随机变量及其分布解答题真题1分析.docx
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随机变量及其分布解答题真题1分析
随机变量及其分布解答题真题【1】
一.解答题(共30小题)
1.(2015•湖南)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖,抽奖方法是:
从装有2个红球A1,A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1,a2和2个白球b1,b2的乙箱中,各随机摸出1个球,若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不中奖.
(Ⅰ)用球的标号列出所有可能的摸出结果;
(Ⅱ)有人认为:
两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率,你认为正确吗?
请说明理由.
2.(2015•北京)某超市随机选取1000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.
甲
乙
丙
丁
100
√
×
√
√
217
×
√
×
√
200
√
√
√
×
300
√
×
√
×
85
√
×
×
×
98
×
√
×
×
(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率;
(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率;
(3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?
3.(2015•天津)为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加,现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名,乙协会的运动员5名,其中种子选手3名,从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
(Ⅰ)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A发生的概率;
(Ⅱ)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.
4.(2015•四川)某市A、B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女生,B中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人,女生中随机抽取3人组成代表队.
(Ⅰ)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率;
(Ⅱ)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛,设X表示参赛的男生人数,求X的分布列和数学期望.
5.(2015•安徽)已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.
(Ⅰ)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;
(Ⅱ)已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:
元),求X的分布列和均值(数学期望)
6.(2015•湖南)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额商品后即可抽奖,每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球,在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖,若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.
(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;
(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望.
7.(2015•福建)某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定,小王到银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定.
(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率;
(2)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X,求X的分布列和数学期望.
8.(2015春•咸宁校级期中)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判,设各局中双方获胜的概率均为
,各局比赛的结果都相互独立,第1局甲当裁判.
(Ⅰ)求第4局甲当裁判的概率;
(Ⅱ)X表示前4局中乙当裁判的次数,求X的数学期望.
9.(2015•陕西)某校新、老校区之间开车单程所需时间为T,T只与道路通畅状况有关,对其容量为100的样本进行统计,结果如下:
T(分钟)
25
30
35
40
频数(次)
20
30
40
10
(Ⅰ)求T的分布列与数学期望ET;
(Ⅱ)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.
10.(2015•重庆)端午节吃粽子是我国的传统习俗,设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同,从中任意选取3个.
(Ⅰ)求三种粽子各取到1个的概率;
(Ⅱ)设X表示取到的豆沙粽个数,求X的分布列与数学期望.
11.(2015•山东)若n是一个三位正整数,且n的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n为“三位递增数”(如137,359,567等).在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数,且只能抽取一次,得分规则如下:
若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除,参加者得0分,若能被5整除,但不能被10整除,得﹣1分,若能被10整除,得1分.
(Ⅰ)写出所有个位数字是5的“三位递增数”;
(Ⅱ)若甲参加活动,求甲得分X的分布列和数学期望EX.
12.(2014•四川)一个盒子里装有三张卡片,分别标记有1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同,随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c.
(Ⅰ)求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率;
(Ⅱ)求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率.
13.(2014•广西)设每个工作日甲,乙,丙,丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.
(Ⅰ)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;
(Ⅱ)实验室计划购买k台设备供甲,乙,丙,丁使用,若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1,求k的最小值.
14.(2014•陕西)在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1000元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:
作物产量(kg)
300
500
概率
0.5
0.5
作物市场价格(元/kg)
6
10
概率
0.4
0.6
(Ⅰ)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润,求X的分布列;
(Ⅱ)若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率.
15.(2014•安徽)甲乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完5局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为
,乙获胜的概率为
,各局比赛结果相互独立.
(Ⅰ)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率;
(Ⅱ)记X为比赛决胜出胜负时的总局数,求X的分布列和均值(数学期望).
16.(2014•辽宁)一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.
(Ⅰ)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率;
(Ⅱ)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X的分布列,期望E(X)及方差D(X).
17.(2014•四川)一款击鼓小游戏的规则如下:
每盘游戏都需要击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐:
每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得﹣200分).设每次击鼓出现音乐的概率为
,且各次击鼓出现音乐相互独立.
(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列;
(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?
(3)玩过这款游戏的许多人都发现.若干盘游戏后,与最初分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.
18.(2014•江苏)盒中共有9个球,其中有4个红球,3个黄球和2个绿球,这些球除颜色外完全相同.
(1)从盒中一次随机取出2个球,求取出的2个球颜色相同的概率P;
(2)从盒中一次随机取出4个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1,x2,x3,随机变量X表示x1,x2,x3中的最大数,求X的概率分布和数学期望E(X).
19.(2014•重庆)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片,其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3,从盒中任取3张卡片.
(Ⅰ)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;
(Ⅱ)X表示所取3张卡片上的数字的中位数,求X的分布列与数学期望.(注:
若三个数字a,b,c满足a≤b≤c,则称b为这三个数的中位数.)
20.(2014•湖南)某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为
和
.现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B,设甲、乙两组的研发相互独立.
(Ⅰ)求至少有一种新产品研发成功的概率;
(Ⅱ)若新产品A研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品B研发成功,预计企业可获利润100万元,求该企业可获利润的分布列和数学期望.
