第二讲 算法复数推理与证明.docx
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第二讲算法复数推理与证明
第二讲 算法、复数、推理与证明
考点一 复数的概念与运算
1.复数的乘法
复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类项,不含i的看作另一类项,分别合并同类项即可.
2.复数的除法
除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题时要注意把i的幂写成最简形式.复数的除法类似初中所学化简分数常用的“分母有理化”,其实质就是“分母实数化”.
3.复数运算中常见的结论
(1)(1±i)2=±2i,=i,=-i;
(2)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i;
(3)i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0.
[对点训练]
1.(2018·全国卷Ⅰ)设z=+2i,则|z|=( )
A.0B.C.1D.
[解析] ∵z=+2i=+2i=i,∴|z|=1,故选C.
[答案] C
2.(2018·安徽安庆二模)已知复数z满足:
(2+i)z=1-i,其中i是虚数单位,则z的共轭复数为( )
A.-iB.+i
C.-iD.+i
[解析] 由(2+i)z=1-i,得z===-i,∴=+i,故选B.
[答案] B
3.(2018·安徽马鞍山二模)已知复数z满足zi=3+4i,则复数z在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
[解析] 由zi=3+4i,得z===4-3i,∴复数z在复平面内对应的点的坐标为(4,-3),该点位于第四象限,故选D.
[答案] D
4.(2018·江西师大附中、临川一中联考)若复数z=,为z的共轭复数,则()2017=( )
A.iB.-iC.-22017iD.22017i
[解析] 由题意知z===i,可得=-i,则()2017=[(-i)4]504·(-i)=-i,故选B.
[答案] B
[快速审题]
(1)看到题目的虚数单位i,想到i运算的周期性;看到z·,想到公式z·=|z|2=||2.
(2)看到复数的除法,想到把分母实数化处理,即分子、分母同时乘以分母的共轭复数,再利用乘法法则化简.
复数问题的解题思路
以复数的基本概念、几何意义、相等的条件为基础,结合四则运算,利用复数的代数形式列方程或方程组解决问题.
考点二 程序框图
1.当需要对研究的对象进行逻辑判断时,要使用条件结构,它是根据指定条件选择执行不同指令的控制结构.
2.注意直到型循环和当型循环的本质区别:
直到型循环是先执行再判断,直到满足条件才结束循环;当型循环是先判断再执行,若满足条件,则进入循环体,否则结束循环.
3.循环结构主要用在一些有规律的重复计算的算法中,如累加求和、累乘求积等.
[对点训练]
1.执行如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输出的结果是4,则常数a的值为( )
A.4B.2C.D.-1
[解析] S和n依次循环的结果如下:
S=,n=2;S=1-,n=4.所以1-=2,a=-1,故选D.
[答案] D
2.若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的i的值为( )
A.4B.5C.6D.7
[解析] 根据程序框图,程序执行中的数据变化如下:
n=12,i=1;n=6,i=2;6≠5;n=3,i=3;3≠5;n=10,i=4;10≠5;n=5,i=5;5=5成立,程序结束,输出i=5,故选B.
[答案] B
3.(2018·全国卷Ⅱ)为计算S=1-+-+…+-,设计了下面的程序框图,则在空白框中应填入( )
A.i=i+1B.i=i+2
C.i=i+3D.i=i+4
[解析] S=1-+-+…+-=-,当不满足判断框内的条件时,S=N-T,所以N=1+++…+,T=++…+,所以空白框中应填入i=i+2,故选B.
[答案] B
4.执行如图所示的程序框图,输出的S的值是________.
[解析] 由程序框图可知,n=1,S=0;S=cos,n=2;S=cos+cos,n=3;…;S=cos+cos+cos+…+cos=251+cos+cos+…+cos=251×0++0++(-1)++0=-1-,n=2015,输出S.
[答案] -1-
[快速审题]
(1)看到循环结构,想到循环体的结构;看到判断框,想到程序什么时候开始和终止.
(2)看到根据程序框图判断程序执行的功能,想到依次执行n次循环体,根据结果判断.
(3)看到求输入的值,想到利用程序框图得出其算法功能,找出输出值与输入值之间的关系,逆推得输入值.
