完整word版第七章线性变换总结篇高等代数docx.docx
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第7章
线性变换
7.1知识点归纳与要点解析
一.线性变换的概念与判别
1.线性变换的定义
数域
P上的线性空间
V
的一个变换
称为线性变换,如果对
V
中任意的元素
和数
域P中的任意数
k,都有:
,k
k
。
注:
V的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。
2.线性变换的判别
设为数域P上线性空间V的一个变换,那么:
为V的线性变换klkl,,V,k,lP
3.线性变换的性质
设
V是数域P上的线性空间,
为V的线性变换,
1,
2,
s,
V。
性质1.
0
0,
;
性质2.
若1,
2,,
s线性相关,那么
1
2,
s
也线性相关。
性质3.
设线性变换
为单射,如果1,
2,
s线性无关,那么
1,
2,,s
也线性无关。
注:
设V是数域P上的线性空间,
1,
2,
m,1,
2,
s是V中的两个向量组,
如果:
1
c11
1
c12
2
c1s
s
2
c21
1
c22
2
c2s
s
m
cm11cm2
2
cmss
记:
c11
c21
cm1
1,2,
m
1,2,
c12
c22
cm2
s
c1s
c2s
cms
于是,若dimV
n,1,
2,,
n是V的一组基,
是V
的线性变换,
1,2,,m是
V中任意一组向量,如果:
1
b11
1
b122
b1nn
2
b211
b222
b2nn
m
bm1
1
bm2
2
bmn
n
记:
1,2,
m
1
2
m
那么:
b11
b21
cm1
1,2,
m
1,2,
b12
b22
cm2
n
b1n
b2n
cmn
b11
b21
cm1
设B
b12
b22
cm2
,1
2,
m是矩阵
B的列向量组,如果
i,
i,
i是
1
2
r
b1n
b2n
cmn
1,2,
m的一个极大线性无关组,那么
i1,
i2
ir
就是
1
2
m的一个极大线性无关组,因此向量组
1
2
m
的
秩等于秩B。
4.线性变换举例
(1)设V是数域P上的任一线性空间。
零变换:
0
0,
V;
恒等变换:
V。
幂零线性变换:
设
是数域P上的线性空间V的线性变换,如果存在正整数
m,使
得
m
0,就称
为幂零变换。
幂等变换:
设
是数域P上的线性空间V的线性变换,如果
2
为幂等
,就称
变换。
(2)V
Pn,任意取定数域
P上的一个n级方阵A,令:
x1
x1
x1
x2
A
x2
x2
Pn。
xn
xn
xn
(3)V
Px,Dfx
fx,fxPx。
(4)V
Pnn,Aaij
是V中一固定矩阵,
X
AX,XPnn。
二.线性变换的运算、矩阵
1.加法、乘法、数量乘法
(1)定义:
设V
是数域
P上的线性空间,
是V的两个线性变换,定义它们的和
、乘积
分别为:
对任意的
V
,
任取
k
P,定义数量乘积
k
为:
对任意的
V
k
k
的负变换
-
为:
对任意的
V
-
=-
则
、、k
与-
都是V
的线性变换。
(2)LV
={
为V
的线性变换
},按线性变换的加法和数乘运算做成数域
P上的维线
性空间。
2.线性变换的矩阵
(1)定义:
设V是数域P上的n维线性空间,
是V的线性变换,
1,2,,n是V的
一组基,如果:
1
a11
1
a12
2
a1n
n
2
a21
1
a22
2
a2n
n
n
an11
an22
annn
a11
a21
an1
那么称矩阵A
a12
a22
an2
为线性变换
在基
1,
2,
n下的矩阵。
a1n
a2n
ann
此时:
1,
2,,
n
1,
2
n
1,
2,
nA
(2)线性变换的和、乘积、数量乘积、逆变换、负变换及线性变换多项式的矩阵:
设1,2,
n是数域P上的n维线性空间V的一组基,
LV,设
它们在
1,
