江苏省南京市六校联合体学年高二下学期期末考试数学文含答案.docx
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江苏省南京市六校联合体学年高二下学期期末考试数学文含答案
南京市六校联合体高二期末试卷
数学(文科)2018.6
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
1.已知集合A={1,3},B={1,4,5},则A∪B=▲.
2.已知复数=(4+3i)2(i为虚数单位),则的实部为▲.
3.一个原命题的逆否命题是“若=1,则2-2<0”,那么该原命题是▲命题.(填“真”或“假”).
4.函数f()=的定义域是▲.
5.以双曲线-y2=1的左焦点为焦点的抛物线的标准方程为▲.
6.函数f()=2(0<<1),其值域为D,在区间(-1,2)上随机取一个数,则∈D的概率是▲.
输出s
7.某地区为了了解居民每天的饮水状况,采用分层抽样的方法随机抽取100名年龄在[10,20),[20,30),…,[50,60]年龄段的市民进行问卷调查,由此得到样本的频率分布直方图如图所示,则[30,40)年龄段应抽取的人数为▲.
N
Y
第7题
第7题
8.如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的s值等于▲.
9.观察下列各式:
a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a8+b8等于▲.
10.从集合A={-2,-1,1,2}中随机取一个数为m,从集合B={-1,1,2,3}中随机取一个数为n,则方程+=1表示双曲线的概率为▲.
11.设椭圆C:
+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆C上的点,
PF2⊥F1F2,∠PF1F2=θ,若cosθ=,则椭圆C的离心率为▲.
12.函数f()满足f(+2)=f()(∈R),且在区间[-1,1)上,f()=,
则f(f(2019))=▲.
13.已知函数f()是定义在R上的奇函数,当≥0时,f()=(|-1|+|-2|-3).若函数g()=f()-a恰有三个不同的零点,则实数a的取值范围为▲.
14.已知函数f()=(∈R),其中e为自然对数的底数,g()=-2+2a-2(a∈R),
若A={|f(g())>e}=R,则a的取值范围是▲.
二、解答题:
本大题共6小题,共计90分。
请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(本小
题满分14分)
已知二次函数f()满足f
(1)=1,f(-1)=5,且图象过原点.
(1)求二次函数f()的解析式;
(2)已知集合U=[1,4],B={y|y=,∈U},求
.
16.(本小
题满分14分)
已知命题p:
指数函数f()=(a-1)在定义域上单调递减,
命题q:
函数g()=lg(a2-2+)的定义域为R.
(1)若q是真命题,求实数a的取值范围;
(2)若“p∧q”为假命题“p∨q”为真命题,求实数a的取值范围.
17.(本小
题满分14分)
已知函数f()=a-(-1)a-(a>0且a≠1)是奇函数.
(1)求实数的值;
(2)若f
(1)<0,解关于的不等式f(2+2)+f(-4)<0.
18.(本小
题满分16分)
某礼品店要制作一批长方体包装盒,材料是边长为60cm的正方形纸板.如图所示,先在其中相邻两个角处各切去一个边长是cm的正方形,然后在余下两个角处各切去一个长、宽分别为30cm、cm的矩形,再将剩余部分沿图中的虚线折起,做成一个有盖的长方体包装盒.
(1)求包装盒的容积V()关于的函数表达式,并求函数的定义域;
(2)当为多少cm时,包装盒的容积最大?
最大容积是多少cm3?
19.(本小
题满分16分)
已知离心率为的椭圆+=1(a>b>0),经过点A(1,),过A作直线
与椭圆相交于另一点B,与
轴相交于点D,取线段AB的中点P,以线段DP为直径作圆与直线OP相交于点Q.
(1)求椭圆的方程;
(2)若P点坐标为(,),求直线DQ的方程;
(3)求证:
直线DQ过定点,并求出该定点坐标.
20.(本小
题满分16分)
已知函数f()=a+ln的图象在(1,f
(1))处的切线与直线2-y+1=0平行.
(1)求实数a的值;
(2)若f()≤(2+-1)2对任意>0恒成立,求实数的取值范围;
(3)当n>m>1(m,n∈N*)时,证明:
n>m.
