鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解最全面精华版.docx
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鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解最全面精华版
鸡兔同笼问题五种基本公式与例题讲解
【鸡兔问题公式】
(1)已知总头数与总脚数,求鸡,兔各多少:
(总脚数-每只鸡地脚数×总头数)÷(每只兔地脚数-每只鸡地脚数)
=兔数;
总头数-兔数=鸡数;
或者为(每只兔脚数×总头数
-总脚数)÷(每只兔脚数-每只鸡脚数)
=鸡数;
总头数-鸡数=兔数;
例如,“有鸡,兔共36只,它们共有脚100只,鸡,兔各为多少只?
”
解一
(100-2×36)÷(4-2)=14(只)
兔;
36-14=22(只)
鸡;
解二
(4×36-100)÷(4-2)=22(只)
鸡;
36-22=14(只)
兔;
(答
略)
(2)已知总头数与鸡兔脚数地差数,当鸡地总脚数比兔地总脚
数多时,可用公式
(每只鸡脚数×总头数
-脚数之差)÷(每只鸡地脚数
+每只兔地
脚数)=兔数;
第1页,共36页
总头数-兔数=鸡数
或(每只兔脚数×总头数
+鸡兔脚数之差)÷(每只鸡地脚数
+
每只免地脚数)=鸡数;
总头数-鸡数=兔数;(例略)
(3)已知总数与鸡兔脚数地差数,当兔地总脚数比鸡地总脚数
多时,可用公式;
(每只鸡地脚数×总头数
+鸡兔脚数之差)÷(每只鸡地脚数
+
每只兔地脚数)=兔数;
总头数-兔数=鸡数;
或(每只兔地脚数×总头数
-鸡兔脚数之差)÷(每只鸡地脚数
+
每只兔地脚数)=鸡数;
总头数-鸡数=兔数;(例略)
(4)得失问题(鸡兔问题地推广题)
地解法,可以用下面地公
式:
(1只合格品得分数×产品总数
-实得总分数)÷(每只合格品得
分数+每只不合格品扣分数)=不合格品数;或者为总产品数
-(每只
不合格品扣分数×总产品数
+实得总分数)÷(每只合格品得分数
+
每只不合格品扣分数)
=不合格品数;
例如,“灯泡厂生产灯泡地工人,按得分地多少给工资;每生产
一个合格品记4分,每生产一个不合格品不仅不记分,
仍要扣除15分;
第2页,共36页
某工人生产了1000只灯泡,共得3525分,问其中有多少个灯泡不合
格?
”
解一
(4×1000-3525)÷(4+15)
=475÷19=25(个)
解二1000-(15×1000+3525)÷(4+15)
=1000-18525÷19
=1000-975=25(个)(答略)
(“得失问题”也称“运玻璃器皿问题”,运到完好无损者每只给
运费××元,破旧者不仅不给运费,仍需要赔成本××元
;它地
解法明显可套用上述公式;)
(5)鸡兔互换问题(已知总脚数及鸡兔互换后总脚数,求鸡兔
各多少地问题),可用下面地公式:
〔(两次总脚数之与)÷(每只鸡兔脚数与)+(两次总脚数之差)
÷(每只鸡兔脚数之差)〕÷2=鸡数;
〔(两次总脚数之与)÷(每只鸡兔脚数之与)
-(两次总脚数之
差)÷(每只鸡兔脚数之差)〕÷2=兔数;
例如,“有一些鸡与兔,共有脚
44只,如将鸡数与兔数互换,就
共有脚52只;鸡兔各为多少只?
”
解
〔(52+44)÷(4+2)+(52-44)÷(4-2)〕÷2
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=20÷2=10(只)
鸡
〔(52+44)÷(4+2)-(52-44)÷(4-2)〕÷2
=12÷2=6(只)
兔(答略)
鸡兔同笼
1总述
2假设法
3方程法
一元一次方程
二元一次方
程
4抬腿法
5列表法
6详解
7具体解法
基本问题
特别算法
习题
8鸡兔同笼公式
1总述
鸡兔同笼为中国古代地数学名题之一;
大约在1500年前,《孙子算经》
中就记载了这个好玩地问题;书中为这样表达地:
“今有雉兔同笼,
上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?
”这四句话地意思为:
有如干只鸡兔同在一个笼子里,从上面数,有
35个头,从下面数,有
94只脚;问笼中各有几只鸡与兔?
