小升初数学几何五大几何模型.docx
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小升初数学几何五大几何模型
.
五大几何模型
知识框架
一、等积模型
AB
CD
①等底等高的两个三角形面积相等;
②两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比;
两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比;
③夹在一组平行线之间的等积变形,如右图
S△ACDS△BCD;
反之,如果S△ACDS△BCD,那么可知直线
AB平行于CD.
④等底等高的两个平行四边形面积相等
(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形
);
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;
⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比;两个平行四边形底相等,面积比等于
它们的高之比.
二、共角定理〔鸟头定理〕
;.
.
两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形.
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.
S△ABC:
S△ADE(ABAC):
(ADAE)
(1)
(2)(3)(4)
三、蝴蝶定理
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理〞):
①S1:
S2
S4:
S3或者S1S3
S2
S4②
AO:
OC
1
2
43
S
S:
S
S
蝴蝶定理为我们提供了解决不规那么四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型,一方面可
以使不规那么四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对
应的对角线的比例关系.
D
A
S1
S2
S4
O
S3
B
C
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理〞):
①S1:
S3a2:
b2
②S1:
S3:
S2:
S4
a2:
b2:
ab:
ab;
③S的对应份数为ab
2.
A
a
D
S1
S2
S4
O
S3
B
b
C
④
四、相似模型
(一)金字塔模型
(二)沙漏模型
;.
.
AEFD
A
DFE
B
GC
BG
C
①AD
AE
DE
AF;
AB
AC
BC
AG
②S△ADE:
S△ABC
AF2:
AG2.
所谓的相似三角形,就是形状相同,大小不同的三角形(只要其形状不改变,不管大小怎样改
变它们都相似),与相似三角形相关的常用的性质及定理如下:
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例,并且这个比例等于它们的相似比;
⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方;
⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
三角形中位线定理:
三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半.
相似三角形模型,给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具.
在小学奥数里,出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形.
五、共边定理〔燕尾定理〕
有一条公共边的三角形叫做共边三角形。
;.
.
SPAB
PM
共边定理:
设直线AB与PQ交于点M,那么S
QM
QAB
特殊情况:
当PQ∥AB时,易知△PAB与△QAB的高相等,从而S△PAB=S△QAB
例题精讲
一、三角形相似模型
【例1】图30-10是一个正方形,其中所标数值的单位是厘米.问:
阴影局部的面积是多少
;.
.
平方厘米?
10
1010
【稳固】如图,四边形ABCD和EFGH都是平行四边形,四边形ABCD的面积是16,BG:
GC
3:
1,
那么四边形EFGH的面积________.
AE
D
F
H
B
GC
【例2】
三角形ABC的面积为a,AF:
FC
2:
1,E是BD的中点,且EF∥BC,交CD于G,
求阴影局部的面积.
A
D
E
F
G
B
C
【稳固】图中ABCD是边长为12cm的正方形,从G到正方形顶点C、D连成一个三角形,
这个三角形在AB上截得的EF长度为4cm,那么三角形GDC的面积是多少?
;.
.
G
AEFB
DC
【例3】
如图,O是矩形一条对角线的中点,图中已经标出两个三角形的面积为
3
和4,那么
阴影局部的一块直角三角形的面积是多少?
D
A
4
O
E
3
CFB
【稳固】ABCD是平行四边形,面积为
72平方厘米,E、F分别为AB、BC的中点,那么图中
阴影局部的面积为
平方厘米.
A
D
E
O
M
B
F
C
二、蝴蝶模型
【例4】如下图,长方形ABCD内的阴影局部的面积之和为70,AB=8,AD=15四边形EFGO的面积为______.
;.
.
A
15
D
8
O
E
G
B
C
F
【稳固】如图5所示,矩形ABCD的面积是24平方厘米,、三角形
ADM与三角形BCN的面
积之和是7.8平方厘米,那么四边形PMON的面积是
平方厘米。
D
P
C
N
M
O
A
B
【例5】如图,ABC是等腰直角三角形,DEFG是正方形,线段AB与CD相交于K点.正方形DEFG的面积48,AK:
KB1:
3,那么BKD的面积是多少?
