二次函数的应用.docx
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二次函数的应用.docx
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二次函数的应用
20.如图,小明在一次高尔夫球争霸赛中,从山坡下O点打出一球向球洞A点飞去,球的飞行路线为抛物线,如果不考虑空气阻力,当球达到最大水平高度12米时,球移动的水平距离为9米.已知山坡OA与水平方向OC的夹角为30°,O、A两点相距8
米.
(1)求出点A的坐标及直线OA的解析式;
(2)求出球的飞行路线所在抛物线的解析式;
(3)判断小明这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞A点?
1.(2012•武汉)如图,小河上有一拱桥,拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE,ED,DB组成,已知河底ED是水平的,ED=16米,AE=8米,抛物线的顶点C到ED的距离是11米,以ED所在的直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系.
(1)求抛物线的解析式;
(2)已知从某时刻开始的40小时内,水面与河底ED的距离h(单位:
米)随时间t(单位:
时)的变化满足函数关系h=﹣
(t﹣19)2+8(0≤t≤40),且当水面到顶点C的距离不大于5米时,需禁止船只通行,请通过计算说明:
在这一时段内,需多少小时禁止船只通行?
9.(2012•安徽)如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球从O点正上方2m的A处发出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x﹣6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m,高度为2.43m,球场的边界距O点的水平距离为18m.
(1)当h=2.6时,求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值范围)
(2)当h=2.6时,球能否越过球网?
球会不会出界?
请说明理由;
(3)若球一定能越过球网,又不出边界,求h的取值范围.
10.(2011•西藏)为欢迎中外游客来西藏旅游观光,拉萨市旅游局决定对拉贡公路段的噶拉山隧道进行美化施工,已知隧道的横截面为抛物线,其最大高度为7米,底部宽度OE为14米,如图以O点为原点,OE所在直线为X轴建立平面直角坐标系.
(1)写出顶点M的坐标并求出抛物线的解析式;
(2)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD,使C,D点在抛物线上,A,B点在地面OE上,设长OA为x米,“脚手架”三根木杆AD,DC,CB,的长度之和为l,当x为何值时,l最大,最大值是多少?
21.(2010•南充)如图,在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球,网球飞行路线是一条抛物线,在地面上落点为B.有人在直线AB上点C(靠点B一侧)竖直向上摆放无盖的圆柱形桶,试图让网球落入桶内.已知AB=4米,AC=3米,网球飞行最大高度OM=5米,圆柱形桶的直径为0.5米,高为0.3米(网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计).
(1)如果竖直摆放5个圆柱形桶时,网球能不能落入桶内?
(2)当竖直摆放圆柱形桶多少个时,网球可以落入桶内?
2.(2012•梧州)某文具店到批发市场选购A、B两种文具,批发价分别为14元/个、10元/个.若该店零售A、B两种文具的每天销量y(个)与零售价x(元/个)都是一次函数y=kx+20的关系,如图所示.
(1)求此一次函数的关系式;
(2)现批发市场进行促销活动,凭会员卡(240元/张)在该批发市场购买所有物品均进行打折优惠,若文具店购买A、B两种文具各50个,问打折小于多少折时,采用购买会员卡的方式合算;
(3)在文具店不购买会员卡的情况下,若A种文具零售价比B种文具零售价高2元/个,求这两种文具每天的销售总利润W(元)与A种文具零售价x(元/个)之间的函数关系式,并说明当A种文具的零售价为多少时,每天的销售利润最大.(说明:
本题不要求写出自变量x的取值范围)
3.(2012•青岛)在“母亲节”期间,某校部分团员参加社会公益活动,准备购进一批许愿瓶进行销售,并将所得利润捐给慈善机构.根据市场调查,这种许愿瓶一段时间内的销售量y(个)与销售单价x(元/个)之间的对应关系如图所示:
(1)试判断y与x之间的函数关系,并求出函数关系式;
(2)若许愿瓶的进价为6元/个,按照上述市场调查的销售规律,求销售利润w(元)与销售单价x(元/个)之间的函数关系式;
(3)在
(2)的条件下,若许愿瓶的进货成本不超过900元,要想获得最大利润,试确定这种许愿瓶的销售单价,并求出此时的最大利润.
