高考北京版高考数学 11 集合的概念及运算.docx
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高考北京版高考数学11集合的概念及运算
专题一 集合与常用逻辑用语
【真题典例】
1.1 集合的概念及运算
挖命题
【考情探究】
考点
内容解读
5年考情
预测热度
考题示例
考向
关联考点
1.集合的含义与表示
1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系
2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题
2018课标Ⅱ,2
集合中元素个数的判断
集合间的基本关系、集合的基本运算
★☆☆
2.集合间的基本关系
1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集
2.在具体情境中,了解全集与空集的含义
2011北京,1
集合间的基本关系
二次不等式的解法
★☆☆
3.集合的基本运算
1.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集
2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集
3.能使用韦恩(Venn)图表示集合间的关系及运算
2018北京,1
2017北京,1
2016北京,1
2016北京文,14
2015北京文,1
2014北京,1
2013北京,1
集合的交、并、补运算
不等式和方程的解法
★★★
分析解读 1.掌握集合的表示方法,能判断元素与集合的“属于”关系、集合与集合之间的包含关系.
2.深刻理解、掌握子、交、并、补集的概念,熟练掌握集合的交、并、补的运算和性质,能用韦恩(Venn)图表示集合的关系及运算.
3.本部分内容在高考试题中多以选择题或填空题的形式出现,以函数、不等式等知识为载体,以集合语言和符号语言为表现形式,考查数学思想方法.
4.本节内容在高考中分值约为5分,属中低档题.
破考点
【考点集训】
考点一 集合的含义与表示
1.(2018课标Ⅱ,2,5分)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为( )
A.9 B.8 C.5 D.4
答案 A
2.(2012课标全国,1,5分)已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则B中所含元素的个数为( )
A.3 B.6 C.8 D.10
答案 D
考点二 集合间的基本关系
3.已知集合A={0,a},B={x|-1 A.-1 B.0 C.1 D.2 答案 C 4.若集合A={x|0 A.A∩B=⌀ B.A∪B=R C.A⊆B D.B⊆A 答案 C 考点三 集合的基本运算 5.已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={1,2,4},B={1,3,5},则(∁UA)∩B=( ) A.{1} B.{3,5} C.{1,6} D.{1,3,5,6} 答案 B 6.若集合A={x|-3 A.{x|-3 答案 B 7.设全集U={x|x<5},集合A={x|x-2≤0},则∁UA=( ) A.{x|x≤2} B.{x|x>2} C.{x|2 答案 C 8.(2016北京,1,5分)已知集合A={x||x|<2},B={-1,0,1,2,3},则A∩B=( ) A.{0,1} B.{0,1,2} C.{-1,0,1} D.{-1,0,1,2} 答案 C 炼技法 【方法集训】 方法1 利用数轴和韦恩(Venn)图解决集合问题的方法 1.(2014大纲全国,2,5分)设集合M={x|x2-3x-4<0},N={x|0≤x≤5},则M∩N=( ) A.(0,4] B.[0,4) C.[-1,0) D.(-1,0] 答案 B 2.(2014重庆,11,5分)设全集U={n∈N|1≤n≤10},A={1,2,3,5,8},B={1,3,5,7,9},则(∁UA)∩B= . 答案 {7,9} 方法2 集合间的基本关系的解题方法 3.