算这个有个最简洁地算法;
(总脚数-总头数×鸡地脚数)÷(兔地脚数
-鸡地脚数)=兔地只数
(94-35×2)÷2=12(兔子数)
总头数(35)-兔子数(12)=鸡数
第4页,共36页
(23)
说明:
让兔子与鸡同时抬起两只脚,
这样笼子里地脚就削减了头数×
2只,由于鸡只有
2只脚,所以笼子里只剩下兔子地两只脚,再除以
2就为兔子数;虽然现实中没人鸡兔同笼;
2假设法
假设全为鸡:
2×35=70(只)
鸡脚比总脚数少:
94-70=24(只)
兔:
24÷(4-2)=12
(只)
鸡:
35-12=23(只)
假设法(通俗)
假设鸡与兔子都抬起一只脚,笼中站立地脚:
94-35=59(只)
然后再抬起一只脚,这时候鸡两只脚都抬起来就摔倒了,
只剩下用两
只脚站立地兔子,站立脚:
59-35=2(4只)
兔:
24÷2=1(2
只)
鸡:
35-12=23(只)
3方程法
一元一次方程
解:
设兔有
x只,就鸡有(35-x)只;
4x+2(35-x)=94
4x+70-2x=94
2x=94-70
2x=24
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x=24÷2
x=12
35-12=23(只)
或
解:
设鸡有
x只,就兔有(35-x)只;
2x+4(35-x)=94
2x+140-4x=94
2x=46
x=23
35-23=12(只)
答:
兔子有
12只,鸡有23只;
注:
通常设方程时,挑选腿地只数多地动物,会在套用到其他类似鸡
兔同笼地问题上,好算一些;
二元一次方程
解:
设鸡有
x只,兔有y只;
x+y=35
2x+4y=94
(x+y=35)×2=2x+2y=70
(2x+2y=70)-(2x+4y=94)=(2y=24)
y=12
把y=12代入(x+y=35)
x+12=35
x=35-12(只)
第6页,共36页
x=23(只);
答:
兔子有
12只,鸡有23只
4抬腿法
法一
假如让鸡抬起一只脚,兔子抬起2只脚,仍有94除以2=47只脚;笼
子里地兔就比鸡地头数多
1,这时,脚与头地总数之差
47-35=12,就
为兔子地只数;
法二
假如鸡与兔子都抬起两只脚,仍剩下
94-35×2=24只脚
,这时鸡
为屁股坐在地上,地上只有兔子地脚,而且每只兔子有两只脚在地上,
所以有24÷2=12只兔子,就有
35-12=23只鸡
5列表法
腿数
鸡(只数)
兔(只数)
6详解
中国古代《孙子算经》共三卷,成书大约在公元
5世纪;这本书浅显
易懂,有很多好玩地算术题,比如“鸡兔同笼”问题:
今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?
题目中给出雉兔共有
35只,假如把兔子地两只前脚用绳子捆起来,
看作为一只脚,两只后脚也用绳子捆起来,看作为一只脚,那么,兔
子就成了
2只脚,即把兔子都先当作两只脚地
鸡;鸡兔总地脚数为
35×2=70(只),比题中所说地
94只要少94-70=24(只);
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现在,我们松开一只兔子脚上地绳子,总地脚数就会增加
2只,即
70+2=72(只),再松开一只兔子脚上地绳子,总地脚数又增加
2,2,
2,2
,始终连续下去,直至增加
24,因此兔子数:
24÷2=12(只),
从而鸡有35-12=23(只);
我们来总结一下这道题地解题思路:
假如先假设它们全为鸡,于
为依据鸡兔地总数就可以算出在假设下共有几只脚,
把这样得到地脚
数与题中给出地脚数相比较,
看看差多少,每差2只脚就说明有
1只
兔,将所差地脚数除以
2,就可以算出共有多少只兔;概括起来,解
鸡兔同笼题地基本关系式为:
兔数=(实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总
数)÷(每只兔子脚数-每只鸡脚数);类似地,也可以假设全为兔子;
我们也可以采纳列方程地方法:
设兔子地数量为
x,鸡地数量为
y
那么:
x+y=35那么4x+2y=94这个算方程解出后得出:
兔子有12只,
鸡有23只;
7具体解法
基本问题
"鸡兔同笼"为一类出名地中国古算题;最早显现在《孙子算经》
中.很多学校算术应用题都可以转化成这类问题,或者用解它地典型
解法--"假设法"来求解;因此很有必要学会它地解法与思路
.