5.(2012•聊城)某电子厂商投产一种新型电子产品,每件制造成本为18元,试销过程中发现,每月销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系可以近似地看作一次函数y=﹣2x+100.(利润=售价﹣制造成本)
(1)写出每月的利润z(万元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;
(2)当销售单价为多少元时,厂商每月能获得350万元的利润?
当销售单价为多少元时,厂商每月能获得最大利润?
最大利润是多少?
(3)根据相关部门规定,这种电子产品的销售单价不能高于32元,如果厂商要获得每月不低于350万元的利润,那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元?
6.(2012•菏泽)牡丹花会前夕,我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销.经过调查,得到如下数据:
销售单价x(元/件)
…
20
30
40
50
60
…
每天销售量(y件)
…
500
400
300
200
100
…
(1)把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标,在下面的平面直角坐标系中描出相应的点,猜想y与x的函数关系,并求出函数关系式;
(2)当销售单价定为多少时,工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大?
最大利润是多少?
(利润=销售总价﹣成本总价)
(3)菏泽市物价部门规定,该工艺品销售单价最高不能超过35元/件,那么销售单价定为多少时,工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大?
4.(2012•茂名)每年六七月份我市荔枝大量上市,今年某水果商以5元/千克的价格购进一批荔枝进行销售,运输过程中质量损耗5%,运输费用是0.7元/千克,假设不计其他费用.
(1)水果商要把荔枝售价至少定为多少才不会亏本?
(2)在销售过程中,水果商发现每天荔枝的销售量m(千克)与销售单价x(元/千克)之间满足关系:
m=﹣10x+120,那么当销售单价定为多少时,每天获得的利润w最大?
7.(2012•河北)某工厂生产一种合金薄板(其厚度忽略不计),这些薄板的形状均为正方形,边长在(单位:
cm)在5~50之间.每张薄板的成本价(单位:
元)与它的面积(单位:
cm2)成正比例,每张薄板的出厂价(单位:
元)有基础价和浮动价两部分组成,其中基础价与薄板的大小无关,是固定不变的.浮动价与薄板的边长成正比例.在营销过程中得到了表格中的数据.
薄板的边长(cm)
20
30
出厂价(元/张)
50
70
(1)求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式;
(2)已知出厂一张边长为40cm的薄板,获得的利润为26元(利润=出厂价﹣成本价),
①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式.
②当边长为多少时,出厂一张薄板所获得的利润最大?
最大利润是多少?
参考公式:
抛物线:
y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(﹣
,
)
8.(2012•北海)大润发超市进了一批成本为8元/个的文具盒.调查发现:
这种文具盒每个星期的销售量y(个)与它的定价x(元/个)的关系如图所示:
(1)求这种文具盒每个星期的销售量y(个)与它的定价x(元/个)之间的函数关系式(不必写出自变量x的取值范围);
(2)每个文具盒定价是多少元时,超市每星期销售这种文具盒(不考虑其他因素)可获得的利润最高?
最高利润是多少?
11.(2011•武汉)星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园,其中一边靠墙,另外三边用长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米(如图所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米.
(1)若平行于墙的一边长为y米,直接写出y与x的函数关系式及其自变量x的取值范围;
(2)垂直于墙的一边的长为多少米时,这个苗圃园的面积最大,并求出这个最大值;
(3)当这个苗圃园的面积不小于88平方米时,试结合函数图象,直接写出x的取值范围.
12.(2010•通化)某公司经销一种绿茶,每千克成本为50元.市场调查发现,在一段时间内,销售量w(千克)随销售单价x(元/千克)的变化而变化,具体关系式为:
w=﹣2x+240.设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y(元),解答下列问题:
(1)求y与x的关系式;
(2)当x取何值时,y的值最大?
(3)如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克,公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润,销售单价应定为多少元?
13.(2013•河北)某公司在固定线路上运输,拟用运营指数Q量化考核司机的工作业绩.Q=W+100,而W的大小与运输次数n及平均速度x(km/h)有关(不考虑其他因素),W由两部分的和组成:
一部分与x的平方成正比,另一部分与x的n倍成正比.试行中得到了表中的数据.
次数n
2
1
速度x
40
60
指数Q
420
100
(1)用含x和n的式子表示Q;
(2)当x=70,Q=450时,求n的值;
(3)若n=3,要使Q最大,确定x的值;
(4)设n=2,x=40,能否在n增加m%(m>0)同时x减少m%的情况下,而Q的值仍为420?
