新高考新题型数学多选题专项练习4含答案解析.docx
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新高考新题型数学多选题专项练习4含答案解析
2021新高考新题型一一数学多选题专项练习(4)
一、多选题
1.我们将横.纵坐标均为整数的点称为整点,则直线l:
y=kx+b()
A.存在S
beR使得直线/上无整点
B.存在
beR使得直线/上恰有一个整点
C.存在
beR使得直线/上恰有两个整点
D.存在4
beR使得宜线I上有无数个整点
2.已知实数d,bi苗足h>O♦“Hl,h≠∖,且X="'",y=b'il,z=alfζil9w=biφ,则()
A.存在实数α,b»使得x>y>z>w
B.存在"Hb,使得X=y=z=W
C.任意符合条件的实数∏,b都有X=y
D・x,y,Z,⑷中至少有两个大于1
3.
已知函数/(X)=A-[A],其中[X]表示不大于X的最大整数,下列关于函数/(X)的性质,描述正确的是()
4.
6.
设全集U={0,1,2,3,4},集合A={0,1,4},B={0,1,3},贝∣J()
B.Q..B={4}
A・A∩θ={O,1}
7.泄义“正对数”:
∕h÷x=?
Ov
若“>0,b>0,则下列结论中正确的是(
InXx≥l
InJr(CIb)=bhιrci
Ife(^hea-Iri¥b
阳丄AC
B・bΓ(ab)=InJPa+InJrb
D・bΓ(a+b)^bra+Ilrb
E・bιr(a+b)£hfa+IfIrh+ln2
8.如图,∕¾垂直于以初为直径的圆所在的平而,点C是圆周上异于A,B的任一点,
则下列结论中正确的是()
B.PC丄BC
E.平面Q4C丄平≡PBC
9.下而说法中错误的是()
A.经过左点P(XO,儿)的直线都可以用方程>'-.Vo=R(X-Xo)表示
B.经过左点P(Xo,儿)的直线都可以用方程X-XO=>n(y-y0)表示
C.经过泄点A(0.b)的直线都可以用方程y=kx+b表示
D.不经过原点的直线都可以用方程-+^=1表示
E.经过任意两个不同的点l↑(xl9yl),Pl(X2,儿)的直线都可以用方程
(y一X)(X2一坷)=(X一舛)()‘2一X)表示
10・已知双曲线Cι≤-τi=iω>0√7>0)的离心率为娑,右顶点为A,以A为圆心,bCrIr3
为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点,则有()
D.ZMAN=I20°
11・设有一组圆C√x-l)2+(y-Λ)2=Γ伙%下列四个命题正确的是(
A.存在R,使圆与X轴相切
B.存在一条直线与所有的圆均相交
C.存在一条直线与所有的圆均不相交
D.所有的圆均不经过原点
12.一几何体的平面展开图如图所示,其中四边形ABCD为正方形,E、F分别为PB、PC的中点,在此几何体中,给岀的下而结论中正确的有()
A.直线AE与直线BF异而B.直线AE与直线QF异面
C.直线EF//平而∕¾DD.直线DF丄平而PBC
13.已知函数/(x)=2sin(2Λ--)+l,则下列说法正确的是()
3
A・/(—-λ)=2-∕(λ∙)
6
B・f(--x)的图象关于X=-对称
64
C.若OVAl<冷<彳,则f(a1)<∕(a-2)
D.若XI,兀,兀曰彳,彳],则fW+∕U2)>/(⅞)
14.已知函数/(λ-)=,^(X)=-l-~r-,则.f(x)、g(x)满足()