DAG
K
BEFC
【稳固】如下图,ABCD是梯形,ADE面积是,ABF的面积是9,BCF的面积是27.那么阴影AEC面积是多少?
;.
.
AD
E
F
BC
【例6】如图,在一个边长为6的正方形中,放入一个边长为2的正方形,保持与原正方形的边平行,现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点,形成了图中
的阴影图形,那么阴影局部的面积为.
【稳固】下列图中,四边形ABCD都是边长为1的正方形,E、F、G、H分别是AB,BC,CD,
DA的中点,如果左图中阴影局部与右图中阴影局部的面积之比是最简分数m,那么,
n
(mn)的值等于.
AHDAHD
EGEG
BFCBFC
三、共角定理〔燕尾定理〕
【例7】如下图,在四边形ABCD中,AB3BE,AD3AF,四边形AEOF的面积是12,那
么平行四边形BODC的面积为________.
;.
.
A
F
EOD
BC
【稳固】正六边形A1,A2,A3,A4,A5,A6的面积是2021平方厘米,B1,B2,B3,B4,B5,B6
分别是正六边形各边的中点;那么图中阴影六边形的面积是平方厘米.
A1
B1
A2
B6
B2
A6
A3
B5
B3
A5
B4
A4
【例8】四边形ABCD,CHFG为正方形,S甲:
S乙1:
8,a与b是两个正方形的边长,求
a:
b?
AB
a
甲
D
CG
O
乙
E
HbF
【稳固】如图,三角形ABC的面积是1,BDDEEC,CFFGGA,三角形ABC被分成9部
分,请写出这9局部的面积各是多少?
;.
.
A
G
F
BDEC
【例9】如右图,面积为1的△ABC中,BD:
DE:
EC1:
2:
1,CF:
FG:
GA1:
2:
1,
AH:
HI:
IB1:
2:
1,求阴影局部面积.
A
HG
IF
BDEC
【稳固】如图,ABC的面积为1,点D、E是BC边的三等分点,点F、G是AC边的三等分点,那么四边形JKIH的面积是多少?
C
FD
J
GE
KH
I
AB
【例10】如图,面积为l的三角形ABC中,D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA的三等分点,求阴影局部面积.
;.
.
A
DI
EH
BC
FG
【稳固】如图,面积为l的三角形ABC中,D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA的三等
分点,求中心六边形面积.
A
DI
EH
BFGC
课堂检测
【随练1】如图,在正方形ABCD中,E、F分别在BC与CD上,且CE
2BE,CF
2DF,连
接BF、DE,相交于点G,过G作MN、PQ得到两个正方形
MGQA和PCNG,设正
方形MGQA的面积为S1,正方形PCNG的面积为S2,那么S1:
S2
___________.
A
Q
D
F
M
G
N
BEP
C
【随练2】如下图,三角形AEF,三角形BDF,三角形BCD,都是正三角形,其中AE:
BD=1:
3,三角形AEF的面积是1.求阴影局部的面积。
;.
.
AE
F
IJ
GH
BD
C
家庭作业
【作业1】如图,正六边形面积为6,那么阴影局部面积为多少?
【作业2】如图,D是BC中点,E是CD的中点,F是AC的中点.三角形ABC由①~⑥
这6局部组成,其中②比⑤多6平方厘米.那么三角形ABC的面积是多少平方厘
米?
A
③
F
①②⑤
B
④
⑥
C
D
E
【作业3】如下列图,在梯形ABCD中,AB与CD平行,且CD2AB,点E、F分别是AD和BC
的中点,阴影四边形EMFN的面积是54平方厘米,那么梯形ABCD的面积是
平方厘米.
;.
.
AB
M
EF
N
DC
【作业4】一个等腰直角三角形和一个正方形如图摆放,①、②、③这三块的面积比依次为
1:
4:
41.那么,④、⑤这两块的面积比是______.
②
①
③⑤
④
【作业5】下列图中,四边形ABCD都是边长为1的正方形,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的重点,如果左图中阴影局部与右图中阴影局部的面积之比是最简分数
m,那么,m+n的值等于__________。
n
H
AHDAD
EGEG
BFCBFC
〔A〕5〔B〕7〔C〕8〔D〕12
;.
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- 小升初 数学 几何 模型