例1有如干只鸡与兔子,它们共有
88个头,244只脚,鸡与兔
各有多少只
解:
我们设想,每只鸡都为"金鸡独立",一只脚站着;而每只兔子都用
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两条后腿,像人一样用两只脚站着;现在,地面上显现脚地总数地一
半,·也就为
244÷2=122(只).
在122这个数里,鸡地头数算了一次,兔子地头数相当于算了两次;
因此从122减去总头数
88,剩下地就为兔子头数
122-88=34(只),
有34只兔子.当然鸡就有
54只;
答:
有兔子
34只,鸡54只;
上面地运算,可以归结为下面算式:
总脚数÷2-总头数=兔子数.总头数-兔子数=鸡数
特别算法
上面地解法为《孙子算经》中记载地;做一次除法与一次减法,立刻
能求出兔子数,多简洁!
能够这样算,主要利用了兔与鸡地脚数分别
为4与2,4又为2地2倍.可为,当其他问题转化成这类问题时,
"脚
数"就不肯定为
4与2,上面地运算方法就行不通;
因此,我们对这类
问题给出一种一般解法
.
仍说例1.
假如设想88只都为兔子,那么就有
4×88只脚,比244只脚多了
88×4-244=108(只).
每只鸡比兔子少(4-2)只脚,所以共有鸡
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(88×4-244)÷(4-2)=54(只).
说明我们设想地
88只"兔子"中,有54只不为兔子;而为鸡.因此可以
列出公式
鸡数=(兔脚数×总头数-总脚数)÷(兔脚数
-鸡脚数).
当然,我们也可以设想
88只都为"鸡",那么共有脚
2×88=176(只),
比244只脚少了
244-176=68(只).
每只鸡比每只兔子少
(4-2)只脚,
68÷2=34(只).
说明设想中地"鸡",有34只为兔子,也可以列出公式
兔数=(总脚数-鸡脚数×总头数)÷(兔脚数
-鸡脚数).
上面两个公式不必都用,
用其中一个算出兔数或鸡数,
再用总头数去
减,就知道另一个数;
假设全为鸡,或者全为兔,通常用这样地思路求解,有人称为
"假设
法".
现在,拿一个具体问题来试试上面地公式;
例2红铅笔每支
元,蓝铅笔每支
元,两种铅笔共买了
16
支,花了元;问红,蓝铅笔各买几支?
解:
以"分"作为钱地单位.我们设想,一种"鸡"有11只脚,一种"兔子
"有19只脚,它们共有
16个头,280只脚;
现在已经把买铅笔问题,转化成"鸡兔同笼"问题了.利用上面算兔数公
式,就有
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蓝笔数=(19×16-280)÷(19-11)
=24÷8
=3(支).
红笔数=16-3=13(支).
答:
买了13支红铅笔与
3支蓝铅笔;
对于这类问题地运算,经常可以利用已知脚数地特别性
.例2中地"脚
数"19与11之与为30.我们也可以设想
16只中,8只为"兔子",8只为
"鸡",依据这一设想,脚数为
8×(11+19)=240(支);
比280少40.
40÷(19-11)=5(支);
就知道设想中地
8只"鸡"应少5只,也就为"鸡"(蓝铅笔)数为
3.
30×8比19×16或11×16要简洁运算些;利用已知数地特别性,靠
心算来完成运算.
实际上,可以任意设想一个便利地兔数或鸡数;例如,设想
16只中,
"兔数"为10,"鸡数"为6,就有脚数
19×10+11×6=256.
比280少24.
24÷(19-11)=3,
就知道设想
6只"鸡",要少3只;
要使设想地数,能给运算带来便利,经常取决于你地心算本事
.
下面再举四个稍有难度地例子;
第11页,共36页
例3一份稿件,甲单独打字需
6小时完成.乙单独打字需
10小时完成,
现在甲单独打如干小时后,因有事由乙接着打完,共用了
7小时;甲
打字用了多少小时?
解:
我们把这份稿件平均分成
30份(30为6与10地最小公倍数),甲
每小时打30÷6=5(份),乙每小时打
30÷10=3(份).
现在把甲打字地时间看成
"兔"头数,乙打字地时间看成
"鸡"头数,总
头数为7."兔"地脚数为5,"鸡"地脚数为3,总脚数为
30,就把问题转
化成"鸡兔同笼"问题了;
依据前面地公式
"兔"数=(30-3×7)÷(5-3)
=4.5,
"鸡"数
=2.5,
也就为甲打字用了
小时,乙打字用了
小时;
答:
甲打字用了
4小时30分.
