三角形重心外心垂心内心的向量表示及其性质58172.docx
- 文档编号:29336664
- 上传时间:2023-07-22
- 格式:DOCX
- 页数:10
- 大小:128.17KB
三角形重心外心垂心内心的向量表示及其性质58172.docx
《三角形重心外心垂心内心的向量表示及其性质58172.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《三角形重心外心垂心内心的向量表示及其性质58172.docx(10页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
三角形重心外心垂心内心的向量表示及其性质58172
向量的童心、垂心、内心、外心、旁心
三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法。
重心:
中、每条边上所对应的中线的交点;
垂心:
中、每条边上所对应的垂线上的交点;
内心:
中、每个角的角平分线的交点(XX的圆心);
外心:
中、每条边上所对应的中垂线的交点(外接圆的圆心)。
一、重心
1、是的重心
若是的重心,则故,
为的重心.
2、P是厶ABC所在平面内任一点.G是厶ABC勺重心.
证明:
PG二PAAG二PBBG=PCCG=3PG二(AGBGCG)(PAPBPC)
TG是厶ABC的重心
•••,即
由此可得•(反之亦然(证略))
3、已知是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足,,则的轨迹一定通过的重心.
例1若为内一点,,则是的()
A.内心B.外心C.垂心D.重心
二、垂心
1、是的垂心
若是(非直角三角形)的垂心,则
故
2、H是面内任一点,点H是厶ABC勺垂心.
由,
同理,.故是勺垂心.(反之亦然(证略))
3、是所在平面上一点,若,则是勺垂心.
由,得,即,所以.同理可证,.
•••是的垂心.如图1.
4、已知是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足,,则动点的轨迹一定通过的垂心.
例2P是厶ABC所在平面上一点,若,则P是厶ABC的()
A.外心B.内心C.重心D.垂心
三、内心
1、是的内心的充要条件是
如果记的单位向量为,则刚才是的内心的充要条件可以写成
►9-►*►F-49-—►
0A・8(3=0B・ee21=OC・e2飞31=0
2、是的内心的充要条件也可以是。
3、若是的内心,则
故或者;
4、已知为所在平面上的一点,且,,.若,则是的内心.
T,,则由题意得,
・・
T与分别为和方向上的单位向量,
•••与平分线共线,即平分.
同理可证:
平分,平分.从而是的内心,如图。
5、已知是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足,,则动点的轨迹一定通过的内心.
由题意得,
二当时,表示的平分线所在直线方向的向量,故动点的轨迹一定通过的内心,如图
例3平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足,则P点的轨迹一定通过的()
(A)外心(B)内心(Q重心(D)垂心
四、外心
1、是的外心,若0是的外心则
SBOC:
SAOC:
SAOB二sinZBOC:
sinNAOC:
sinNAOB二sin2A:
sin2B:
sin2C
则是的外心.
2、已知是所在平面上一点,若,
若,则,二,则是的外心,如图
3、已知是平面上的一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足,,贝S动点的轨迹一定通过的外心,如图2。
例4若为内一点,,贝S是的()
A.内心B.外心C.垂心D.重心
关于“xx定理”的一些问题:
著名的“xx定理”讲的是锐角三角形的“三心”一一外心、重
心、垂心的位置关系:
(1)三角形的外心、重心、垂心三点共线一一“xx线”;
(2)三角形的重心在“xx线”上,且为外一一垂连线的第一个
三分点,即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。
例5在厶ABCxx已知QGH分别是三角形的外心、重心、垂
心。
求证:
QGH三点共线,且QG:
GH=1:
2
证明:
以A为原点,AB所在的直线为x轴,建立如图所示的直角坐标
系。
设A(0,0)、B(x1,0)、C(x2,y2),DE、F分别为ABBCAC
的中点,贝S有:
XiX2y2
由题设可设,
G(七牛予二ah=(X2,y4),QF=(牛-号普-y3)
33222
BC=(X2卡’)
:
AH_BC.AH*BC=x2(x2-xjy2y4=0
X2(x2—'Xj
y2
:
QF_AC
号)*2谆-从。
、,X2(X2—X1)丄y2
y3
2y22
x1
-QH=(X2"2,y4_y3)
(2x2X1
3X2(X2-X1)y2
2y2
X2X1
QGr
x1
匕X2(X2-Xi)y2
3
/2X2-X1
珂石-
=1QH
3
3X2(X2-X1)y2、1/2X2-X1
T-
2y2
3X2(X2-Xi)y2
6y2
2y2
2)
即,故QGH三点共线,且
例6.若OH分别是△ABC的外心和垂心.求证
证明
若厶ABC的垂心为H外心为O,如图.
xxBO并延长交外接圆于D,xx结ADCD.