高二期末考试
数学试题答案
1、{1,3,4,5}2、73、真4、[-5,1]5、y2=﹣46、
7、358、-39、4710、11、3-212、2
13、(﹣1,1)14、(﹣1,1)
15.解:
(1)设f()=a2+b+c(a≠0),因为f
(1)=1,f(﹣1)=5,且图象过原点,所以……………………………………………………………………………3分
解得所以f()=32﹣2.………………………………………………………7分
(2)y==3﹣,当∈[1,4]时,函数y=3﹣是增函数,当=1时,y取得最小值1,当=4时,y取得最大值,所以B=[1,],………………………………………………11分
=(,4]………………………………………………………………………………14分
16解:
(1)若命题q是真命题,则有①当a=0时定义域为(﹣∞,0),不合题意………1分
②当a≠0时,由已知可得………………………………………………4分
解得:
a>,故所求实数a的取值范围为(,+∞).…………………………………6分
(2)若命题p为真命题,1<a<2……………………………………………………………8分
若p为真q为假,则,得到1<a≤………………………………………10分
若p为假q为真,则得到a≥2.………………………………………12分
综上所述,
的取值范围是1<a≤或a≥2.………………………………………14分
17解:
(1)因为f()是奇函数,且f(0)有意义,所以f(0)=0,所以1-(-1)=0,
=2.…………………………………………………………………………………………………2分
当=2时,f()=a-a-,f(-)=a--a,f()+f(-)=0,所以f()是奇函数,
=2符合题意.…………………………………………………………………………………4分
(2)因为f
(1)<0,所以a->0,即0<a<1,………………………………………………6分
f()=alna+a-lna,因为0<a<1,所以f()<0,所以f()是R上的单调减函数.…9分
由f(2+2)<-f(-4)=f(4-),得2+2>4-,即2+3-4>0,…………………12分
解得<-4或>1,故所求不等式的解集为(-∞,-4)∪(1,+∞).…………………14分
18.
(1)因为包装盒高h=,底面矩形的长为60-2,宽为30-,
所以铁皮箱的体积V()=(60-2)·(30-)·=23-1202+1800.……………………………4分
函数的定义域为(0,30).……………………………………………………………………6分
(2)由
(1)得,V()=62-240+1800=6(-10)(-30),
令V()=0,解得=10.……………………………………………………………………8分
当∈(0,10)时,V()>0,函数V()单调递增;
当∈(10,30)时,V()<0,函数V()单调递减.………………………………………12分
所以函数V()在=10处取得极大值,这个极大值就是函数V()的最大值.
又V(10)=8000cm3.…………………………………………………………………………15分
答:
切去的正方形边长=10cm时,包装盒的容积最大,最大容积是8000cm3.……16分
19.
(1)因为所以:
a=2,b=1椭圆的方程为:
+y2=1……………………4分
(2)因为点P的坐标为(,),所以AB的方程为:
y=-+,
所以D点坐标为(0,)………………………………………………………………………5分
又因为以DP为直径的圆与OP交于Q,所以DQ⊥OP又OP=,所以DQ=-2…7分
所以DQ的方程为:
y=-2+…………………………………………………………8分
(3)由题意知直线l的斜率存在,可设l的方程为:
y-=(-1),
所以D点坐标为(0,-)……………………………………………………………………9分
又消去y后得:
(42+1)2+4(-2)+4(-)2-4=0
所以:
A+B=-,………………………………………………………………10分
所以P=,yP=,所以OP=-………………………………………12分
又DQ⊥OP,所以DQ=4……………………………………………………………………14分
所以DQ的方程为:
y-+=4,即y-=(4-1)………………………………15分
所以直线DQ恒过定点(,)……………………………………………………………16分
20.解:
(1)求导数,得f′()=a+ln+1.
由已知,得f′
(1)=2,即a+ln1+1=2∴a=1.………………………………………3分
(2)由
(1)知f()=+ln,
∴f()≤(2+-1)2对任意>0成立⇔2+-1≥对任意>0成立.…………5分
令g()=,则问题转化为求g()的最大值.…………………………………………6分
求导得g′()=-,令g′()=0,解得=1.……………………………………………7分
当0<<1时,g′()>0,∴g()在(0,1)上是增函数;
当>1时,g′()<0,∴g()在(1,+∞)上是减函数.
∴g()在=1处取得最大值g
(1)=1.
∴2+-1≥1即≥1或≤-2为所求.………………………………………………9分
(3)证明:
令h()=,则h′()=…………………………………………11分
由
(2)知,≥1+ln(>0),∴h′()≥0,∴h()是(1,+∞)上的增函数.
∵n>m>1,∴h(n)>h(m),即>,………………………………………………14分
∴mnlnn-nlnn>mnlnm-mlnm,即mnlnn+mlnm>mnlnm+nlnn,
∴lnnmn+lnmm>lnmmn+lnnn,即ln(mnn)m>ln(nmm)m,∴(mnn)m>(nmm)m。
∴n>m.…………………………………………………………………………16分
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