已知集合M={-1,0,1},N={x|x=ab,a,b∈M,且a≠b},则集合M与集合N的关系是( ) A.M=N B.M∩N=N C.M∪N=N D.M∩N=⌀ 答案 B 方法3 解决与集合有关的新定义问题的方法 4.S(A)表示集合A中所有元素的和,且A⊆{1,2,3,4,5},若S(A)能被3整除,则符合条件的非空集合A的个数是( ) A.10 B.11 C.12 D.13 答案 B 过专题 【五年高考】 A组 自主命题·北京卷题组 1.(2018北京,1,5分)已知集合A={x||x|<2},B={-2,0,1,2},则A∩B=( ) A.{0,1} B.{-1,0,1} C.{-2,0,1,2} D.{-1,0,1,2} 答案 A 2.(2017北京,1,5分)若集合A={x|-2 A.{x|-2 答案 A 3.(2017北京文,1,5分)已知全集U=R,集合A={x|x<-2或x>2},则∁UA=( ) A.(-2,2) B.(-∞,-2)∪(2,+∞) C.[-2,2] D.(-∞,-2]∪[2,+∞) 答案 C 4.(2014北京,1,5分)已知集合A={x|x2-2x=0},B={0,1,2},则A∩B=( ) A.{0} B.{0,1} C.{0,2} D.{0,1,2} 答案 C 5.(2013北京,1,5分)已知集合A={-1,0,1},B={x|-1≤x<1},则A∩B=( ) A.{0} B.{-1,0} C.{0,1} D.{-1,0,1} 答案 B 6.(2011北京,1,5分)已知集合P={x|x2≤1},M={a}.若P∪M=P,则a的取值范围是( ) A.(-∞,-1] B.[1,+∞) C.[-1,1] D.(-∞,-1]∪[1,+∞) 答案 C 7.(2016北京文,14,5分)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况: 第一天售出19种商品,第二天售出13种商品,第三天售出18种商品;前两天都售出的商品有3种,后两天都售出的商品有4种.则该网店 ①第一天售出但第二天未售出的商品有 种; ②这三天售出的商品最少有 种. 答案 ①16 ②29 B组 统一命题、省(区、市)卷题组 考点一 集合的含义与表示 (2016四川,1,5分)设集合A={x|-2≤x≤2},Z为整数集,则集合A∩Z中元素的个数是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案 C 考点二 集合间的基本关系 (2015重庆,1,5分)已知集合A={1,2,3},B={2,3},则( ) A.A=B B.A∩B=⌀ C.A⫋B D.B⫋A 答案 D 考点三 集合的基本运算 1.(2017课标Ⅰ,1,5分)已知集合A={x|x<1},B={x|3x<1},则( ) A.A∩B={x|x<0} B.A∪B=R C.A∪B={x|x>1} D.A∩B=⌀ 答案 A 2.(2017课标Ⅲ,1,5分)已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B中元素的个数为( ) A.3 B.2 C.1 D.0 答案 B 3.(2017课标Ⅱ,2,5分)设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B=( ) A.{1,-3} B.{1,0} C.{1,3} D.{1,5} 答案 C 4.(2016课标Ⅰ,1,5分)设集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A∩B=( ) A. B. C. D. 答案 D 5.(2016课标Ⅱ,2,5分)已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z},则A∪B=( ) A.{1} B.{1,2} C.{0,1,2,3} D.{-1,0,1,2,3} 答案 C 6.(2015课标Ⅱ,1,5分)已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)<0},则A∩B=( ) A.{-1,0} B.{0,1} C.{-1,0,1} D.{0,1,2} 答案 A 7.(2014课标Ⅱ,1,5分)设集合M={0,1,2},N={x|x2-3x+2≤0},则M∩N=( ) A.{1} B.{2} C.{0,1} D.{1,2} 答案 D 8.(2014课标Ⅰ,1,5分)已知集合A={x|x2-2x-3≥0},B={x|-2≤x<2},则A∩B=( ) A.[-2,-1] B.[-1,2) C.[-1,1] D.[1,2) 答案 A 9.