求解程序框图2类常考问题的解题技巧
(1)程序框图的运行结果问题
先要找出控制循环的变量及其初值、终值.然后看循环体,若循环次数较少,可依次列出即可得到答案;若循环次数较多,可先循环几次,找出规律.要特别注意最后输出的是什么,不要出现多一次或少一次循环的错误,尤其对于以累和为限定条件的问题,需要逐次求出每次迭代的结果,并逐次判断是否满足终止条件.
(2)程序框图的填充问题
最常见的是要求补充循环结构的判断条件,解决此类问题的方法是创造参数的判断条件为“i>n?
”或“i ”,然后找出运算结果与条件的关系,反解出条件即可. 考点三 推理与证明 1.归纳推理的思维过程 ―→―→ 2.类比推理的思维过程 ―→―→ [对点训练] 1.(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说: 你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说: 我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则( ) A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩 [解析] 由题意可知,“甲看乙、丙的成绩,不知道自己的成绩”说明乙、丙两人是一个优秀一个良好,则乙看了丙的成绩,可以知道自己的成绩;丁看了甲的成绩,也可以知道自己的成绩,故选D. [答案] D 2.(2018·山西孝义期末)我们知道: 在平面内,点(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式d=,通过类比的方法,可求得: 在空间中,点(2,4,1)到直线x+2y+2z+3=0的距离为( ) A.3B.5C.D.3 [解析] 类比平面内点到直线的距离公式,可得空间中,点(x0,y0,z0)到直线Ax+By+Cz+D=0的距离公式为 d=, 则所求距离d==5,故选B. [答案] B 3.(2018·安徽合肥模拟)《聊斋志异》中有这样一首诗: “挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻,额上坟起终不悟.”在这里,我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”: 2=,3=,4=,5=,…,则按照以上规律,若9=具有“穿墙术”,则n=( ) A.25B.48C.63D.80 [解析] 由2=,3=,4=,5=,…, 可得若9=具有“穿墙术”,则n=92-1=80,故选D. [答案] D [快速审题] 看到由特殊到一般,想到归纳推理;看到由特殊到特殊,想到类比推理. (1)破解归纳推理题的思维3步骤 ①发现共性: 通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律); ②归纳推理: 把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想); ③检验,得结论: 对所得的一般性命题进行检验,一般地,“求同存异”“逐步细化”“先粗后精”是求解由特殊结论推广到一般结论型创新题的基本技巧. (2)破解类比推理题的3个关键 ①会定类,即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征; ②会推测,即用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的猜想; ③会检验,即检验猜想的正确性.要将类比推理运用于简单推理之中,在不断的推理中提高自己的观察、归纳、类比能力. 1.(2018·全国卷Ⅱ)=( ) A.--iB.-+i C.--iD.-+i [解析] ===-+i,故选D. [答案] D 2.(2018·浙江卷)复数(i为虚数单位)的共轭复数是( ) A.1+iB.1-i C.-1+iD.-1-i [解析] ∵==1+i,∴的共轭复数为1-i,故选B. [答案] B 3.(2018·北京卷)执行如图所示的程序框图,输出的s值为( ) A.B.C.D. [解析] k=1,s=1;s=1+(-1)1×=1-=,k=2,2<3;s=+(-1)2×=+=,k=3,此时跳出循环,∴输出,故选B. [答案] B 4.(2018·天津卷)阅读下边的程序框图,运行相应的程序,若输入N的值为20,则输出T的值为( ) A.1B.2C.3D.4 [解析] 第一次循环T=1,i=3;第二次循环T=1,i=4;第三次循环T=2,i=5,满足条件i≥5,结束循环,故选B. [答案] B 5.(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说: “我与乙的卡片上相同的数字不是2.”乙看了丙的卡片后说: “我与丙的卡片上相同的数字不是1.”丙说: “我的卡片上的数字之和不是5.”则甲的卡片上的数字是________. [解析] 由丙说的话可知丙的卡片上的数字一定不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2,则乙的卡片上的数字是2和3,甲的卡片上的数字是1和3,满足题意;若丙的卡片上的数字是1和3,则乙的卡片上的数字是2和3,此时,甲的卡片上的数字只能是1和2,不满足题意.