高等数学题库第03章导数的应用.docx
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高等数学题库第03章导数的应用
第三章导数的应用
习题一
一.选择题
1.使函数f(x)=x2(1-x2)适合罗尔定理条件的区间是()
⎡34⎤A.[0,1]B.[-1,1]C.[-2,2]D.⎢-,⎥⎣55⎦
2.函数f(x)=e-xsinx在[0,π]上满足罗尔定理的ξ=()ππ5πB.πC.D.424
13.设f(x)=,ab<0,则在a<ξ
A.只有一点B.有两个点C.不存在D.是否存在,与a,b值有关
⎧3-x2,0≤x≤1⎪4.设f(x)=⎨2,
⎪,1 则在区间(0,2)内适合f (2)-f(0)=f'(ξ)(2-0)的ξ值() A.只有一个B.不存在C.有两个D.有三个 5.设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,若设(I): f(a)=f(b);(II): 在(a,b)内至少有一点ξ,使得f'(ξ)=0,则(I)与(II)之间的关系是() A.(I)是(II)的充分而非必要条件B.(I)是(II)的必要而非充分条件 C.(I)是(II)的充分必要条件D.(I)是(II)的既非充分也非必要条件6.f(0)=g(0),当x>0时,有f'(x) A.f(x) ⎡1⎫7.函数y=xx在区间⎢,+∞⎪()⎣e⎭ ⎛1⎫⎛1⎫A.不存在最小值B.最大值是eC.最大值是⎪D.最小值是⎪⎝e⎭⎝e⎭1e1e1e 二.填空题 1.函数f(x)=1-x2在[-1,1]上不能有罗尔定理的结论,其原因是f(x)不满足罗尔定理的条件. 2.函数f(x)=x4在[1,2]上满足拉格朗日定理,则ξ=. ln(3x+1)=.x→06x lnx4.lima=(a>0)x→+∞x 15.在x≠0时,arctanx2+arctan2=恒成立.x3.lim ⎡π5π⎤6.据罗尔定理,f(x)=lnsinx在区间⎢⎥上满足f‘(ξ)=0的ξ⎣66⎦ ax-bx a>0,b>0)=.7.极限limx→0x 三.求下列极限x2-x-21.lim3x→2x-8 2.limx→2x2-9x-3+2x2-13.lim0x→0x2+x x2+5-34.lim2x→2x-4 xm-15.limnx→1x-1 1-cos3xx→0x2 x-sinx7.lim3x→0x x-sinx8.limx→0tanx-x tanx-x9.limx→0xsin2x lnx10.limx→1x-1 6.lim 习题二 一.选择题 1.设函数f(x)在区间(a,b)内可导,则在(a,b)内f'(x)>0是f(x)在(a,b)内单调增的 () A.必要而非充分条件B.充分而非必要条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件 2.设函数f(x)=2x2-lnx的单调增区间是()1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛A.0,⎪B.-,0⎪,+∞⎪C.,+∞⎪D.-∞,-⎪0,⎪2⎭⎝2⎭⎝2⎭⎝2⎭⎝2⎭⎝2⎭⎝ 3.若x=1和x=2都是函数y=(a+x)e的极值点,则a,b的值为() A.a=1,b=2B.a=2,b=1C.a=-2,b=-1D.a=-2,b=1 f(x)-f(a)在(a,b]内是()x-a A.单调增加的B.单调减少的C.有极大值D.有极小值bx4.若f(x)的二阶导数存在,且f''(x)>0,则F(x)= 5.设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)单调增加,下面各式成立的是() A.a>0,b2-3ac≤0B.a>0,b2-3ac≥0C.a<0,b2-3ac≤0 D.a<0,b2-3ac≥0 6.下列命题中,正确的是() A.若y=f(x)在x=x0处有f'(x)=0,则f(x)在x=x0处取极值B.