(2018江苏,1,5分)已知集合A={0,1,2,8},B={-1,1,6,8},那么A∩B= . 答案 {1,8} C组 教师专用题组 1.(2018天津,1,5分)设全集为R,集合A={x|0 A.{x|0 答案 B 2.(2017山东,1,5分)设函数y= 的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A∩B=( ) A.(1,2) B.(1,2] C.(-2,1) D.[-2,1) 答案 D 3.(2017天津,1,5分)设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x∈R|-1≤x≤5},则(A∪B)∩C=( ) A.{2} B.{1,2,4} C.{1,2,4,6} D.{x∈R|-1≤x≤5} 答案 B 4.(2017浙江,1,5分)已知集合P={x|-1 A.(-1,2) B.(0,1) C.(-1,0) D.(1,2) 答案 A 5.(2016天津,1,5分)已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x-2,x∈A},则A∩B=( ) A.{1} B.{4} C.{1,3} D.{1,4} 答案 D 6.(2016山东,2,5分)设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2-1<0},则A∪B=( ) A.(-1,1) B.(0,1) C.(-1,+∞) D.(0,+∞) 答案 C 7.(2016浙江,1,5分)已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪(∁RQ)=( ) A.[2,3] B.(-2,3] C.[1,2) D.(-∞,-2]∪[1,+∞) 答案 B 8.(2015福建,1,5分)若集合A={i,i2,i3,i4}(i是虚数单位),B={1,-1},则A∩B等于( ) A.{-1} B.{1} C.{1,-1} D.⌀ 答案 C 9.(2015浙江,1,5分)已知集合P={x|x2-2x≥0},Q={x|1 A.[0,1) B.(0,2] C.(1,2) D.[1,2] 答案 C 10.(2014浙江,1,5分)设全集U={x∈N|x≥2},集合A={x∈N|x2≥5},则∁UA=( ) A.⌀ B.{2} C.{5} D.{2,5} 答案 B 11.(2014陕西,1,5分)设集合M={x|x≥0,x∈R},N={x|x2<1,x∈R},则M∩N=( ) A.[0,1] B.[0,1) C.(0,1] D.(0,1) 答案 B 12.(2014四川,1,5分)已知集合A={x|x2-x-2≤0},集合B为整数集,则A∩B=( ) A.{-1,0,1,2} B.{-2,-1,0,1} C.{0,1} D.{-1,0} 答案 A 13.(2014山东,2,5分)设集合A={x||x-1|<2},B={y|y=2x,x∈[0,2]},则A∩B=( ) A.[0,2] B.(1,3) C.[1,3) D.(1,4) 答案 C 14.(2014辽宁,1,5分)已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=( ) A.{x|x≥0} B.{x|x≤1} C.{x|0≤x≤1} D.{x|0 答案 D 15.(2018北京,20,14分)设n为正整数,集合A={α|α=(t1,t2,…,tn),tk∈{0,1},k=1,2,…,n}.对于集合A中的任意元素α=(x1,x2,…,xn)和β=(y1,y2,…,yn),记 M(α,β)= [(x1+y1-|x1-y1|)+(x2+y2-|x2-y2|)+…+(xn+yn-|xn-yn|)]. (1)当n=3时,若α=(1,1,0),β=(0,1,1),求M(α,α)和M(α,β)的值; (2)当n=4时,设B是A的子集,且满足: 对于B中的任意元素α,β,当α,β相同时,M(α,β)是奇数;当α,β不同时,M(α,β)是偶数.求集合B中元素个数的最大值; (3)给定不小于2的n,设B是A的子集,且满足: 对于B中的任意两个不同的元素α,β,M(α,β)=0.写出一个集合B,使其元素个数最多,并说明理由. 