故甲的卡片上的数字是1和3. [答案] 1和3 1.高考对复数的考查重点是其代数形式的四则运算(特别是乘、除法),也涉及复数的概念及几何意义等知识,题目多出现在第1~3题的位置,难度较低,纯属送分题目. 2.高考对算法的考查,每年平均有一道小题,一般出现在第6~9题的位置上,难度中等偏下,均考查程序框图,热点是循环结构和条件结构,有时综合性较强,其背景涉及数列、函数、数学文化等知识. 3.在全国课标卷中很少直接考查“推理与证明”,特别是合情推理,而演绎推理,则主要体现在对问题的证明上. 热点课题2 间接证明的应用 [感悟体验] 等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=1+,S3=9+3. (1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn; (2)设bn=(n∈N*),求证: 数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列. [解] (1)由已知得所以d=2, 故an=2n-1+,Sn=n(n+),n∈N*. (2)证明: 由 (1)得bn==n+,n∈N*. 假设数列{bn}中存在三项bp,bq,br(p 即(q+)2=(p+)(r+). ∴(q2-pr)+(2q-p-r)=0. ∵p,q,r∈N*,∴ ∵2=pr,(p-r)2=0,∴p=r与p 所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列. 专题跟踪训练(八) 一、选择题 1.已知z=1+2i,则复数的虚部是( ) A.B.-C.iD.-i [解析] ===-i,该复数的虚部为-,故选B. [答案] B 2.若复数z=1+2i,则等于( ) A.1B.-1C.iD.-i [解析] ==i,故选C. [答案] C 3.已知z(+i)=-i(i是虚数单位),那么复数z对应的点位于复平面内的( ) A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 [解析] z====--,z对应的点位于复平面内的第三象限,故选C. [答案] C 4.(2018·大连模拟)下列推理是演绎推理的是( ) A.由于f(x)=ccosx满足f(-x)=-f(x)对任意的x∈R都成立,推断f(x)=ccosx为奇函数 B.由a1=1,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜出数列{an}的前n项和的表达式 C.由圆x2+y2=1的面积S=πr2,推断: 椭圆+=1的面积S=πab D.由平面三角形的性质推测空间四面体的性质 [解析] 由特殊到一般的推理过程,符合归纳推理的定义;由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程,符合类比推理的定义;由一般到特殊的推理符合演绎推理的定义.A是演绎推理,B是归纳推理,C和D为类比推理,故选A. [答案] A 5.(2018·江西南昌三模)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,如图是实现该算法的程序框图,执行该程序框图,若输入的x=3,n=2,依次输入的a为2,2,5,则输出的s=( ) A.8B.17C.29D.83 [解析] 根据已知的程序框图可得,该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值.模拟程序的运行过程: 输入的x=3,n=2,当输入的a为2时,s=2,k=1,不满足退出循环的条件;当再次输入的a为2时,s=8,k=2,不满足退出循环的条件;当输入的a为5时,s=29,k=3,满足退出循环的条件.故输出的s的值为29,故选C. [答案] C 6.用反证法证明命题: “已知a,b是自然数,若a+b≥3,则a,b中至少有一个不小于2”.提出的假设应该是( ) A.a,b至少有两个不小于2 B.a,b至少有一个不小于2 C.a,b都小于2 D.a,b至少有一个小于2 [解析] 根据反证法可知提出的假设为“a,b都小于2”,故选C. [答案] C 7.(2018·广东汕头一模)执行如图所示的程序框图,输出的结果是( ) A.56B.54C.36D.64 [解析] 模拟程序的运行,可得: 第1次循环,c=2,S=4,c<20,a=1,b=2;第2次循环,c=3,S=7,c<20,a=2,b=3;第3次循环,c=5,S=12,c<20,a=3,b=5;第4次循环,c=8,S=20,c<20,a=5,b=8;第5次循环,c=13,S=33,c<20,a=8,b=13;第6次循环,c=21,S=54,c>20,退出循环,输出S的值为54,故选B. [答案] B 8.(2018·广东茂名一模)执行如图所示的程序框图,那么输出的S值是( ) A.B.