极大值一定大于极小值C.若可导函数f(x)在x=x0处取极大值,则必有f'(x0)=0D.最大值就是极大值 7.若函数f(x)=x3+ax2+bx在x=1处有极小值-2,则必有() A.a=-4,b=1B.a=4,b=-7C.a=0,b=-3D.a=1,b=1 8.设f(x)处处连续,在x=x1处有f'(x1)=0,在x=x2处f(x)不可导,则() A.x=x1及x=x2都一定不是极值点B.只有x=x1是极值点C.只有x=x2是极值点D.x=x1及x=x2都有可能是极值点 二.填空题 1.函数f(x)=x3-3-sin6x的单调区间是x 2.函数f(x)=10arctanx-3lnx的极大值点是. 3.函数f(x)=13x-3x2+9x在区间[0,4]上的最大值点x=3 4.函数f(x)=ex-x在(-∞,+∞)的最小值点x=5.函数f(x)=xe-x在(-∞,+∞)的最大值点x=6.极限limtanx x→π2tan3x=. 7.极限limtanx-x x→0x2sinx=. 三.求下列极限e2x-1-2xe2x1.limx→0sin2xlim-1-2x x→0sin2x 2.lime2x+sinx-3x-1x→0xln1+2x3.limx5-1 x→1x9-14.limln(1-5x) x→0sin4x5.limlncosx x→0x26.limtan2x-1 x→π 8sin8x7.limarcsinx-x x→0sin3x8.limx2-cos(x2-1) x→1lnx9.limex+e-x-2 x→0sin22x10.limlnsin4x x→0+lnsin5xxe2x 11.xlim→+∞x+e2x 一.选择题习题三 1.设f(x)在点x=x0邻域三阶连续可导,且f'(x0)=f''(x0)=0,f'''(x0)>0,则有结论() A.f(x0)是极大值B.f(x0)是极小值C.(x0,f(x0))是拐点D.f(x)在x=x0处无极值也无对应的拐点 ⎧lnx-x,x≥1f(x)=2.设函数,则该函数在x=1处()⎨2x-2x,x<1⎩ A.有最小值B.最大值有C.有对应的拐点D.无对应的拐点 3.若点(1,3)是曲线y=ax3+bx2的拐点,则a,b的值为()933993,b=-B.a=-6,b=9C.a=-,b=D.a=-,b=222222 x4.曲线y=x+2()x-1A.a= A.没有渐近线(水平和垂直)B.有水平渐近线y=0C.有垂直渐近线x=±1D.有水平渐近线y=1 5.设f'(x)=[ϕ(x)],其中ϕ(x)在(-∞,+∞)连续,可导ϕ'(x)>0,则y=f(x)在3 (-∞,+∞)() A.单调增B.单调减C.上凹D.下凹 6.曲线y=ax3+bx2+cx+d(a≠0),最多拐点个数是() A.1个B.2个C.3个D.0个 x-17.关于曲线y=2的拐点,下述论断正确的是()x+1 A.有3个拐点,且在一条直线上B.有3个拐点,但不在一条直线上 C.只有2个拐点D.只有1个拐点 8.曲线y=x-1的渐近线方程是()x+1 A.x=1,y=1B.x=-1,y=1C.x=1,y=-1D.x=-1,y=-1 二.填空题 1.曲线y=xe2x的下凹区间是. 2.曲线y=2lnx+x2-1的拐点坐标是3.曲线y=lnx2+1的下凹区间是() x3x4 4.曲线y=的上凹区间是+34 5.曲线y=3x-x3的拐点坐标是6.曲线y=lnx的渐近线方程是x 7.曲线y=x3-6x+2的拐点是x2 8.曲线y=的拐点是1+x2 三.求下列极限12(-)1.limx→11-x1-x2 11(2-)2.limx→0xsin2x x1(-)3.limx→1x-1lnx 1⎫⎛14.lim-⎪ x→0+⎝xex-1⎭ 四.求下列极限1.limx(e-1)x→∞1x 1)x→∞x2 1(1+2)3.limexlnx→+∞x πx(1-x)tan4.limx→12 161-cos3)5.limx(x→∞x 五.