Newton迭代法求解非线性方程.docx
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Newton迭代法求解非线性方程
Newton迭代法求解非线性方程
一、Newton迭代法概述
构造迭代函数的一条重要途径是用近似方程来代替原方程去求根。
因此,如果能将非线性方程
用线性方程去代替,那么,求近似根问题就很容易解决,而且十分方便。
牛顿(Newton)法就是一种将非线性方程线化的一种方法。
设
是方程
的一个近似根,把如果
在
处作一阶Taylor展开,即:
(1-1)
于是我们得到如下近似方程:
(1-2)
设
,则方程的解为:
(1-3)
取
作为原方程的新近似根
,即令:
k=0,1,2,…(1-4)
上式称为牛顿迭代格式。
用牛顿迭代格式求方程的根的方法就称为牛顿迭代法,简称牛顿法。
牛顿法具有明显的几何意义。
方程:
(1-5)
是曲线
上点
处的切线方程。
迭代格式(1-4)就是用切线式(1-5)的零点来代替曲线的零点。
正因为如此,牛顿法也称为切线法。
牛顿迭代法对单根至少是二阶局部收敛的,而对于重根是一阶局部收敛的。
一般来说,牛顿法对初值
的要求较高,初值足够靠近
时才能保证收敛。
若要保证初值在较大范围内收敛,则需对
加一些条件。
如果所加的条件不满足,而导致牛顿法不收敛时,则需对牛顿法作一些改时,即可以采用下面的迭代格式:
(1-6)
上式中,
,称为下山因子。
因此,用这种方法求方程的根,也称为牛顿下山法。
牛顿法对单根收敛速度快,但每迭代一次,除需计算
之外,还要计算
的值。
如果
比较复杂,计算
的工作量就可能比较大。
为了避免计算导数值,我们可用差商来代替导数。
通常用如下几种方法:
1.割线法
如果用
代替
,则得到割线法的迭代格式为:
(1-7)
2.拟牛顿法
如果用
代替
,则得到拟牛顿法的迭代格式为:
(1-8)
3.Steffenson法
如果用
代替
,则得到拟牛顿法的迭代格式为:
(1-9)
二、算法分析
1.割线法
割线法的迭代公式为:
k=0,1,2,…
割线法是超线性收敛,其程序流程图为:
2.拟牛顿法
牛顿拟迭代法迭代公式为:
(1)对单根条件下,牛顿拟迭代法平方收敛,牛顿拟迭代法程序框图如下所示:
(2)对重根条件下,此时迭代公式修改为:
m为根的重数
此时,牛顿迭代法至少平方收敛。
3.Steffenson法
Steffenson迭代法程序流程图与牛顿拟迭代法类似。
三、牛顿法的程序
给定初值
,用牛顿法格式
,
,求解非线性方程
。
*********************************************************************
function[p1,err,k,y]=newton(f1041,df1041,p0,delta,max1)
%f1041是非线性函数。
%df1041是f1041的微商。
%p0是初始值。
%delta是给定允许误差。
%max1是迭代的最大次数。
%p1是牛顿法求得的方程的近似解。
%err是p0的误差估计。
%k是迭代次数。
%y=f(p1)
p0,feval('f1041',p0)
fork=1:
max1
p1=p0-feval('f1041',p0)/feval('df1041',p0);
err=abs(p1-p0);
p0=p1;
p1,err,k,y=feval('f1041',p1)
if(err break, end p1,err,k,y=feval('f1041',p1) end ********************************************************************* 四、程序实例与计算结果 例用上述程序求方程 的一个近似解,给定初值为,误差界为 。 解: 先用m文件先定义二个名为和的函数文件。 functiony=f1041(x) y=x^3–3*x+2; functiony=df1041(x) y=3*x^2-3; 建立一个主程序 clear newton('f1041','df1041',,10^(-6),18) 然后在MATLAB命令窗口运行上述主程序,即: >>prog1041 计算结果如下: p0= ans= p1= err= k=1 y= p1= err= k=1 y= p1= err= k=2 y= p1= err= k=2 y= p1= err= k=3 y= p1= err= k=3 y= p1= err= k=4 y= p1= err= k=4 y= p1= err= k=5 y= p1= err= k=5 y= p1= err= k=6 y= p1= err= k=6 y= p1= err= k=7 y= p1= err= k=7 y= p1= err= k=8 y= p1= err= k=8 y= p1= err= k=9 y= p1= err= k=9 y= p1= err= k=10 y= p1= err= k=10 y= p1= err= k=11 y= p1= err= k=11 y= p1= err= k=12 y= p1= err= k=12 y= p1= err= k=13 y= p1= err= k=13 y= p1= err= k=14 y= p1= err= k=14 y= p1= err= k=15 y= p1= err= k=15 y= p1= err= k=16 y= p1= err= k=16 y= p1= err= k=17 y= p1= err= k=17 y= p1= err= k=18 y= ans= 这说明,经过18次迭代得到满足精度要求的值。 以下是程序运行截图:
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