小学奥数王峰数论5余数问题.docx
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小学奥数王峰数论5余数问题
教案
教师:
__王鑫___学生:
_王峰上课时间:
学生签字:
____________
数论(五)余数问题
【知识点概述】
一、带余除法的定义及性质:
1.带余除法的定义:
一般地,如果a是整数,b是整数(b≠0),若有
a÷b=q……r,也就是a=b×q+r,0≤r<b;
(1)当
时:
我们称a可以被b整除,q称为a除以b的商或完全商
(2)当
时:
我们称a不可以被b整除,q称为a除以b的商或不完全商
2.和余数相关的一些重要性质:
(以下a,b,c均为自然数)
性质1:
余数小于除数
性质2:
性质3:
a与b的和除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之和,或这个和除以c的余数。
例如:
23,16除以5的余数分别是3和1,所以23+16=39除以5的余数等于4,即前两个余数的和3+1.
当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如:
23,19除以5的余数分别是3和4,所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数,即2.
性质4:
a与b的乘积除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数的积,或者这个积除以c所得的余数。
例如:
23,16除以5的余数分别是3和1,所以
除以5的余数等于
。
当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如:
23,19除以5的余数分别是3和4,所以
除以5的余数等于
除以5的余数,即2.
【注】对于上述性质3,4,我们都可以推广到多个自然数的情形,尤其是性质4,对于我们求一个数的n次方除以一个数的余数时非常的有用。
二、数的同余
1.同余定义
若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数,那么称a、b对于模m同余,用式子表示为:
a≡b(modm)
同余式读作:
a同余于b,模m
由同余的性质,我们可以得到一个非常重要的推论:
若两个数a,b除以同一个数m得到的余数相同,则a,b的差一定能被m整除
用式子表示为:
如果有a≡b(modm),
那么一定有a-b=mk,k是整数,即m|(a-b)
这个性质非常重要,是将同余问题与前面学过的整除问题相联系的纽带,一定要熟练掌握。
例如:
(1)
,因为
(2)
,因为
(3)
,因为
由上面的(3)式我们可以得到启发,a可被m整除,可用同余式表示为
例如,我们表示a是一个偶数,可以写为
表示b为一个奇数,可以写为
我们在书写同余式的时候,总会想起我们最熟悉的等式,但是两者又不是完全相同,在某些性质上相似。
2.同余式的性质(其中a、b、c、d是整数,而m是自然数。
)
性质1:
a≡a(modm)(反身性)
性质2:
若a≡b(modm),那么b≡a(modm)(对称性)
性质3:
若a≡b(modm),b≡c(modm),那么a≡c(modm)(传递性)
性质4:
a≡b(modm),c≡d(modm),那么a±c≡b±d(modm)(可加减性)
性质5:
若a≡b(modm),c≡d(modm),那么ac≡bd(modm)(可乘性)
性质6:
若a≡b(modm),那么an≡bn(modm),(其中n为自然数)
性质7:
若ac≡bc(modm),(c,m)=1,那么a≡b(modm)
三.弃九法
在公元前9世纪,有个印度数学家名叫花拉子米,写有一本《花拉子米算术》,他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行,由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确,他们的检验方式是这样进行的:
例如:
检验算式
1234除以9的余数为1
1898除以9的余数为8
18922除以9的余数为4
678967除以9的余数为7
178902除以9的余数为0
这些余数的和除以9的余数为2
而等式右边和除以9的余数为3,那么上面这个算式一定是错的。
上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法性质,即如果这个等式是正确的,那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同。
而我们在求一个自然数除以9所得的余数时,常常不用去列除法竖式进行计算,只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了,在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去,所以这种方法被称作“弃九法”。
原理:
任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。
以后我们求一个整数被9除的余数,只要先计算这个整数各数位上数字之和,再求这个和被9除的余数即可。
利用十进制的这个特性,不仅可以检验几个数相加、相减,对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用
注意:
弃九法只能知道原题错误或有可能正确,但不能保证一定正确。
例如:
检验算式
时,
5除以9的余数为5,6除以9的余数为6,7除以9的余数为7,8除以9的余数为8,9除以9的余数为0,余数的和为26,除以9的余数为8,等式右边的和53除以9的余数也为8,虽然余数相同,但是很容易发现
,所以弃九法只能告诉我们算式“一定是错的”或者“有可能是对的”。
但是反过来,如果一个算式一定是正确的,那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。
这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。
四、中国剩余定理
1.中国古代趣题:
中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题:
“今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何?
”答曰:
“二十三。
”
此类问题我们可以称为“物不知其数”类型,又被称为“韩信点兵”。
韩信点兵又称为中国剩余定理,相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少,韩信答说,每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。
刘邦茫然而不知其数。
我们先考虑下列的问题:
假设兵不满一万,每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人,则兵有多少?