A.f(-χ)=-f(χ),g(-χ)=g(χ)B./(-2) C./(2λ)=2f(x).g(x)D.[/(x)]2-⅛(x)]2=l 15.现有一段长度为"的木棍,希望将其锯成尽可能多的小段,要求每一小段的长度都是 整数,并且任何一个时刻,当前最长的一段都严格小于当前最短的一段长度的2倍,记对“ 符合条件时的最多小段数为f(n).贝∣J() A.f(7)=3B.f(7)=4C./(30)=6D./(30)=7 16.已知O,A,B,C为平而上两两不重合的四点,且XOA+yOB+ZoC=∂(xyz≠0),则() A.当且仅当町z<0时,O在ΔABC的外部 B.当且仅当x: y: z=3: 4: 5时,SMBC=4SgB C.当且仅当x=y=z时,O为ΔABC的重心 D.当且仅当x+>∙+z=0时,A,B,C三点共线 17.下列说法,正确的有() A.函数/(x)=∕m+3A∙-6的零点只有1个且属于区间(1,2) B.若关于X的不等式d+2αr+l>0恒成立,则*(0.1) C.函数3=χ的图象与函数y=si∏A∙的图象有3个不同的交点 D.函数y=SinXCosX+Sin.χ∙+cosa;x∈(0.—]的最小值是1 4 18.已知八y,ZeR^且Λ∙+y+z=∕r,则/=cosx+cosy+cosz的最值情况为() A・最大值为3B・最小值为一3C.最大值为丄D.最小值为一丄 22 19.在数列{①}中Sr若也一咗=k(k为常数),则称{%}为“等差比数列S下 列对“等差比数列”的判断正确的为() A.k不可能为0 B.等差数列一立是“等差比数列” C.等比数列一泄是"等差比数列” D.“等差比数列”中可以有无数项为0 2021新高考新题型一一数学多选题专项练习(4) 答案解析 一、多选题 1.我们将横.纵坐标均为整数的点称为整点.则直线l: y=lcx+h( A,存在S beR使得直线/上无整点 B.存在 beR使得直线/上恰有一个整点 C.存在R, beR使得直线/上恰有两个整点 D.存在 beR使得直线/上有无数个整点 【解析】解: 根据题意,依次分析选项: 对于A,当k=∖,/7=1时,直线/的方程为y=x+^9直线/上无整点,A正确: 3"3 对于”,当k=4i,b=0时,直线/的方程为y=√2x,直线/上恰有一个整点(0.0),B正 确: 对于C,假设直线/上恰有两个整点为(ZHltnJ和(叫,Gh则有20, 此时直线/存在第三个整点: (2〃】2-加】,2/? 2-∕z1),C错误; 对于D,当Jl=O,b=l时,直线/的方程为y=l,直线/上有无数个整点: 则ABD正确; 故选: ABD・ 2.已矢口实数α,bi肃足b>0>“Hl,b≠∖,且X=/",y=Z/",Z=a®>w=bi^h>则() A.存在实数a,〃,使得x>y>z>w B・存在aHb,使得X=y=z=W C.任意符合条件的实数∏,b都有x=y D・x,y,Z,W中至少有两个大于1 【解析】解: 设Iga=P,lf*b=q.则有10r=<∕,IOv=/? 贝Ih="尬=(IOP尸=IoK,y=(I(T)P=10",Z=(IoP)P=I(/,W=(Io少=1(/・ 所以任意符合条件的a,〃都有A=y.C正解,A错误. 若"Hb,则P丰q、则XHZ,3错误. 因为"Hl,b≠∖9所以PHO,gHθ,所以p>O9g*^>O,故z>l,且W>1»D正确.故选: CD. 3.已知函数/U)=A-[a],其中[x]表示不大于X的最大整数,下列关于函数/(x)的性质,描述正确的是() A./(a)是增函数B.F(X)是周期函数 C./Cr)的值域为[0,1)D.f(x)是偶函数 【解析】解: 当-2≤λ<-1时,[λ]=-2,此时f(x)=x-[x]=x+2. 当一1≤Λ∙ 当O≤XV1时,W=O,此时f(χ)=χ-[χ]=χ・ 当1≤λ<2时,[x]=l,IlW/(χ)=χ-[χ]=χ-1・ 当2≤λ<3时,[x]=2,J⅛R4∕(X)=X-[λ∙]=x-2・ 当3≤a∙v4时,[x]=3.此时/(x)=x-[x]=x-3・ 由此可得函数y=x-[x]w[0,1),故C正确; 函数y=x-[x]为非奇非偶函数,故A,D错误: 函数y=x-[x]是周期为1的周期函数,故B正确: 函数y=x-[x]在区间[0,1)上为增函数,但整个左义域为不具备单调性,故A错; 故选: BC・ 4. 正方体截而的形状有可能为() A.正三角形B.正方形 【解析】解: 画出截而图形如图: 可以画出正三角形但不是直角三角形(如图1): 可以画出正方形(如图2)经过正方体的一个顶点去切就可得到五边形.