高中数学 一元二次不等式及其解法.docx
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高中数学一元二次不等式及其解法
§7.2 一元二次不等式及其解法
2014高考会这样考
1.考查一元二次不等式的解法及其“三个二次”间的关系问题;2.会从实际情景中抽象出一元二次不等式模型;3.以函数、导数为载体,考查不等式的参数范围问题.
复习备考要这样做
1.结合二次函数的图象,理解“三个二次”的关系,掌握二次不等式的解法;2.理解简单的分式不等式、高次不等式的解法,和函数单调性结合解一些指数不等式、对数不等式.
1.一元二次不等式的解法
(1)将不等式的右边化为零,左边化为二次项系数大于零的不等式ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0).
(2)求出相应的一元二次方程的根.
(3)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集.
2.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表:
判别式Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象
一元二次方程ax2+bx+c=0
(a>0)的根
有两相异实根x1,x2(x1 有两相等实根x1=x2=- 没有实数根 ax2+bx+c>0(a>0)的解集 {x|x {x|x≠x1} R ax2+bx+c<0(a>0)的解集 {x|x1 ∅ ∅ [难点正本 疑点清源] 1.一元二次不等式的解集及解集的确定 一元二次不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集的确定受a的符号、b2-4ac的符号的影响,且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系,可结合相应的函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,数形结合求得不等式的解集. 若一元二次不等式经过不等式的同解变形后,化为ax2+bx+c>0(或<0)(其中a>0)的形式,其对应的方程ax2+bx+c=0有两个不等实根x1,x2(x1 2.解含参数的一元二次不等式,可先考虑因式分解,再对根的大小进行分类讨论;若不能因式分解,则可对判别式进行分类讨论,分类要不重不漏. 1.不等式x2<1的解集为________. 答案 {x|-1 解析 x2<1,则-1 ∴不等式的解集为{x|-1 2.函数y= 的定义域是____________. 答案 (-∞,-4]∪[3,+∞) 解析 由x2+x-12≥0得(x-3)(x+4)≥0, ∴x≤-4或x≥3. 3.已知不等式x2-2x+k2-1>0对一切实数x恒成立,则实数k的取值范围为____________. 答案 (-∞,- )∪( ,+∞) 解析 由题意,知Δ=4-4×1×(k2-1)<0, 即k2>2,∴k> 或k<- . 4.(2012·重庆改编)不等式 ≤0的解集为__________. 答案 解析 ≤0等价于不等式组 ① 或 ② 解①得- ∴原不等式的解集为 . 5.若不等式ax2+bx-2<0的解集为{x|-2 },则ab=________. 答案 28 解析 由已知得 , ∴a=4,b=7,∴ab=28. 题型一 一元二次不等式的解法 例1 已知不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}, (1)求a,b的值; (2)解不等式ax2-(ac+b)x+bc<0. 思维启迪: (1)先化简不等式为标准形式,再依据解集确定a的符号,然后利用根与系数的关系列出a,b的方程组,求a,b的值. (2)所给不等式含有参数c,因此需对c讨论写出解集. 解 (1)因为不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b},所以x1=1与x2=b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根,b>1且a>0.由根与系数的关系, 得 解得 (2)不等式ax2-(ac+b)x+bc<0, 即x2-(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0. 当c>2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|2 当c<2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|c 当c=2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为∅. 所以,当c>2时,不等式ax2-(ac+b)x+bc<0的解集为{x|2 当c<2时,不等式ax2-(ac+b)x+bc<0的解集为{x|c 当c=2时,不等式ax2-(ac+b)x+bc<0的解集为∅. 