21.(2014•山东)乒乓球台面被网分成甲、乙两部分,如图,甲上有两个不相交的区域A,B,乙被划分为两个不相交的区域C,D,某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球,规定:
回球一次,落点在C上记3分,在D上记1分,其它情况记0分.对落点在A上的来球,小明回球的落点在C上的概率为
,在D上的概率为
;对落点在B上的来球,小明回球的落点在C上的概率为
,在D上的概率为
.假设共有两次来球且落在A,B上各一次,小明的两次回球互不影响,求:
(Ⅰ)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率;
(Ⅱ)两次回球结束后,小明得分之和ξ的分布列与数学期望.
22.(2014•福建)为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励,规定:
每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.
(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元,其余3个均为10元,求:
①顾客所获的奖励额为60元的概率;
②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;
(2)商场对奖励总额的预算是60000元,并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成,或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由.
23.(2014•湖北)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站,过去50年的水文资料显示,水库年入流量X(年入流量:
一年内上游来水与库区降水之和.单位:
亿立方米)都在40以上,其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年,将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,假设各年的年入流量相互独立.
(Ⅰ)求未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率;
(Ⅱ)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制,并有如下关系:
年入流量X
40<X<80
80≤X≤120
X>120
发电机最多可运行台数
1
2
3
若某台发电机运行,则该台年利润为5000万元,若某台发电机未运行,则该台年亏损800万元,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?
24.(2014•广西)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4,各人是否需使用设备相互独立.
(Ⅰ)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;
(Ⅱ)X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望.
25.(2014•江西)随机将1,2,…,2n(n∈N*,n≥2)这2n个连续正整数分成A、B两组,每组n个数,A组最小数为a1,最大数为a2;B组最小数为b1,最大数为b2;记ξ=a2﹣a1,η=b2﹣b1.
(1)当n=3时,求ξ的分布列和数学期望;
(2)C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”,求事件C发生的概率P(C);
(3)对
(2)中的事件C,
表示C的对立事件,判断P(C)和P(
)的大小关系,并说明理由.
26.(2014•新课标I)从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:
(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数
和样本方差s2(同一组中数据用该组区间的中点值作代表);
(Ⅱ)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数
,σ2近似为样本方差s2.
(i)利用该正态分布,求P(187.8<Z<212.2);
(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求EX.
附:
≈12.2.
若Z﹣N(μ,σ2)则P(μ﹣σ<Z<μ+σ)=0.6826,P(μ﹣2σ<Z<μ+2σ)=0.9544.
27.(2013•陕西)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛,由500名大众评委现场投票决定歌手名次,根据年龄将大众评委分为5组,各组的人数如下:
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
(Ⅰ)为了调查评委对7位歌手的支持状况,现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委,其中从B组中抽取了6人.请将其余各组抽取的人数填入下表.
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
抽取人数
6
(Ⅱ)在(Ⅰ)中,若A,B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手,现从这两组被抽到的评委中分别任选1人,求这2人都支持1号歌手的概率.
28.(2013•广东模拟)甲、乙两人进行射击比赛,在一轮比赛中,甲、乙各射击一发子弹.根据以往资料知,甲击中8环,9环,10环的概率分别为0.6,0.3,0.1,乙击中8环,9环,10环的概率分别为0.4,0.4,0.2.
设甲、乙的射击相互独立.
(Ⅰ)求在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中环数的概率;
(Ⅱ)求在独立的三轮比赛中,至少有两轮甲击中的环数多于乙击中环数的概率.
29.(2013•辽宁)现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.
(Ⅰ)求张同学至少取到1道乙类题的概率;
(Ⅱ)已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是
,答对每道乙类题的概率都是
,且各题答对与否相互独立.用X表示张同学答对题的个数,求X的分布列和数学期望.
30.(2013•浙江)设袋子中装有a个红球,b个黄球,c个蓝球,且规定:
取出一个红球得1分,取出一个黄球2分,取出蓝球得3分.
(1)当a=3,b=2,c=1时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和.求ξ分布列;
(2)从该袋子中任取(且每球取到的机会均等)1个球,记随机变量η为取出此球所得分数.若
,求a:
b:
c.
古今名言
敏而好学,不耻下问——孔子
业精于勤,荒于嬉;行成于思,毁于随——韩愈
兴于《诗》,立于礼,成于乐——孔子
己所不欲,勿施于人——孔子
读书破万卷,下笔如有神——杜甫
读书有三到,谓心到,眼到,口到——朱熹
立身以立学为先,立学以读书为本——欧阳修
读万卷书,行万里路——刘彝
黑发不知勤学早,白首方悔读书迟——颜真卿
书卷多情似故人,晨昏忧乐每相亲——于谦
书犹药也,善读之可以医愚——刘向
莫等闲,白了少年头,空悲切——岳飞
发奋识遍天下字,立志读尽人间书——苏轼
鸟欲高飞先振翅,人求上进先读书——李苦禅
立志宜思真品格,读书须尽苦功夫——阮元
非淡泊无以明志,非宁静无以致远——诸葛亮
熟读唐诗三百首,不会作诗也会吟——孙洙《唐诗三百首序》
书到用时方恨少,事非经过不知难——陆游
问渠那得清如许,为有源头活水来——朱熹
旧书不厌百回读,熟读精思子自知——苏轼
书痴者文必工,艺痴者技必良——蒲松龄
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