-1C.2008D.2 [解析] 模拟程序的运行,可知S=2,k=0;S=-1,k=1;S=,k=2;S=2,k=3;…,可见S的值每3个一循环,易知k=2008对应的S值是第2009个,又2009=3×669+2,∴输出的S值是-1,故选B. [答案] B 9.(2018·湖南长沙模拟)如图,给出的是计算1+++…+的值的一个程序框图,则图中判断框内 (1)处和执行框中的 (2)处应填的语句是( ) A.i>100,n=n+1B.i<34,n=n+3 C.i>34,n=n+3D.i≥34,n=n+3 [解析] 算法的功能是计算1+++…+的值,易知1,4,7,…,100成等差数列,公差为3,所以执行框中 (2)处应为n=n+3,令1+(i-1)×3=100,解得i=34,∴终止程序运行的i值为35,∴判断框内 (1)处应为i>34,故选C. [答案] C 10.(2018·武汉调研)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时,四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下,甲说: “罪犯在乙、丙、丁三人之中”;乙说: “我没有作案,是丙偷的”;丙说: “甲、乙两人中有一人是小偷”;丁说: “乙说的是事实”.经过调查核实,四人中有两人说的是真话,另外两人说的是假话,且这四人中只有一人是罪犯,由此可判断罪犯是( ) A.甲B.乙C.丙D.丁 [解析] 由题可知,乙、丁两人的观点一致,即同真同假,假设乙、丁说的是真话,那么甲、丙两人说的是假话,由乙说的是真话,推出丙是罪犯,由甲说假话,推出乙、丙、丁三人不是罪犯,显然两个结论相互矛盾,所以乙、丁两人说的是假话,而甲、丙两人说的是真话,由甲、丙供述可得,乙是罪犯,故选B. [答案] B 11.(2018·昆明七校调研)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输出S的值为1,则判断框内为( ) A.i>6? B.i>5? C.i≥3? D.i≥4? [解析] 依题意,执行程序框图,进行第一次循环时,S=1×(3-1)+1=3,i=1+1=2;进行第二次循环时,S=3×(3-2)+1=4,i=2+1=3;进行第三次循环时,S=4×(3-3)+1=1,i=4,因此当输出的S的值为1时,判断框内为“i≥4? ”,故选D. [答案] D 12.(2018·吉林一模)祖暅是南北朝时代的伟大数学家,5世纪末提出体积计算原理,即祖暅原理: “幂势既同,则积不容异”.意思是: 夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任何一个平面所截,如果截面面积都相等,那么这两个几何体的体积一定相等.现有以下四个几何体: 图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体,图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球,则满足祖暅原理的两个几何体为( ) A.①②B.①③ C.②④D.①④ [解析] 设截面与底面的距离为h,则①中截面内圆的半径为h,则截面圆环的面积为π(R2-h2);②中截面圆的半径为R-h,则截面圆的面积为π(R-h)2;③中截面圆的半径为R-,则截面圆的面积为π(R-)2;④中截面圆的半径为,则截面圆的面积为π(R2-h2).所以①④中截面的面积相等,故其体积相等,故选D. [答案] D 二、填空题 13.i是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值为________. [解析] ∵(1-2i)(a+i)=2+a+(1-2a)i为纯虚数,∴解得a=-2. [答案] -2 14.如图是一个三角形数阵: 按照以上排列的规律,第16行从左到右的第2个数为________. [解析] 前15行共有=120(个)数,故所求的数为a122==. [答案] 15.(2018·河南三市联考)执行如图所示的程序框图,如果输入m=30,n=18,则输出的m的值为________. [解析] 如果输入m=30,n=18,第一次执行循环体后,r=12,m=18,n=12,不满足输出条件;第二次执行循环体后,r=6,m=12,n=6,不满足输出条件;第三次执行循环体后,r=0,m=6,n=0,满足输出条件,故输出的m值为6. [答案] 6 16.“求方程x+x=1的解”,有如下解题思路: 设f(x)=x+x,则f(x)在R上单调递减,且f (2)=1,所以原方程有唯一解x=2,类比上述解题思路,可得不等式x6-(x+2)>(x+2)3-x2的解集是________. [解析] 因为x6-(x+2)>(x+2)3-x2,所以x6+x2>(x+2)3+(x+2),所以(x2)3+x2>(x+2)3+(x+2).令f(x)=x3+x,所以不等式可转化为f(x2)>f(x+2).因为f(x)在R上单调递增,所以x2>x+2,解得x<-1或x>2.故原不等式的解集为(-∞,-1)∪(2,+∞). [答案] (-∞,-1)∪(2,+∞)
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