若能,求出m的值;若不能,请说明理由.
参考公式:
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是(﹣
,
)
14.(2010•河北)某公司销售一种新型节能产品,现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售.
若只在国内销售,销售价格y(元/件)与月销量x(件)的函数关系式为y=
x+150,成本为20元/件,无论销售多少,每月还需支出广告费62500元,设月利润为w内(元)(利润=销售额﹣成本﹣广告费).
若只在国外销售,销售价格为150元/件,受各种不确定因素影响,成本为a元/件(a为常数,10≤a≤40),当月销量为x(件)时,每月还需缴纳
x2元的附加费,设月利润为w外(元)(利润=销售额﹣成本﹣附加费).
(1)当x=1000时,y= _________ 元/件,w内= _________ 元;
(2)分别求出w内,w外与x间的函数关系式(不必写x的取值范围);
(3)当x为何值时,在国内销售的月利润最大?
若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同,求a的值;
(4)如果某月要将5000件产品全部销售完,请你通过分析帮公司决策,选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大?
参考公式:
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是(
).
15.(2008•河北)研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究,为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果:
第一年的年产量为x(吨)时,所需的全部费用y(万元)与x满足关系式y=
x2+5x+90,投入市场后当年能全部售出,且在甲、乙两地每吨的售价p甲,p乙(万元)均与x满足一次函数关系.(注:
年利润=年销售额﹣全部费用)
(1)成果表明,在甲地生产并销售x吨时,P甲=﹣
x+14,请你用含x的代数式表示甲地当年的年销售额,并求年利润W甲(万元)与x之间的函数关系式;
(2)成果表明,在乙地生产并销售x吨时,P乙=﹣
+n(n为常数),且在乙地当年的最大年利润为35万元.试确定n的值;
(3)受资金、生产能力等多种因素的影响,某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨,根据
(1),
(2)中的结果,请你通过计算帮他决策,选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润?
参考公式:
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是
.
16.(2005•河北)某食品零售店为仪器厂代销一种面包,未售出的面包可退回厂家,以统计销售情况发现,当这种面包的单价定为7角时,每天卖出160个.在此基础上,这种面包的单价每提高1角时,该零售店每天就会少卖出20个.考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是5角.
设这种面包的单价为x(角),零售店每天销售这种面包所获得的利润为y(角).
(1)用含x的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数;
(2)求y与x之间的函数关系式;
(3)当面包单价定为多少时,该零售店每天销售这种面包获得的利润最大?
最大利润为多少?
17.(2005•河北)某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套.经过一段时间的经营发现:
当每套机械设备的月租金为270元时,恰好全部租出.在此基础上,当每套设备的月租金每提高10元时,这种设备就少租出一套,且没租出的一套设备每月需支出费用(维护费、管理费等)20元.设每套设备的月租金为x(元),租赁公司出租该型号设备的月收益(收益=租金收入﹣支出费用)为y(元).
(1)用含x的代数式表示未出租的设备数(套)以及所有未出租设备(套)的支出费;
(2)求y与x之间的二次函数关系式;
(3)当月租金分别为300元和350元时,租赁公司的月收益分别是多少元?
此时应该出租多少套机械设备?
请你简要说明理由;
(4)请把
(2)中所求出的二次函数配方成y=a(x+
)2+
的形式,并据此说明:
当x为何值时,租赁公司出租该型号设备的月收益最大?
最大月收益是多少?
18.(2005•长沙)某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品.已知每件产品的进价为40元,每年销售该种产品的总开支(不含进价)总计120万元.在销售过程中发现,年销售量y(万件)与销售单价x(元)之间存在着如图所示的一次函数关系.
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)试写出该公司销售该种产品的年获利z(万元)关于销售单价x(元)的函数关系式(年获利=年销售额一年销售产品总进价一年总开支).当销售单价x为何值时,年获利最大并求这个最大值;
(3)若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元,借助
(2)中函数的图象,请你帮助该公司确定销售单价的范围.在此情况下,要使产品销售量最大,你认为销售单价应定为多少元?
19.(2010•青岛)某市政府大力扶持大学生创业,李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯.销售过程中发现,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看作一次函数:
y=﹣10x+500.
(1)设李明每月获得利润为w(元),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?