但此时不可能是正五边形(如图3); 正方体有六个而,用平面去截正方体时最多与六个而相交得六边形,且可以画岀正六边形(如 图4): 故选: ABD・ 5.已知集合A={x∖x=3a+2l^a9beZ}.B={λIx=加一3〃,—beZ},贝∣J() C・A=B 【解析】解: 已知集合A={xlx=3d+2/八∏,⅛∈Z},B={x∖x=2a-3b.a9beZ}.若A丿加于B,贝Ihx=2α-3b=3*(2α-b)+2*(-2π): 2iι-b.-2“均为整数,X也属于A,所以3是A的子集; 若a丿再于A,贝Ihx=3α+2Λ=2*(3"+b)-3*(a): 攵+b、"均为整数,X也属于3,所以A是3的子集: 所以: A=B, 故选: ABC. 6.设全集(∕={0,1,2,3,4},集合A={0,1,4},B={0,1,3},贝∣]() A・A∩B={0,1}B・QB={4} C.AUB={0,1,3,4}D.集合A的真子集个数为8 【解析】解: ∙.∙全集i∕={0,1,2,3,4},集合A={0,1,4},B={0,1,3}, /.A∩B={O,1},故A正确, Q-B={2,4},故3错误, A∣j3={0,1,3,4},故C正确, 集合A的貞•子集个数为23-l=7,故D错误 故选: AC. 7.定义“正对数S∕H+x=100 若“>0,心0,则下列结论中正确的是() Ifir(Ub)=blf↑ra ∣n^一bfb B・bt(Ub)=InJra+InJrb D・Ift("+bQbfa+bΓb In^(a+∕7)≤∕n+t/+In^b+Inl 【解析】解: 对于A,由怎义,当时,o6≥l»故bf(Ub)=In(Clb)=blna,又bln^a=bbuι♦ 当OVdVl时,ab<∖,故∕n+(^)=0,又“vl时血α=0,所以此时亦有ln∖ab)=bln+a. 由上判断知A正确: 19 对∖B此命题不成立,可令“=2,b=—,则Ub=—»由左义∕n+(Uh)=0>hfa+bιrb=1∏2,33 所以IZbabm由此知B错误: 对于C,当C(^h>0时,-≥1,此时ln+(-)=ln(-)≥0,hbb 当少1时,∣n∖ι-Inb=Ina-Inb=ln(-),此时命题成立: 当a>∖>b时9If^a-Ifrh=Ina,此时—>α>故命题成立: h 同理可验证当时,In+(―)≥∕/? +-In+b成立: b' 当纟<1时,同理可验证是正确的,故C正确: b 对于D,若OV“+/xl,b>0时,左=0,右端$0,显然成立: 若a+b>↑,贝IJbΓ(U+b)^ln~u+Iitb+ln2OIif■-≤∕m++ln~b,成立,故D错误,EIE 确. 故选: ACE. 8.如图,Q4垂直于以AB为直径的圆所在的平而,点C是圆周上异于A,B的任一点, B.PC丄BC D.平而QAB丄平而PBC 则下列结论中正确的是() A・PB丄AC C.AC丄平而PBC E.平WiPAC丄平而PBC 【解析】解: 由题意,BC丄AC,若PB丄Ae,则AC丄平面PBC,可得AC丄Pe,与AC丄P4矛盾,故A、C错误; Be丄AC,又∕¾丄底而ABC,: .PA丄BC,则BC丄平面PAC,则BC丄PC,故B、E正确: 平≡Λ4C丄平面PBC,若平^PAB丄平而PBC,而平而咖C平面PAC=PA,则∕¾丄平面PBC,可得朋丄PC,与AC丄∕¾矛盾,故D错误. 故选: BE. 9.下而说法中错误的是() A.经过圧点P(Xo,儿)的直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示 B.经过泄点P(x0,儿)的直线都可以用方程X-Xo=m(y-yit)表示 C.经过定点A(O.b)的直线都可以用方程y=kx+b表示 D.不经过原点的直线都可以用方程-+-=1表示 Ub E.