元素的排列数,可以分如下两步:
①考虑从
4个不同元素中取出3个元素的组合,共有个;②对每一个组合的3
个不同元素进行全排列,各有种方法.由分步计数原理得:
=,所以:
.
⑵推广:
一般地,求从n个不同元素xx取出m个元素的排列数,可以分如下两步:
①先求从n个不同元素xx取出m个元素的组合数;②求每一个组合xxm个元素全排列数,根据分布计数原理得:
⑶组合数的公式:
⑷巩固练习:
1.计算:
⑴⑵
2.求证:
3.设求的值.
解:
由题意可得:
即:
2 •/二x=2或3或4 当x=2时原式值为7;当x=3时原式值为7;当x=2时原式值为 11. •••所求值为4或7或11. 4.例题讲评 例1.6本不同的书分给甲、乙、丙3同学,每人各得2本,有多少种不同的分 法? 略解: 例2.4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人实践活动小组,问组成方法共有多少种? 解法一: (直接法)小组构成有三种情形: 3男,2男1女,1男2女,分别有,,,所以一共有++=100种方法. 解法二: (间接法) 5.学生练习: (课本99练习) 三、小结: 疋 义 特 点 八、、 相 同组合 公 式 排 列 组 合 此外,解决实际问题时首先要看是否与顺序有关,从而确定是排列问题还是组合问题,必要时要利用分类和分步计数原理. 四、作业: 课堂作业: 教学与测试75课 课外作业: 课课练课时7和8 组合⑵ 课题: 组合的简单应用及组合数的两个性质 目的: 深刻理解排列与组合的区别和联系,熟练掌握组合数的计算公式;掌握组合数的两个性质,并且能够运用它解决一些简单的应用问题. 过程: 一、复习回顾: 1.复习排列和组合的有关内容: 强调: 排列——次序性;组合——无序性. 2.练习一: 练习1: 求证: .(本式也可变形为: ) 练习2: 计算: ①和;②与;③ 答案: ①120,120②20,20③792 (此练习的目的为下面学习组合数的两个性质打好基础.)3.练习二: ⑴平面内有10个点,以其中每2个点为端点的线段共有多少条? ⑵平面内有10个点,以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条? 答案: ⑴(组合问题) (2)(排列问题) 二、新授: 1.组合数的性质1: . 理解: 一般地,从n个不同元素中取出m个元素后,剩下nm 个元素.因 为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合,与剩下的nm个元素的每一个组合一一对应,所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数,等于从这n个元素中取出nm个元素的组合数,即: .在这里,我们主要体现: “取法”与“剩法”是“一一对应”的思想. 证明: T 又二 注: 1我们规定 2等式特点: 等式两边下标同,上标之和等于下标. 3此性质作用: 当时,计算可变为计算,能够使运算简化. 例如: ===2002. 4或 2.示例一: (课本101例4)一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球. ⑴从口袋内取出3个球,共有多少种取法? ⑵从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有多少种取法? ⑶从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法? 解: ⑴⑵⑶ 引导学生发现: .为什么呢? 我们可以这样解释: 从口袋内的8个球中所取出的3个球,可以分为两类: 一类含有1个黑球,一类不含有黑球.因此根据分类计数原理,上述等式成立. 一般地,从这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是,这些组合可以分为两类: 一类含有元素,一类不含有.含有的组合是从这n个元素中取出m1个元素与组成的,共有个;不含有的组合是从这n个元素中取出m个元素组成的,共有个.根据分类计数原理,可以得到组合数的另一个性质.在这里,我们主要体现从特殊到一般的归纳思想,“含与不含其元素”的分类思想. 3.组合数的性质2: =+. 证明: n! (nm1)n! m m! (n—m+1)!
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