首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945(注:
因为5、9、13、17为两两互质的整数,故其最小公倍数为这些数的积),然后再加3,得9948(人)。
孙子算经的作者及确实著作年代均不可考,不过根据考证,著作年代不会在晋朝之后,以这个考证来说上面这种问题的解法,中国人发现得比西方早,所以这个问题的推广及其解法,被称为中国剩余定理。
中国剩余定理(ChineseRemainderTheorem)在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。
2.核心思想和方法:
对于这一类问题,我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法,下面我们就以《孙子算经》中的问题为例,分析此方法:
今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何?
题目中我们可以知道,一个自然数分别除以3,5,7后,得到三个余数分别为2,3,2.那么我们首先构造一个数字,使得这个数字除以3余1,并且还是5和7的公倍数。
先由
,即5和7的最小公倍数出发,先看35除以3余2,不符合要求,那么就继续看5和7的“下一个”倍数
是否可以,很显然70除以3余1
类似的,我们再构造一个除以5余1,同时又是3和7的公倍数的数字,显然21可以符合要求。
最后再构造除以7余1,同时又是3,5公倍数的数字,45符合要求,那么所求的自然数可以这样计算:
,其中k是从1开始的自然数。
也就是说满足上述关系的数有无穷多,如果根据实际情况对数的范围加以限制,那么我们就能找到所求的数。
例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”,
那么我们可以计算
得到所求
如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”,
我们只要对最小的23加上[3,5,7]即可,即23+105=128.
【习题精讲】
【例1】(难度级别※)
一个两位数除310,余数是37,求这样的两位数。
【例2】(难度级别※)
有一个整数,除39,51,147所得的余数都是3,求这个数。
【例3】(难度级别※)
求478×296×351除以17的余数。
【例4】(难度级别※)
求
的余数
【例5】(难度级别※)
用一个自然数去除另一个自然数,商为40,余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933,求这2个自然数各是多少?
【例6】(难度级别※)
用弃九法检验乘法算式5483×9117=49888511是否正确。
【例7】(难度级别※※)
已知2008被一些自然数去除,所得的余数都是10,那么这样的自然数共有多少个?
【例8】(难度级别※※)
号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?
【例9】(难度级别※※)
一个小于200的自然数,被7除余2,被8除余3,被9除余1,这个数是多少?
【例10】(难度级别※※)
一堆糖果,如果每2块分一堆剩1个,每3块分一堆剩1个….每10个分一堆也剩1个,且这堆糖果的个数在99-5000之间,求这堆糖果的个数?
【例11】(难度级别※※※)
求自然数
的个位数字。
【例12】(难度级别※※※)
自然数
的个位数字是多少?
【例13】(难度级别※※※)
若有一数介于300与400之间,以3除剩1,以8除剩5,以11除剩4。
问此数为何?
【例14】(难度级别※※※)
有一个自然数,用它分别去除63,90,130都有余数,3个余数的和是25.这3个余数中最大的一个是多少?
【例15】(难度级别※※※)
一个数去除551,745,1133,1327这4个数,余数都相同.问这个数最大可能是多少?
【例16】(难度级别※※※※)
将1,2,3,…,30从左往右依次排列成一个51位数,这个数被11除的余数是多少?
【例17】(难度级别※※※※)
已知三个连续自然数,它们都小于2002,其中最小的一个自然数能被13整除,中间的一个自然数能被15整除,最大的一个自然数能被17整除。
那么,最小的一个自然数是多少?
【例18】(难度级别※※※※)
已知
,求n被9整除后所得的商的个位数字是几?
【例19】(难度级别※※※※※)
对于任意7个不同的整数,证明:
其中一定存在2个数的和或差是10的倍数。
【例20】(难度级别※※※※※)
有2个三位数相乘的积是一个五位数,积的后四位是1031,第一个数各个位的数字之和是10,第二个数的各个位数字之和是8,求两个三位数的和
【作业】
1、求19992000÷7的余数
2、被除数、除数、商与余数之和是2143,已知商是33,余数是52,求被除数和除数。
(四中小升初选拔试题)
3、用弃九法检验算式运算是否正确:
1144192613÷28997=39459
4、有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数的可能范围。
5、一个两位数除以13的不完全商是6,除以11所得的余数是6,求这个两位数。
6、有一列数排成一行,其中第一个数是3,第二个数是10,从第三个数开始,每个数恰好是前两个数的和,那么第1997个数被3除所得的余数是多少?
7、若a为自然数,证明
8、
除以7的余数是多少(2008年101中学考题)
9、某个自然数被187除余52,被188除余52,那么这个自然数被22除的余数是多少?
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- 小学 奥数王峰 数论 余数 问题