经过任意两个不同的点^(XI,y1),Λ(a-2,儿)的直线都可以用方程 (y-yl)(x2-Xl)=(X-A-Xy2-yi)表示 【解析】解: 当直线的斜率不存在时,经过泄点P(Ao,儿)的直线方程为A-=A0,不能写成 y-y0=k(x-x0)的形式,故A错误. 当直线的斜率等于零时,经过立点P(Xo,儿)的直线方程为y=y°,不能写成 X-XO=∣n(y-y0)的形式,故B错误. 当直线的斜率不存在时,经过立点A(0.∕7)的直线都方程为x=0,不能用方程y=kx+b表示,故C错误. 不经过原点的直线,当斜率不存在时,方程为x=a(a≠0)的形式,故D错误. 经过任意两个不同的点片(旺,y1),P2(x2,儿)的直线,当斜率等于零时,片=),2,x1≠x2, 方程为y=y∖, 能用方程(y->,1)U2-XI)=(X-A-Xy2-yl)表示; 当直线的斜率不存在时,y1≠y2,XI=^,方程为A=XI,能用方程 (y-yjg-Xl)=(X-舛)(儿-x)表示,故E正确, 故选: ABCD・ 10.已知双曲线Cι4-4=iω>0√7>0)的离心率为斗,右顶点为A,以A为圆心,bCrIy3 为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点,则有() A.渐近线方程为>'=±√3xB.渐近线方程为y=±fX C・ZMAN=60oD・ZMAA^=I20o 【解析】解: 由题意可得e=-=^-,可设c=2∕,a=j3t,r>0, a3 则b=Jc'—a'=t,A(>∕3t♦0)♦ 圆A的圆心为(妁,0),半径广为f,双曲线的渐近线方程为y=±-x,即尸±迺 a3 If•问I娶 圆心A到渐近线的距离为CI=‘3_=亠2 可得三角形MNA为等边三角形,即有ZM4N=60o∙ 故选: BC. 11.设有一组圆C: (X-I)2+(y-⅛)2=Jt4ZNr,下列四个命题正确的是() A.存在R,使圆与X轴相切 B.存在一条直线与所有的圆均相交 C.存在一条直线与所有的圆均不相交 D.所有的圆均不经过原点 【解析】解: 对于A: 存在使圆与X轴相切Ok=F(展N、有正整数解Ok=O或k=∖, 故A正确; 对于3: 因为圆心(1,灯恒在直线a-=1±,故〃正确: 对于C: 当£取无穷大的正数时,半径F也无穷大,因此所有直线与圆都相交,故C不正确: 对于D: 将(QO)代入得1+疋=R4•即I=k2(k2-∖).因为右边是两个相邻整数相乘为偶数•而左边为奇数,故方程恒不成立,故D正确. 故选: ABD・ 12.一几何体的平面展开图如图所示,其中四边形ABCD为正方形,E、F分别为M、PC的中点,在此几何体中,给出的下而结论中正确的有() A・直线Af与直线3F异而B.直线AE与直线DF异而 C.直线EF//平而EADD.直线DF丄平而PBC 【解析】解: 如图,把几何体恢复原状,显然BF异面,可知A正确; -EFllBC>BCIIAD, : .EFIIAD, : .EFIl平而Λ4Q,可知C正确; 易知AEFD为等腰梯形,可知3,D错误. 13・已知函数/(x)=2sin(2A--)+l,则下列说法正确的是() 3 A・/(f-x)=2-∕(Λ∙) O B.八兰—x)的图象关于x=-对称 64 C.若0 D.若XI,冷,兀3W吟,彳】'则/3)+f(χ2)>f(∙⅞) 【解析】解: ∙.∙f(x)=2sin(2x—£)+1, 对A/(--X)=2sin[2(--X)--I+1=-2Sin2x+l≠2-f(x),故A错误: 663 对3: 当X=-时,/(--χ)=-2sin-+l=-H故f(--x)关于λ=-对称,故3正确: 4*6264 对C: ∙.∙f(x)在(0,彳)上不单iJ5J,.∙.0 对D-/(X)在(二兰)上单调递增,在(迴上)上单调递减,・•・当xpλ^x3∈[-Λ], 31212232 由/(X)的图象知/(λ∙)÷∕(x2)>/(X3),故D正确. 