2,
n下的矩阵分别为
A,B。
1)f:
LV
Pnn,
A
是数域P上的线性空间
LV
到数域P上的线性空
间Pnn的同构映射,因此
LV
Pnn。
2)
可逆
A可逆
3)①
、
与-
在基
1,
2,
n下的矩阵分别为
A
B,AB与A;
②
任取k
P,k
在基
1,
2,
n下的矩阵为kA;
③
若
为可逆线性变换,则
1在基
1,
2,
n下的矩阵为A1;
④
设f
x
amxm
am1xm1
a1x
a0为数域P上的任一多项式,那么
f
m
am1
m1
a1
a0
为V的恒等变换)在基
am
(
1,
2,
n下的矩阵为:
f
A
amAm
am1Am1
a1Aa0En。
三.特征值、特征向量与对角矩阵
1.矩阵的特征值与特征向量
(1)矩阵的特征多项式:
设A为n级复方阵,将多项式fA
EnA称为A的特征
多项式。
注:
1)若A
aij
,则:
nn
fA
EnA
n
1a11
a22
n1
n
ann
1A
n
1tr
A
n1
1
n
A
2)将En
A称为矩阵A的特征矩阵,
EnA
0称为矩阵A的特征方程。
(2)定义:
n级方阵A的特征多项式
fA
En
A在复数域上的所有根都叫做其特
征值(根),设
0C是A的特征值,齐次线性方程组
EnAX
0的每个非零
解都叫做矩阵
A的属于其特征值
0的特征向量。
(3)求法:
1)求f
A
E
A在复数域上的所有根
1,
2,
n(重根按重数计算);
n
2)对
kk
1,
n解齐次线性方程组
kEn
AX
0,得其一个基础解系
k1,
k2,
k,lk
(lk
n
秩
kEn
A),则矩阵A的属于特征值
k的全部特
征向量为sk1
k1
sk2
k2
sk,lkk,lk
,其中sk1,sk2,
sk,lk为不全为零的任意常
数(复数)。
(4)重要结论:
1)设
0
C是A的特征值,X0是A的属于其特征值
0的特征向量,g
x为一复
系数多项式。
①g
0
为g
A的特征值,X0
为g
A的属于特征值
g
0
的特征向量;
②如果A还是可逆矩阵,那么
1
A
分别为A
1和A的特征值,X0
为A1的属
与
0
0
于特征值1
的特征向量,
X0为A的属于特征值
A
的特征向量,
0
0
③若1,
2,
n是矩阵A的全部特征值,那么g
1
g
2
g
n
就是gA
的全部特征值,如果
A还是可逆矩阵,则
1
1
1
为A1的全部特征值,
1
2
n
A
A
A
为A的全部特征值;
1
2
n
2)若
1,2,
n是矩阵A的全部特征值,那么trA
1
2
n,
A
1
2
n。
2.线性变换的特征值与特征向量
(1)定义:
设
是数域P上的线性空间V的线性变换,
0P,若存在0
V,使得
0
,就称0为的一个特征值,
为
的一个属于特征值
0的特征向量。
(2)线性变换的特征多项式
设是数域P上的n维线性空间V的线性变换,任取V的一组基
1,
2,,n,设
在该基下的矩阵为A,称矩阵为A的特征多项式
EnA为
的特征多项式,记为
f
En
A,即线性变换的特征多项式为其在任意基下矩阵的特征多项式。
(3)求法:
设
是数域P上的n维线性空间V的线性变换。
1)取定V的一组基
1,
2,
n,求出
在该基下的矩阵
A;
2)求f
En
A在P中的所有根
1,
2,
m(0
m
n,重根按重数计算,
且m
0表示
无特征值)。
3)若
m
0
,对
k
t
s
解齐次线性方程组
kEn
AX
0
,得其一个基础
1
解系
k1,k2,
k,lk(lk
n
秩
kEn
A
),则线性变换
的属于特征值k
的
全部特征向量为
1,2,,n
sk1
k1sk2k2
sk,lkk,lk
,其中
sk1,
sk2,
skk为,l
P中不全为零的任意常数。
3.矩阵相似
A,B
P
P
T
1
是数域
上的两个n级方阵,如果存在数域
上的n级可逆矩阵
,
()定义:
设
使得T
1AT
B,就称矩阵A相似于矩阵B,记为A
B。
(2)性质:
1)矩阵相似是等价关系,即:
设
A,B,C都是n级方阵,那么:
①A
A;②
若A
B,那么B
A;③
若A
B且B
C,则A
C。
2)若A
B,那么
fA
En
A
fB
En
B,因此矩阵A与矩阵B
有
相同的特征值,相同的迹(trAtrB),相同的行列式(AB)。
3)两个实对称阵相似它们有相同的特征值。
(3)有限维线性空间上的线性变换在不同基底下的矩阵彼此相似。
(4)若T1ATB,那么BkT1AkT,kZ。
4.线性变换与矩阵可对角化
(1)矩阵可对角化
1)设A是n级方阵,如果存在
n级可逆矩阵T,使得T
1AT为对角阵,则称
A可对
角化。
A
A
2
可对角化
有n个线性无关特征向量。
)n级方阵
3)如果n级方阵A有n个不同的特征值,则A可对角化。
4)设1,2,
k是n级方阵A的所有不同的特征值,
fAEnA
l1
l2
lk
1
2
k
称
12
为
的代数重数;
li
i,,,k
i
称si
n
秩
iEn
A
i1,2,
k为
i的几何重数;
si
li
i
1,2,
k
;
n级方阵A可对角化
对i
1,2,,k都有
i的代数重数=i的几何重数。
注:
1.
设齐次线性方程组
i
E
AX
0的解空间为
Wi,则s
dimW
n
i
i
2.
称Vi
Cn
A
i
为n级方阵A的属于特征值
i的特征子空间,那么
si
dim
Vi
(2)线性变换可对角化
1)设
是数域P上的n维线性空间V的线性变换,如果存在V的一组基,使得
在
该基下的矩阵为对角阵,就称
可对角化。
2)数域P上的n维线性空间V的线性变换
可对角化
有n个线性无关特征向
3
量。
P
V
是数域
上的n维线性空间
的线性变换,如果有n个不同的特征值,则
)设
可对角化。
4)设
是数域P上的n维线性空间V的线性变换,
在V的一组基下的矩阵为
A,
设1,2,,k是n级方阵A的所有不同的特征值。
①若
1,
2,
kP,那么:
可对角化
对i1,2,
k都有
i的代数重数=
i的几何重数。
②若
1,
2,
k不全在数域
P中,则
不可对角化。
注:
i的几何重数=dimVi
,其中Vi
V
的特征子空间。
i为的属于特征值i
四.线性变换的值域与核
1.定义:
设
是数域
P上的线性空间V的线性变换,将
1
0
V
0,
V
V
分别称为线性变换
的核与值域(
1
0与
V也分别记为ker
与Im)。
2.线性变换的秩与零度:
V与10都是V的子空间,将dimV与dim10
分别称为的秩和零度。
3.有限维线性空间的线性变换的值域与核
设V是数域P上的n维线性空间,
是V的线性变换,
1,2,
n为V的一组基,
在该基下的矩阵为A,r秩
A,a11a22
an
n
V。
a1
1)
10
a2
是齐次线性方程组
AX
0的解。
an
2)若
1,2,
nr是AX
0的一个基础解系,那么
1,2,,nr(其中
k
1,
2,
n
kk
1,2,
n
r)就是
10的一组基,于是:
dim
10
n
r
10
L
1
2
,
nr
k
k
22
k
nrnr
k
k
,k
nr
P
11
1
2
因此
的秩和零度为n
r。
3)V
L
1
2,
n
于是
1,
2,,
n
的一个极大线性无关组就是
V的一组基,而
1
2
n
的秩等于秩
A=r,所以dim
V
r,即
的秩为
秩A=r。
4)dimVdim
10n。
3.求法:
设V是数域P上的n维线性空间,是V的线性变换。
1)10的求法:
①取定V的一组基
1,2,,
n,求出
在该基下的矩阵
A;
②解齐次线性方程组
AX
0
,得其一个基础解系
1,
2,
nr(r秩A);
③令k
1,
2,
n
k
k
1,2,
nr,得
10
的一组基
1,2,
nr
,
10
L
1,2,,nr
k11
k22
knrnrk1,k2,,knrP
2)V的求法:
①取定V的
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