求下列函数的单调增减区间41-cos2.limx( 1.y=2x2-lnx 2.y=x4x-x2 3.y=(x-1)(x+1)3 习题四 一.选择题 1.函数y=x+4的单调减少区间是()x A.(-∞,-2)⋃(2,+∞)B.(-2,2)C.(-∞,0)⋃(0,+∞)D.(-2,0)⋃(0,2) 2.以下结论正确的是() A.函数f(x)的导数不存在的点,一定不是f(x)的极值点 B.若x0为函数f(x)的驻点,则x0必为函数f(x)的极值点 C.若函数f(x)在点x0处有极值,且f'(x0)存在,则必有f'(x0)=0 D.若函数f(x)在点x0处连续,则f'(x0)一定存在 1()x A.仅有水平渐近线B.既有水平渐近线,又有铅直渐近线 C.仅有铅直渐近线D.既无水平渐近线,又无铅直渐近线3.曲线y=xsin 4.函数y=e-x在定义区间内是严格单调() A.增加且凹的B.增加且凸的C.减少且凹的D.减少且凸的 5.曲线y=6x-24x2+x4的凸区间是() A.(-2,2)B.(-∞,0)C.(0,+∞)D.(-∞,+∞) 6.函数y=ln(1+x2)的单调增加区间是() A.(-5,5)B.(-∞,0)C.(0,+∞)D.(-∞,+∞) 7.函数y=x-arctanx在(-∞,+∞)内是() A.单调增加B.单调减少C.不单调D.不连续 二.填空题 1.函数y=ln1+x2的单调增加区间是2.函数y=x3-3x2+7的极小值是3.函数y=ex-x-1的极值. 0x〈4.当〈()π 2时,tanx+sinx2x. 5.曲线y=2x3+3x2-12x+14的拐点为. 6.函数y=1+36x x+332的图形的水平渐近线为457.函数y=(x-1)(x-2)(x-3)的极值点为x=8.函数y=x2x的极小值点是三.求下列函数的极值 1.y=2x3-6x2-18x+7 2.y=x-ln(1+x) 3.y=2ex+e-x 四.证明下列各不等式的正确性 1.当x>0时,x>ln(1+x) 2(x-1)x+1 arctanx3.当x≥0时,ln(1+x)≥1+x 五.应用题 1.欲围一个面积为150平方米的矩形场地,所用材料的造价其正面是每平方米6元,其 余三面是每平方米3元,问场地的长、宽各为多少米时,才能使所用的材料费最少? 2.欲用围墙围成面积为216平方米的矩形场地,并在正中用一堵墙将其隔成两快,问此场地的长、宽各为多少米时,才能使所用的建筑材料最少? 3.某窗的形状为半圆置于矩形之上,若此窗框的周长为一定值l.试确定半圆的半径r和矩形的高h,使所能通过的光线最为充足. 答案 习题一 一.选择题2.当x>1时,lnx> 1.使函数f(x)=x2(1-x2)适合罗尔定理条件的区间是(A) ⎡34⎤A.[0,1]B.[-1,1]C.[-2,2]D.⎢-,⎥⎣55⎦ 2.函数f(x)=e-xsinx在[0,π]上满足罗尔定理的ξ=(C)ππ5πB.πC.D.424 13.设f(x)=,ab<0,则在a<ξ A.只有一点B.有两个点C.不存在D.是否存在,与a,b值有关 ⎧3-x2,0≤x≤1⎪4.设f(x)=⎨2, ⎪,1 则在区间(0,2)内适合f (2)-f(0)=f'(ξ)(2-0)的ξ值(C) A.只有一个B.不存在C.有两个D.有三个 5.设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,若设(I): f(a)=f(b);(II): 在(a,b)内至少有一点ξ,使得f'(ξ)=0,则(I)与(II)之间的关系是(A) A.(I)是(II)的充分而非必要条件B.(I)是(II)的必要而非充分条件 C.(I)是(II)的充分必要条件D.(I)是(II)的既非充分也非必要条件6.f(0)=g(0),当x>0时,有f'(x) A.f(x) ⎡1⎫7.函数y=xx在区间⎢,+∞⎪(C)⎣e⎭ ⎛1⎫⎛1⎫A.不存在最小值B.最大值是eC.最大值是⎪D.最小值是⎪⎝e⎭⎝e⎭1e1e1e 二.填空题 1.