探究提高 (1)解一元二次不等式时,当二次项系数为负时要先化为正,再根据判别式符号判断对应方程根的情况,然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集. (2)解含参数的一元二次不等式,要把握好分类讨论的层次,一般按下面次序进行讨论: 首先根据二次项系数的符号进行分类,其次根据根是否存在,即Δ的符号进行分类,最后在根存在时,根据根的大小进行分类. (1)不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2 答案 {x|-3 解析 令f(x)=ax2+bx+c,则f(-x)=ax2-bx+c,结合图象,可得ax2-bx+c>0的解集为{x|-3 (2)解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax(a∈R). 解 原不等式可化为ax2+(a-2)x-2≥0⇒(ax-2)(x+1)≥0. ①当a=0时,原不等式化为x+1≤0⇒x≤-1. ②当a>0时,原不等式化为 (x+1)≥0⇒x≥ 或x≤-1. ③当a<0时,原不等式化为 (x+1)≤0. 当 >-1,即a<-2时,原不等式等价于-1≤x≤ ; 当 =-1,即a=-2时,原不等式等价于x=-1; 当 <-1,即a>-2,原不等式等价于 ≤x≤-1. 综上所述,当a<-2时,原不等式的解集为 ; 当a=-2时,原不等式的解集为{-1}; 当-2 ; 当a=0时,原不等式的解集为(-∞,-1]; 当a>0时,原不等式的解集为(-∞,-1]∪ . 题型二 一元二次不等式恒成立问题 例2 已知不等式ax2+4x+a>1-2x2对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围. 思维启迪: 化为标准形式ax2+bx+c>0后分a=0与a≠0讨论.当a≠0时,有 解 原不等式等价于(a+2)x2+4x+a-1>0对一切实数恒成立,显然a=-2时,解集不是R,因此a≠-2, 从而有 整理,得 所以 所以a>2. 故a的取值范围是(2,+∞). 探究提高 不等式ax2+bx+c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a=0时,b=0,c>0;当a≠0时, 不等式ax2+bx+c<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a=0时,b=0,c<0;当a≠0时, 当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,则m的取值范围是______________. 答案 (-∞,-5] 解析 方法一 当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立⇒m<- =- 在x∈(1,2)上恒成立,设φ(x)=- ,φ(x)=- ∈(-5,-4), 故m≤-5. 方法二 设f(x)=x2+mx+4, 因为当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立, 所以 即 解得m≤-5. 题型三 一元二次不等式的实际应用 例3 某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆,出厂价为12万元/辆,年销售量为10000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品质量,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0 (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式; (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比例x应在什么范围内? 思维启迪: (1)依据“年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量”写出; (2)年利润有所增加,即y-(12-10)×10000>0,解此不等式即可得x的范围. 解 (1)由题意得y=[12(1+0.75x)-10(1+x)]×10000×(1+0.6x)(0 整理得y=-6000x2+2000x+20000(0 (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加,必须有 即 解得0 , 所以投入成本增加的比例应在 范围内. 探究提高 不等式应用题常以函数、数列为背景出现,多是解决现实生活、生产中的最优化问题,在解题中主要涉及到不等式的解法等问题,构造数学模型是解不等式应用题的关键. 某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元,预测六月份销售额为500万元,七月份销售额比六月份递增x%,八月份销售额比七月份递增x%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等,若一月份至十月份销售总额至少达7000万元,则x的最小值是________. 答案 20 解析 由题意得, 3860+500+[500(1+x%)+500(1+x%)2]×2≥7000, 化简得(x%)2+3·x%-0.64≥0, 解得x%≥0.2,或x%≤-3.2(舍去).∴x≥20,即x的最小值为20. 解与一元二次不等式有关的恒成立问题 典例: (14分)设函数f(x)=mx2-mx-1. (1)若对于一切实数x,f(x)<0恒成立,求m的取值范围; (2)若对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范围. 