(2)如果李明想要每月获得2000元的利润,那么销售单价应定为多少元?
(3)根据物价部门规定,这种护眼台灯的销售单价不得高于32元,如果李明想要每月获得的利润不低于2000元,那么他每月的成本最少需要多少元?
(成本=进价×销售量)
22.(2010•安徽)春节期间某水库养殖场为适应市场需求,连续用20天时间,采用每天降低水位以减少捕捞成本的办法,对水库中某种鲜鱼进行捕捞、销售.九
(1)班数学建模兴趣小组根据调查,整理出第x天(1≤x≤20且x为整数)的捕捞与销售的相关信息如表:
鲜鱼销售单价(元/kg)
20
单位捕捞成本(元/kg)
5﹣
捕捞量(kg)
950﹣10x
(1)在此期间该养殖场每天的捕捞量与前一天末的捕捞量相比是如何变化的?
(2)假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失,且能在当天全部售出,求第x天的收入y(元)与x(天)之间的函数关系式?
(当天收入=日销售额﹣日捕捞成本)
(3)试说明
(2)中的函数y随x的变化情况,并指出在第几天y取得最大值,最大值是多少?
23.(2010•荆州)国家推行“节能减排,低碳经济”政策后,某环保节能设备生产企业的产品供不应求.若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围,每套产品的生产成本不高于50万元,每套产品的售价不低于90万元.已知这种设备的月产量x(套)与每套的售价y1(万元)之间满足关系式y1=170﹣2x,月产量x(套)与生产总成本y2(万元)存在如图所示的函数关系.
(1)直接写出y2与x之间的函数关系式;
(2)求月产量x的范围;
(3)当月产量x(套)为多少时,这种设备的利润W(万元)最大?
最大利润是多少?
24.(2010•绵阳)如图,八一广场要设计一个矩形花坛,花坛的长、宽分别为200m、120m,花坛中有一横两纵的通道,横、纵通道的宽度分别为3xm、2xm.
(1)用代数式表示三条通道的总面积S;当通道总面积为花坛总面积的
时,求横、纵通道的宽分别是多少?
(2)如果花坛绿化造价为每平方米3元,通道总造价为3168x元,那么横、纵通道的宽分别为多少米时,花坛总造价最低?
并求出最低造价.
(以下数据可供参考:
852=7225,862=7396,872=7569)
25.(2010•武汉)某宾馆有50个房间供游客住宿,当每个房间的房价为每天180元时,房间会全部住满.当每个房间每天的房价每增加10元时,就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用.根据规定,每个房间每天的房价不得高于340元.设每个房间的房价增加x元(x为10的正整数倍).
(1)设一天订住的房间数为y,直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围;
(2)设宾馆一天的利润为w元,求w与x的函数关系式;
(3)一天订住多少个房间时,宾馆的利润最大?
最大利润是多少元?
26.(2011•溧水县二模)某宾馆客房部有60个房间供游客居住,当每个房间的定价为每天200元时,房间可以住满.当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲.对有游客入住的房间,宾馆需对每个房间每天支出30元的各种费用;对无游客入住的房间,宾馆需对每个房间每天支出10元的各种费用.若宾馆希望获利13400元,并保证较高的入住率,每个房间每天的定价应增加多少元?
27.(2009•青岛)某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售,对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查.调查发现这种水产品的每千克售价y1(元)与销售月份x(月)满足关系式y=﹣
x+36,而其每千克成本y2(元)与销售月份x(月)满足的函数关系如图所示.
(1)试确定b、c的值;
(2)求出这种水产品每千克的利润y(元)与销售月份x(月)之间的函数关系式;
(3)“五•一”之前,几月份出售这种水产品每千克的利润最大?
最大利润是多少?
28.(2009•山西)某批发市场批发甲、乙两种水果,根据以往经验和市场行情,预计夏季某一段时间内,甲种水果的销售利润y甲(万元)与进货量x(吨)近似满足函数关系y甲=0.3x;乙种水果的销售利润y乙(万元)与进货量x(吨)近似满足函数关系y乙=ax2+bx(其中a≠0,a,b为常数),且进货量x为1吨时,销售利润y乙为1.4万元;进货量x为2吨时,销售利润y乙为2.6万元.
(1)求y乙(万元)与x(吨)之间的函数关系式.