•••,又垂心为H,,,
•••AH//CDCH//AD
二四边形AHC助平行四边形,
•••,故•
“xx定理”简化:
例7设OGH分别是锐角△ABC的外心、重心、垂心.求证
证明
按重心定理G是厶ABC勺重心
按垂心定理
由此可得.
补充练习一:
1.已知是平面上不共线勺三点,是勺重心,动点P满足
=(++2),则点P一定为()
A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点(非重心)
C.重心D.AB边的中点
2.在同一个平面上有及一点O满足关系式:
,则O为的()
A外心B内心C重心D垂心
2.已知△ABC的三个顶点AB、C及平面内一点P满足:
,
则P为的()
A外心E内心C重心D垂心
3.已知0是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足:
,则P的轨迹一定通过厶ABCF()
A外心E内心C重心D垂心
4.已知△ABCP为三角形所在平面上的动点,且动点P满足:
,贝SP点为三角形的()
A外心E内心C重心D垂心
5.已知△ABCP为三角形所在平面上的一点,且点P满足:
,
则P点为三角形的()
A外心E内心C重心D垂心
6.在三角形ABCxx动点P满足:
,则P点轨迹一定通过厶ABC
的:
()
A外心E内心C重心D垂心
7.已知非零向量与满足,则为
A.xx均不相等的三角形B.直角三角形
C.等腰非等边三角形D.等边三角形
8.的外接圆的圆心为Q两条边上的高的交点为H,,贝卩实数m=。
9•点Q是所在平面内的一点,满足,则点是的()
A三个内角的角平分线的交点B三条边的垂直平分线
的点
C三条中线的交点D三条高的交点
10.已知点G是的重心,过G作直线与AB,AC两边分别交于MN两点,且,,贝聽
证点G是的重心,知Q
得Q有。
又MNG三点共线(A不在直线MNxX,
于是存在,使得,
有=,
得,于是得。
补充练习二:
1、已知0是4ABC内的一点,若,贝S0是4ABCF〔〕
A、重心B、垂心C夕卜心D内心
2、在厶ABCxx有命题①;②;③若,则△ABC为等腰三角形;
④若,则为锐角三角形,上述命题xx正确的是〔〕
A、①②B、①④C②③D②③④
3、已知△ABCxx有和,试判断△ABC的形状。
4、已知△ABCxx,,B是厶ABCxx的最大角,若,试判断厶ABC
的形状。
5、已知0是4ABC所在平面内的一点,满足
,贝SO是厶ABCF〔〕
A、重心B、垂心C外心D内心
6、已知P是厶ABC所在平面内的一动点,且点P满足,则动点P一定过△ABCF〔〕
A、重心B、垂心C外心D内心
7、已知0为平面内一点,A、B、C平面上不共线的三点,动点P满足,则动点P的轨迹一定通过厶ABC的:
〕
A、重心B、垂心C外心D内心
8、已知0是4ABC所在平面内的一点,动点P满足
,则动点P一定过△ABC的〕
A、重心B、垂心C外心D内心
9、已知0是4ABC所在平面内的一点,动点P满足
,则动点P一定过△ABC的〕
A、重心B、垂心C外心D内心
10、已知点G是的重心,过G作直线与ABAC分别相交于MN
两点,且,求证:
补充练习三:
1、已知0是4ABC内的一点,若,贝S0是4ABCF〔〕
A、重心B、垂心C外心D内心
2、若厶ABC的外接圆的圆心为0,半径为1,且,则等于〔〕
A、B、0C、1D、
3、已知0是4ABC所在平面上的一点,AB、C、所对的过分别是a、b、c若,贝卩0是厶ABC的:
〕
A、重心B、垂心C外心D内心
4、已知P是厶ABC所在平面内与A不重合的一点,满足,则P
是厶ABC—〕
A、重心B、垂心C外心D内心
5、平面上的三个向量、、满足,求证:
△ABC为正三角形。
6、在厶ABCxx0为xx线AM上的一个动点,若AW2,求
三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质
58172
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 三角形 重心 外心 内心 向量 表示 及其 性质 58172