审题视角 (1)对于x∈R,f(x)<0恒成立,可转化为函数f(x)的图象总是在x轴下方,可讨论m的取值,利用判别式求解. (2)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题,常有两种处理方法: 一是利用二次函数区间上的最值来处理;二是先分离出参数,再去求函数的最值来处理,一般后者比较简单. 规范解答 解 (1)要使mx2-mx-1<0恒成立,[2分] 若m=0,显然-1<0; 若m≠0,则 ⇒-4 所以-4 (2)要使f(x)<-m+5在[1,3]上恒成立,即 m 2+ m-6<0在x∈[1,3]上恒成立.[8分] 有以下两种方法: 方法一 令g(x)=m 2+ m-6,x∈[1,3]. 当m>0时,g(x)在[1,3]上是增函数,[8分] 所以g(x)max=g(3)⇒7m-6<0, 所以m< ,则0 ;[10分] 当m=0时,-6<0恒成立;[11分] 当m<0时,g(x)在[1,3]上是减函数,[12分] 所以g(x)max=g (1)⇒m-6<0, 所以m<6,所以m<0. 综上所述: m的取值范围是{m|m< }.[14分] 方法二 因为x2-x+1= 2+ >0, 又因为m(x2-x+1)-6<0,所以m< .[10分] 因为函数y= = 在[1,3]上的最小值为 ,所以只需m< 即可.[12分] 所以,m的取值范围是 .[14分] 对于给定区间上的不等式恒成立问题,一般 可根据以下 几步求解: 第一步: 整理不等式(或分离参数); 第二步: 构造函数g(x); 第三步: 求函数g(x)在给定区间上的最大值 或最小值; 第四步: 根据最值构造不等式求参数; 第五步: 反思回顾,查看关键点,易错点, 完善解题步骤. 温馨提醒 1.与一元二次不等式有关的恒成立问题,可通过二次函数求最值,也可通过分离参数,再求最值. 2.解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量,谁是参数一般地,知道谁的范围,谁就是变量;求谁的范围,谁就是参数. 3.对于二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方. 4.本题易错点: 忽略对m=0的讨论.这是由思维定势所造成的. 方法与技巧 1.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础;一般可把a<0的情况转化为a>0时的情形. 2.f(x)>0的解集即为函数y=f(x)的图象在x轴上方的点的横坐标的集合,充分利用数形结合思想. 3.简单的分式不等式可以等价转化,利用一元二次不等式解法进行求解. 失误与防范 1.对于不等式ax2+bx+c>0,求解时不要忘记讨论a=0时的情形. 2.当Δ<0时,ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为R还是∅,要注意区别. 3.含参数的不等式要注意选好分类标准,避免盲目讨论. A组 专项基础训练 (时间: 35分钟,满分: 62分) 一、填空题(每小题5分,共35分) 1.不等式 <0的解集为____________. 答案 {x|-2 解析 不等式 <0可转化为(x+2)(x-3)<0, 解得-2 2.已知不等式ax2-bx-1≥0的解集是 ,则不等式x2-bx-a<0的解集是__________. 答案 (2,3) 解析 由题意知- ,- 是方程ax2-bx-1=0的根,所以由根与系数的关系得- + = ,- × =- .解得a=-6,b=5,不等式x2-bx-a<0即为x2-5x+6<0,解集为(2,3). 3.若集合A={x|ax2-ax+1<0}=∅,则实数a的值的集合是____________. 答案 [0,4] 解析 由题意知a=0时,满足条件. a≠0时,由 得0 4.已知函数f(x)=ax2+bx+c,不等式f(x)<0的解集为{x|x<-3或x>1},则函数y=f(-x)的图象可以为______.(填序号) 答案 ② 解析 由f(x)<0的解集为{x|x<-3或x>1}知a<0,y=f(x)的图象与x轴交点为(-3,0),(1,0),∴f(-x)图象开口向下,与x轴交点为(3,0),(-1,0). 5.已知关于x的不等式 <0的解集是(-∞,-1)∪ ,则a=________. 答案 -2 解析 由于不等式 <0的解集是(-∞,-1)∪ ,故- 应是ax-1=0的根,∴a=-2. 6.(2012·江西)不等式 >0的解集是________. 答案 {x|-3 解析 不等式可化为 >0,即(x-3)(x+3)(x-2)>0,利用数轴穿根法可知,不等式的解集为{x|-3 7.若关于x的不等式ax2-6x+a2<0的解集是(1,m),则m=________. 答案 2 解析 根据不等式与方程之间的关系知1为方程ax2-6x+a2=0的一个根,即a2+a-6=0,解得a=2或a=-3,当a=2时,不等式ax2-6x+a2<0的解集是(1,2),符合要求;当a=-3时,不等式ax2-6x+a2<0的解集是(-∞,-3)∪(1,+∞),不符合要求,舍去.故m=2. 二、解答题(共27分) 8.(13分)求不等式12x2-ax>a2(a∈R)的解集. 解 原不等式可化为(3x-a)(4x+a)>0. 当a>0时,不等式的解集为 ; 当a=0时,不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}; 当a<0时,不等式的解集为{x|x< 或x>- }. 9.