(2)如果市场准备进甲、乙两种水果共10吨,设乙种水果的进货量为t吨,请你写出这两种水果所获得的销售利润之和W(万元)与t(吨)之间的函数关系式.并求出这两种水果各进多少吨时获得的销售利润之和最大,最大利润是多少?
29.(2012•朝阳区一模)根据对北京市相关的市场物价调研,预计进入夏季后的某一段时间,某批发市场内的甲种蔬菜的销售利润y1(千元)与进货量x(吨)之间的函数y1=kx的图象如图①所示,乙种蔬菜的销售利润y2(千元)与进货量x(吨)之间的函数
的图象如图②所示.
(1)分别求出y1、y2与x之间的函数关系式;
(2)如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共10吨,设乙种蔬菜的进货量为t吨,写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和W(千元)与t(吨)之间的函数关系式,并求出这两种蔬菜各进多少吨时获得的销售利润之和最大,最大利润是多少?
30.(2009•三明)为把产品打入国际市场,某企业决定从下面两个投资方案中选择一个进行投资生产.方案一:
生产甲产品,每件产品成本为a万美元(a为常数,且3<a<8),每件产品销售价为10万美元,每年最多可生产200件;方案二:
生产乙产品,每件产品成本为8万美元,每件产品销售价为18万美元,每年最多可生产120件.另外,年销售x件乙产品时需上交0.05x2万美元的特别关税.在不考虑其它因素的情况下:
(1)分别写出该企业两个投资方案的年利润y1、y2与相应生产件数x(x为正整数)之间的函数关系式,并指出自变量的取值范围;
(2)分别求出这两个投资方案的最大年利润;
(3)如果你是企业决策者,为了获得最大收益,你会选择哪个投资方案?
16.(2008•凉山州)我州有一种可食用的野生菌,上市时,外商李经理按市场价格30元/千克收购了这种野生菌1000千克存放入冷库中,据预测,该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元;但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计310元,而且这类野生菌在冷库中最多保存160天,同时,平均每天有3千克的野生菌损坏不能出售.
(1)设x天后每千克该野生菌的市场价格为y元,试写出y与x之间的函数关系式
(2)若存放x天后,将这批野生菌一次性出售,设这批野生菌的销售总额为P元,试写出P与x之间的函数关系式.
(3)李经理将这批野生茵存放多少天后出售可获得最大利润W元?
(利润=销售总额﹣收购成本﹣各种费用)
15.(2008•南宁)随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展,对花木的需求量逐年提高.某园林专业户计划投资种植花卉及树木,根据市场调查与预测,种植树木的利润y1与投资量x成正比例关系,如图①所示;种植花卉的利润y2与投资量x成二次函数关系,如图②所示(注:
利润与投资量的单位:
万元)
(1)分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式;
(2)如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木,他至少获得多少利润,他能获取的最大利润是多少?
20.某服装经销商甲库存有进价每套400元的A品牌服装1200套,正常销售时每套600元,每月可卖出100套,一年刚好卖完.现市场上流行B品牌服装,此品牌服装进价每套200元,售出每套500元,每月可卖出120套(两种服装的市场行情相互不受影响).目前有一可进B品牌服装的机会,若这一机会错过,估计一年内进不到这种服装,可是经销商手头无流动资金可用,只有折价转让A品牌服装,经与销售商乙协商,达成协议,转让价格(元/套)与转让数量(套)有如下关系:
转让数量(套)
1200
1100
1000
900
800
700
600
500
400
300
200
100
价 格
(元/套)
240
250
260
270
280
290
300
310
320
330
340
350
现在经销商甲面临三种选择:
方案一:
不转让A品牌服装,也不经销B品牌服装;
方案二:
全部转让A品牌服装,用转让得来的资金一次性购入B品牌服装后,经销B品牌服装;
方案三:
为谋求更高利润,部分转让A品牌服装,用转让来的资金一次性购入B品牌服装后,经销B品牌服装,同时也经销A品牌服装.
14.(2008•青海)王亮同学善于改进学习方法,他发现对解题过程进行回顾反思,效果会更好.某一天他利用30分钟时间进行自主学习.假设他用于解题的时间x(单位:
分钟)与学习收益量y的关系如图甲所示,用于回顾反思的时间x(单位:
分
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