解析 (1)因为α=(1,1,0),β=(0,1,1), 所以M(α,α)= [(1+1-|1-1|)+(1+1-|1-1|)+(0+0-|0-0|)]=2, M(α,β)= [(1+0-|1-0|)+(1+1-|1-1|)+(0+1-|0-1|)]=1. (2)设α=(x1,x2,x3,x4)∈B,则M(α,α)=x1+x2+x3+x4. 由题意知x1,x2,x3,x4∈{0,1},且M(α,α)为奇数, 所以x1,x2,x3,x4中1的个数为1或3.所以 B⊆{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),(0,1,1,1),(1,0,1,1),(1,1,0,1),(1,1,1,0)}. 将上述集合中的元素分成如下四组: (1,0,0,0),(1,1,1,0);(0,1,0,0),(1,1,0,1);(0,0,1,0),(1,0,1,1);(0,0,0,1),(0,1,1,1). 经验证,对于每组中两个元素α,β,均有M(α,β)=1. 所以每组中的两个元素不可能同时是集合B的元素. 所以集合B中元素的个数不超过4. 又集合{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}满足条件, 所以集合B中元素个数的最大值为4. (3)设Sk={(x1,x2,…,xn)|(x1,x2,…,xn)∈A,xk=1,x1=x2=…=xk-1=0}(k=1,2,…,n), Sn+1={(x1,x2,…,xn)|x1=x2=…=xn=0}, 所以A=S1∪S2∪…∪Sn+1. 对于Sk(k=1,2,…,n-1)中的不同元素α,β, 经验证,M(α,β)≥1. 所以Sk(k=1,2,…,n-1)中的两个元素不可能同时是集合B的元素. 所以B中元素的个数不超过n+1. 取ek=(x1,x2,…,xn)∈Sk且xk+1=…=xn=0(k=1,2,…,n-1). 令B={e1,e2,…,en-1}∪Sn∪Sn+1,则集合B的元素个数为n+1,且满足条件. 故B是一个满足条件且元素个数最多的集合. 16.(2014北京,20,13分,0.23)对于数对序列P: (a1,b1),(a2,b2),…,(an,bn),记T1(P)=a1+b1,Tk(P)=bk+max{Tk-1(P),a1+a2+…+ak}(2≤k≤n),其中max{Tk-1(P),a1+a2+…+ak}表示Tk-1(P)和a1+a2+…+ak两个数中最大的数. (1)对于数对序列P: (2,5),(4,1),求T1(P),T2(P)的值; (2)记m为a,b,c,d四个数中最小的数,对于由两个数对(a,b),(c,d)组成的数对序列P: (a,b),(c,d)和P': (c,d),(a,b),试分别对m=a和m=d两种情况比较T2(P)和T2(P')的大小; (3)在由五个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中,写出一个数对序列P使T5(P)最小,并写出T5(P)的值.(只需写出结论) 解析 (1)T1(P)=2+5=7, T2(P)=1+max{T1(P),2+4}=1+max{7,6}=8. (2)T2(P)=max{a+b+d,a+c+d}, T2(P')=max{c+d+b,c+a+b}. 当m=a时,T2(P')=max{c+d+b,c+a+b}=c+d+b. 因为a+b+d≤c+b+d,且a+c+d≤c+b+d,所以T2(P)≤T2(P'). 当m=d时,T2(P')=max{c+d+b,c+a+b}=c+a+b. 因为a+b+d≤c+a+b,且a+c+d≤c+a+b,所以T2(P)≤T2(P'). 所以无论m=a还是m=d,T2(P)≤T2(P')都成立. (3)数对序列P: (4,6),(11,11),(16,11),(11,8),(5,2)的T5(P)值最小,T1(P)=10,T2(P)=26,T3(P)=42,T4(P)=50,T5(P)=52. 思路分析 (1)根据题目中所给定义和已知的数对序列,直接求值; (2)利用最小值m的不同取值,对求出的结果比较大小;(3)依据数对序列的顺序对结果的影响,写出结论. 评析本题考查了集合的表示、不等式、合情推理等知识;考查综合分析,归纳抽象,推理论证能力;熟练运用归纳的方法,通过特例分析理解抽象概念是解题的关键. 17.(2016北京,20,13分)设数列A: a1,a2,…,aN(N≥2).