(14分)某商品每件成本价为80元,售价为100元,每天售出100件.若售价降低x成(1成=10%),售出商品数量就增加 x成.要求售价不能低于成本价. (1)设该商店一天的营业额为y,试求y与x之间的函数关系式y=f(x),并写出定义域; (2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元,求x的取值范围. 解 (1)依题意,y=100 ·100 . 又售价不能低于成本价,所以100 -80≥0. 所以y=f(x)=40(10-x)(25+4x),定义域为x∈[0,2]. (2)由题意得40(10-x)(25+4x)≥10260, 化简得8x2-30x+13≤0.解得 ≤x≤ . 所以x的取值范围是 . B组 专项能力提升 (时间: 35分钟,满分: 58分) 一、填空题(每小题5分,共30分) 1.不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1 答案 (0,3) 解析 由题意知a<0且-1,2是方程ax2+bx+c=0的两根,∴ ,∴b=-a,c=-2a, ∴不等式a(x2+1)+b(x-1)+c>2ax, 即为a(x2+1)-a(x-1)-2a>2ax, ∴x2-3x<0,∴0 2.若不等式x2-2ax+a>0对一切实数x∈R恒成立,则关于t的不等式at2+2t-3<1的解集为________________. 答案 (-∞,-3)∪(1,+∞) 解析 不等式x2-2ax+a>0对一切实数x∈R恒成立, 则Δ=(-2a)2-4a<0,即a2-a<0,解得0 所以不等式at2+2t-3<1转化为t2+2t-3>0, 解得t<-3或t>1. 3.若不等式组 的解集不是空集,则实数a的取值范围是__________. 答案 [-4,+∞) 解析 设f(x)=x2+4x-(1+a),根据已知可转化为存在x0∈[-1,3]使f(x0)≤0.易知函数f(x)在区间[-1,3]上为增函数,故只需f(-1)=-4-a≤0即可,解得a≥-4. 4.已知f(x)= 则不等式x+(x+1)f(x-1)≤3的解集是________. 答案 {x|x≥-3} 解析 ∵f(x-1)= , ∴x+(x+1)f(x-1)≤3等价于 或 , 解得-3≤x<1或x≥1,即x≥-3. 5.设关于x的不等式x2-x<2nx(n∈N*)的解集中整数的个数为an,数列{an}的前n项和为Sn,则S100的值为________. 答案 10100 解析 由不等式x2-x<2nx(n∈N*),可得其解集为(0,2n+1),其中整数解有2n个,即an=2n, ∴S100= =10100. 6.若关于x的不等式4x-2x+1-a≥0在[1,2]上恒成立,则实数a的取值范围为__________. 答案 (-∞,0] 解析 ∵4x-2x+1-a≥0在[1,2]上恒成立, ∴4x-2x+1≥a在[1,2]上恒成立. 令y=4x-2x+1=(2x)2-2×2x+1-1=(2x-1)2-1. ∵1≤x≤2,∴2≤2x≤4. 由二次函数的性质可知: 当2x=2,即x=1时,y有最小值0.∴a的取值范围为 (-∞,0]. 二、解答题(共28分) 7.(14分)已知f(x)=-3x2+a(6-a)x+b. (1)解关于a的不等式f (1)>0; (2)若不等式f(x)>0的解集为(-1,3),求实数a,b的值. 解 (1)∵f (1)>0,∴-3+a(6-a)+b>0, 即a2-6a+3-b<0. Δ=(-6)2-4(3-b)=24+4b. ①当Δ≤0,即b≤-6时,原不等式的解集为∅. ②当Δ>0,即b>-6时, 方程a2-6a+3-b=0有两根a1=3- , a2=3+ , ∴不等式的解集为(3- ,3+ ). 综上所述: 当b≤-6时,原不等式的解集为∅; 当b>-6时,原不等式的解集为(3- ,3+ ). (2)由f(x)>0,得-3x2+a(6-a)x+b>0, 即3x2-a(6-a)x-b<0.∵它的解集为(-1,3), ∴-1与3是方程3x2-a(6-a)x-b=0的两根. ∴ 解得 或 8.(14分)据调查,湖南某地区有100万从事传统农业的农民,人均年收入3000元.为了增加农民的收入,当地政府积极引资建立各种加工企业,对当地的农产品进行深加工,同时吸收当地部分农民进入加工企业工作,据估计,如果有x(x>0)万人进入企业工作,那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高2x%,而进入企业工作的农民人均年收入为3000a元(a>0且为常数). (1)在建立加工企业后,要使该地区从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的年总收入,求x的取值范围; (2)在 (1)的条件下,当地政府应安排多少万农民进入加工企业工作,才能使这100万农民的人均年收入达到最大? 解 (1)据题意,(100-x)×3000×(1+2x%)≥100×3000, 即x2-50x≤0,解得0≤x≤50. 又x>0,故x的取值范围是(0,50]. (2)设这100万农民的人均年收入为y元,则 y= = =- [x-25(a+1)]2+3000+375(a+1)2(0 ①若0<25(a+1)≤50,即0 则当x=25(a+1)时,y取最大值; ②若25(a+1)>50,即a>1, 则当x=50时,y取最大值.
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