例4今年为1998年,父母年龄(整数)与为
78岁,兄弟地年龄与
为17岁;四年后(2002年)父地年龄为弟地年龄地4倍,母地年龄为
兄地年龄地
3倍.那么当父地年龄为兄地年龄地
3倍时,为公元哪一
年?
解:
4年后,两人年龄与都要加
8.此时兄弟年龄之与为
17+8=25,父
母年龄之与为
78+8=86.我们可以把兄地年龄看作
"鸡"头数,弟地年龄
第12页,共36页
看作"兔"头数;25为"总头数".86为"总脚数".依据公式,兄地年龄为
(25×4-86)÷(4-3)=14(岁).
1998年,兄年龄为
14-4=10(岁).
父年龄为
(25-14)×4-4=40(岁).
因此,当父地年龄为兄地年龄地
3倍时,兄地年龄为
(40-10)÷(3-1)=15(岁).
这为2003年;
答:
公元2003年时,父年龄为兄年龄地
3倍.
例5蜘蛛有8条腿,蜻蜓有6条腿与2对翅膀,蝉有6条腿与1对翅
膀;现在这三种小虫共
18只,有118条腿与20对翅膀.每种小虫各
几只?
解:
由于蜻蜓与蝉都有
6条腿,所以从腿地数目来考虑,可以把小虫
分成"8条腿"与"6条腿"两种;利用公式就可以算出
8条腿地
蜘蛛数=(118-6×18)÷(8-6)
=5(只).
因此就知道
6条腿地小虫共
18-5=13(只).
也就为蜻蜓与蝉共有
13只,它们共有
20对翅膀;再利用一次公式
蝉数=(13×2-20)÷(2-1)=6(只).
因此蜻蜓数为
13-6=7(只).
第13页,共36页
答:
有5只蜘蛛,7只蜻蜓,6只蝉;
例6某次数学考试考五道题,全班
52人参与,共做对
181道题,已
知每人至少做对
1道题,做对1道地有7人,5道全对地有
6人,做
对2道与3道地人数一样多,那么做对
4道地人数有多少人?
解:
对2道,3道,4道题地人共有
52-7-6=39(人).
他们共做对
181-1×7-5×6=144(道).
由于对2道与3道题地人数一样多,我们就可以把他们看作为对
道题地人((2+3)÷2=2.5).这样
兔脚数=4,鸡脚数=2.5,
总脚数=144,总头数=39.
对4道题地有
×39)÷(4-2.5)=31(人).
答:
做对4道题地有31人;
以例1为例
有如干只鸡与兔子,它们共有
88个头,244只脚,鸡与
兔各有多少只?
以简洁地
X方程运算地话,我们一般用设大数为
X,那么也就为设
兔为X,那么鸡地只数就为总数减去鸡地只数,即(
88-X)只;
解:
设兔为
X只;就鸡为(88-X)只;
4X+2×(88-X)=244
上列地方程说明为:
兔子地脚数加上鸡地脚数,
就为共有地脚数;4X
第14页,共36页
就为兔子地脚数,
2×(88-X)就为鸡地脚数;
4X+2×88-2X=244
2X+176=244
2X+176-176=244-176
2X=68
2X÷2=68÷2
X=34
即兔子为34只,总数为88只,就鸡:
88-34=54只;
答:
兔子有
34只,鸡有54只;
习题一
1.龟鹤共有
100个头,350只脚.龟,鹤各多少只
?
2.学校有象棋,跳棋共26副,恰好可供
120个同学同时进行活动;
象棋2人下一副棋,跳棋
6人下一副.象棋与跳棋各有几副?
3.一些2分与5分地硬币,共值
2.99元,其中2分硬币个数为
5分
硬币个数地
4倍,问5分硬币有多少个
?
4.某人领得工资
240元,有2元,5元,10元三种人民币,共50张,
其中2元与5元地张数一样多;那么
2元,5元,10元各有多少张?
5.一件工程,甲单独做
12天完成,乙单独做
18天完成,现在甲做
了如干天后,再由乙接着单独做完余下地部分,这样前后共用了
16
天.甲先做了多少天
?
6.摩托车赛全程长
281千米,全程被划分成如干个阶段,每一阶段
第15页,共36页
中,有地为由一段上坡路
(3千米),一段平路(4千米),一段下坡路(2
千米)与一段平路
(4千米)组成地;有地为由一段上坡路
(3千米),
一段下坡路(2千米)与一段平路(4千米)组成地;已知摩托车跑完
全程后,共跑了25段上坡路.全程中包含这两种阶段各几段?