如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有ak (1)对数列A: -2,2,-1,1,3,写出G(A)的所有元素; (2)证明: 若数列A中存在an使得an>a1,则G(A)≠⌀; (3)证明: 若数列A满足an-an-1≤1(n=2,3,…,N),则G(A)的元素个数不小于aN-a1. 解析 (1)G(A)的元素为2和5. (2)证明: 因为存在an使得an>a1, 所以{i∈N*|2≤i≤N,ai>a1}≠⌀. 记m=min{i∈N*|2≤i≤N,ai>a1}, 则m≥2,且对任意正整数k 因此m∈G(A).从而G(A)≠⌀. (3)证明: 当aN≤a1时,结论成立. 以下设aN>a1. 由 (2)知G(A)≠⌀. 设G(A)={n1,n2,…,np},n1 则 < < <…< . 对i=0,1,…,p,记Gi={k∈N*|ni }. 如果Gi≠⌀,取mi=minGi,则对任何1≤k < . 从而mi∈G(A)且mi=ni+1. 又因为np是G(A)中的最大元素,所以Gp=⌀. 从而对任意np≤k≤N,ak≤ 特别地,aN≤ . 对i=0,1,…,p-1, ≤ . 因此 = +( - )≤ +1. 所以aN-a1≤ -a1= ( - )≤p. 因此G(A)的元素个数p不小于aN-a1. 思路分析 (1)先理解G时刻的新定义,然后对 (1)中具体的有穷数列直接套用定义解题,并感受解题规律; (2)根据an>a1,研究两者之间数列的变化趋势;(3)抓住数列中相邻两项之差不超过1的特征,完成证明. 18.(2015北京,20,13分)已知数列{an}满足: a1∈N*,a1≤36,且an+1= (n=1,2,…).记集合M={an|n∈N*}. (1)若a1=6,写出集合M的所有元素; (2)若集合M存在一个元素是3的倍数,证明: M的所有元素都是3的倍数; (3)求集合M的元素个数的最大值. 解析 (1)6,12,24. (2)证明: 因为集合M存在一个元素是3的倍数,所以不妨设ak是3的倍数. 由an+1= 可归纳证明对任意n≥k,an是3的倍数. 如果k=1,则M的所有元素都是3的倍数. 如果k>1,因为ak=2ak-1或ak=2ak-1-36, 所以2ak-1是3的倍数,于是ak-1是3的倍数. 类似可得,ak-2,…,a1都是3的倍数. 从而对任意n≥1,an是3的倍数,因此M的所有元素都是3的倍数. 综上,若集合M存在一个元素是3的倍数,则M的所有元素都是3的倍数. (3)由a1≤36,an= 可归纳证明an≤36(n=2,3,…). 因为a1是正整数,a2= 所以a2是2的倍数, 从而当n≥3时,an是4的倍数. 如果a1是3的倍数,由 (2)知对所有正整数n,an是3的倍数, 因此当n≥3时,an∈{12,24,36}, 这时M的元素个数不超过5. 如果a1不是3的倍数,由 (2)知对所有正整数n,an不是3的倍数, 因此当n≥3时,an∈{4,8,16,20,28,32}, 这时M的元素个数不超过8. 当a1=1时,M={1,2,4,8,16,20,28,32}有8个元素. 综上可知,集合M的元素个数的最大值为8. 思路分析 (1)利用已知的递推关系写出数列的前几项,根据周期性写出集合M的所有元素; (2)利用已知条件以及递推公式的特征进行证明;(3)根据an的范围,分a1是3的倍数和a1不是3的倍数两种情况讨论,继而得集合M的元素个数的最大值. 19.(2014天津,20,14分)已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M={0,1,2,…,q-1},集合A={x|x=x1+x2q+…+xnqn-1,xi∈M,i=1,2,…,n}. (1)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A; (2)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1,其中ai,bi∈M,i=1,2,…,n.证明: 若an 解析 (1)当q=2,n=3时,M={0,1},A={x|x=x1+x2·2+x3·22,xi∈M,i=1,2,3}. 可得,A={0,1,2,3,4,5,6,7}. (2)证明: 由s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1
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