故选: BD. 3正确, ex_严ex+严 2f(x)^(x)=2×一-一•一-一=2× 2x_-2λ L-^-=2f(2x),故C正确, [f(χ)F-[g(χ)F=Lf(χ)+g(χ)]・ [∕ω-^(χ)]=^∙(-^)=-ι,故D错误, 故选: ABC. 15・现有一段长度为”的木棍,希望将其锯成尽可能多的小段,要求每一小段的长度都是 整数,并且任何一个时刻,当前最长的一段都严格小于当前最短的一段长度的2倍,记对H符合条件时的最多小段数为f(n).则() D・/(30)=7 A・f(7)=3B.f(7)=4C./(30)=6 【解析】解: 当料=7时,最多可锯成3段: 7=3+4=3+2+2,: J(7)=3,故A正确, B不正确; 当»=30时,最多能锯6段,具体如下: 30=12+18=12+10+8=6+6+10+8=6+6+5+5+8=6+6+5+5+4+4・ 下证大于6段是不可能成立的: 若可锯成7段,设为西,x2>...>兀7(其中λi>x2>...≥x7)t 显然召>4,若舛$4,贝∣Jx7≥4,K∏4x6+7=31>30,矛盾,因11匕Al=5或州=6, 当可=6时,只能是6+4+4+4+4+4+4,退一步必岀现6+4=10,或4+4=8, 8与4共同出现在等式中,由题意知这是不可能的,矛盾 同理,当召=5时,・・・情况为5+5+4+4+4+4+4,或5+5+5+4+4+4+3,或 5+5+5+5+4+3+3, 针对以上情形采取还原的方法都可得岀矛盾, 综上,”=30时最多能锯成6段,即/(30)=6,故C正确,D不正确. 故选: AC. 16.已知O,A,B,C为平面上两两不重合的四点,且XoA+yOB+ZoC=∂(xyz≠0),则() A.当且仅当勺z<0时,O在ΔABC的外部 B.当且仅当x: y: z=3: 4: 5时,SAAflC=45iθβc C.当且仅当x=>=z时,O为ΔABC的重心 D.当且仅当x+y+z=0时,A,B,C三点共线 【解析】解: 对于A,如图1,若X,y,Z只有一个为负时,不妨设y<0,x>0,z>0,则有XOA+yOC与同向.则O在ΔABC的外部, 若X,y,Z均为负时,不妨取X=y=Z=-I, 可得O/i+ob+OC;=d,显然O为ΔABC的重心,则O在ΔΛBC的内部, 综上,A错. 对于3.λ^: y: z=3: 4: 5时,不妨取x=3,y=4.z=5.分别作Ozi=3θ∕,OE=, OF≈5OC. 则点O为2EF的重心.SQfC=总Sg=护耗M=右Sg, =Y^X"MEF=§X20SSBC=4S∖OBC 正确. 对于C・当且仅当X=V=Z时,且XOA÷yOB^ZOC=∂(xyz≠0), OOA^OB^OC≈6 Oo为WC的重心,正确. 对于D・x+y+z=0时,JiXOA+y∂B÷ZOC=O(xyz≠O),<≠>XOA÷yOB-(X÷y)OC=O,化为: XCA=yBC,可得A,B,C三点共线. 综上可得: BCD都正确. 故选: BCD. 17.下列说法,正确的有() A.函数/(x)=∕∕u∙+3x-6的零点只有1个且属于区间(1,2) B.若关于X的不等式c∕+2αr+l>O恒成立,则*(0,1) C.函数3=χ的图象与函数V=Sinx的图象有3个不同的交点 D.函数y=Sinxcosx+sinx+∞sλ,Xe[0,-]的最小值是1 4 【解析】解: ①对于选项A,由函数/W=Zm-+3%-6在(0.+8)为增函数,又/ (1)/ (2) <0.即函数/(a)=∕∕lv+3a-6的零点只有1个且属于区间(1,2),即A正确, 2对于选项3,关于X的不等式coC+2ax+∖>O恒成立,则1。 “=0时,满足题意, ZIAt解得: °V"V1,综上可得: u∈[0,1)t即〃错误, 4(广一4α 3对于选项C,设g(x)=x-sinx,则√(x)=l-cosx≥0>即y=g(x)在R上为增函数,又g(0)=0,即g(x)只有一个零点,即函数>=x的图象与函数V=SinA-的图象有1个不同的交点,即C错误
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