7.用1元钱买4分,8分,1角地邮票共
15张,问最多可以买
1角
地邮票多少张?
二,"两数之差"地问题
鸡兔同笼中地总头数为
"两数之与",假如把条件换成
"两数之差",又应
该怎样去解呢
例7买一些4分与8分地邮票,共花6元8角;已知8分地邮票比
4
分地邮票多
40张,那么两种邮票各买了多少张?
解一:
假如拿出
40张8分地邮票,余下地邮票中
8分与
4分地张数
就一样多.
(680-8×40)÷(8+4)=30(张),
这就知道,余下地邮票中,
8分与4分地各有
30张;
因此8分邮票有
40+30=70(张).
答:
买了8分地邮票70张,4分地邮票30张;
也可以用任意假设一个数地方法
.
解二:
譬如,假设有
20张4分,依据条件"8分比4分多
40张",那么
应有60张8分;以"分"作为运算单位,此时邮票总值为
4×20+8×60=560.
第16页,共36页
比680少,因此仍要增加邮票;为了保持
"差"为40,每增加
1张4
分,就要增加
1张8分,每种要增加地张数为
(680-4×20-8×60)÷(4+8)=10(张).
因此4分有20+10=30(张),8分有60+10=70(张).
例8一项工程,假如全为晴天,
15天可以完成;假如下雨,雨天比
晴天多3天,
工程要多少天才能完成
解:
类似于例
3,我们设工程地全部工作量为
150份,晴天每天完成
10份,雨天每天完成
8份.用上一例题解一地方法,晴天有
(150-8×3)÷(10+8)=7(天).
雨天为7+3=10天,总共
7+10=17(天).
答:
这项工程
17天完成;
请留意,假如把"雨天比晴天多
3天"去掉,而换成已知工程为
17天
完成,由此又回到上一节地问题
.差为
3,与与为
17,知道其一,就
能推算出另一个;这说明白例
7,例8与上一节基本问题之间地关系.
总脚数为"两数之与",假如把条件换成"两数之差",又应当怎样去解呢
例9鸡与兔共100只,鸡地脚数比兔地脚数少
28.问鸡与兔各几只?
解一:
假如再补上
28只鸡脚,也就为再有鸡
28÷2=14(只),鸡与
兔脚数就相等,兔地脚为鸡地脚
4÷2=2(倍),于为鸡地只数为兔地
只数地2倍;兔地只数为
第17页,共36页
(100+28÷2)÷(2+1)=38(只).
鸡为
100-38=62(只).
答:
鸡62只,兔38只;
当然也可以去掉兔
28÷4=7(只).兔地只数为
(100-28÷4)÷(2+1)+7=38(只).
也可以用任意假设一个数地方法;
解二:
假设有
50只鸡,就有兔
100-50=50(只).此时脚数之差为
4×50-2×50=100,
比28多了72.就说明假设地兔数多了(鸡数少了)
.为了保持总数为
100,一只兔换成一只鸡,少了
4只兔脚,多了
2只鸡脚,相差为
6
只(千万留意,不为2).因此要削减地兔数为(100-28)÷(4+2)=12(只).
兔只数为50-12=38(只).
另外,仍存在下面这样地问题:
总头数换成"两数之差",总脚数也换成
"两数之差".
例10古诗中,五言绝句为四句诗,每句都为五个字;七言绝句为四
句诗,每句都为七个字;有一诗选集,其中五言绝句比七言绝句多
13首,总字数却反而少了
20个字.问两种诗各多少首?
解一:
假如去掉
13首五言绝句,两种诗首数就相等,此时字数相差
13×5×4+20=280(字).
每首字数相差
7×4-5×4=8(字).
因此,七言绝句有
280÷(28-20)=35(首).
第18页,共36页
五言绝句有
35+13=48(首).
答:
五言绝句
48首,七言绝句
35首;
解二:
假设五言绝句为
23首,那么依据相差
13首,七言绝句为
10
首.字数分别为
20×23=460(字),28×10=280(字),五言绝句地字
数,反而多了
460-280=180(字).与题目中"少20字"相差180+20=200(字).
说明假设诗地首数少了;为了保持相差
13首,增加一首五言绝句,
也要增一首七言绝句,而字数相差增加
8.因此五言绝句
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