函数f(x)=1-x2在[-1,1]上不能有罗尔定理的结论,其原因是f(x)不满足罗尔定理的条件.f(-1)在(-1内处处可导,1) 2.函数f(x)=x4在[1,2]上满足拉格朗日定理,则ξ=ln(3x+1)1=.x→06x2 lnx4.lima=(a>0)0x→+∞x 1π5.在x≠0时,arctanx2+arctan2=恒成立.2x1543.lim π⎡π5π⎤6.据罗尔定理,f(x)=lnsinx在区间⎢⎥上满足f‘(ξ)=0的ξ2⎣66⎦ aax-bx a>0,b>0)=.ln7.极限limx→0bx 三.求下列极限3x2-x-21.lim3x→212x-8 2.limx→2x2-9x-33+2x2-13.lim0x→0x2+x 1x2+5-34.lim2x→26x-4 mxm-15.limnx→1x-1n 1-cos3x9x→02x2 x-sinx17.lim3x→06x x-sinx18.limx→0tanx-x2 tanx-x19.limx→0xsin2x3 lnx10.lim1x→1x-1 6.lim 习题二 一.选择题 1.设函数f(x)在区间(a,b)内可导,则在(a,b)内f'(x)>0是f(x)在(a,b)内单调增的(B) A.必要而非充分条件B.充分而非必要条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件 2.设函数f(x)=2x2-lnx的单调增区间是(C) 1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛A.0,⎪B.-,0⎪,+∞⎪C.,+∞⎪D.-∞,-⎪0,⎪2⎭⎝2⎭⎝2⎭⎝2⎭⎝2⎭⎝2⎭⎝ 3.若x=1和x=2都是函数y=(a+x)e的极值点,则a,b的值为(A) A.a=1,b=2B.a=2,b=1C.a=-2,b=-1D.a=-2,b=1 f(x)-f(a)在(a,b]内是(A)x-a A.单调增加的B.单调减少的C.有极大值D.有极小值bx4.若f(x)的二阶导数存在,且f''(x)>0,则F(x)= 5.设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)单调增加,下面各式成立的是(A) A.a>0,b2-3ac≤0B.a>0,b2-3ac≥0C.a<0,b2-3ac≤0 D.a<0,b2-3ac≥0 6.下列命题中,正确的是(C) A.若y=f(x)在x=x0处有f'(x)=0,则f(x)在x=x0处取极值B.极大值一定大于极小值C.若可导函数f(x)在x=x0处取极大值,则必有f'(x0)=0D.最大值就是极大值 7.若函数f(x)=x3+ax2+bx在x=1处有极小值-2,则必有(C) A.a=-4,b=1B.a=4,b=-7C.a=0,b=-3D.a=1,b=1 8.设f(x)处处连续,在x=x1处有f'(x1)=0,在x=x2处f(x)不可导,则(D) A.x=x1及x=x2都一定不是极值点B.只有x=x1是极值点C.只有x=x2是极值点D.x=x1及x=x2都有可能是极值点 二.填空题 1.函数f(x)=x3-3-sin6x的单调区间是(-∞,0)(0,+∞)x 2.函数f(x)=10arctanx-3lnx的极大值点是.3 3.函数f(x)=13x-3x2+9x在区间[0,4]上的最大值点x=3 4.函数f(x)=ex-x在(-∞,+∞)的最小值点x=.0 5.函数f(x)=xe-x在(-∞,+∞)的最大值点x=6.极限limπx→2tanx=.3tan3x tanx-x1=.x→0x2sinx3 三.求下列极限7.极限lim e2x-1-2xe2x-1-2xlim1.lim2x→0x→0sin2xsin2x e2x+sinx-3x-12.lim1x→0xln1+2x 5x5-13.lim9x→1x-19 ln(1-5x)5-x→0sin4x4 lncosx1-5.limx→02x24.lim 6.limπx→8tan2x-11-sin8x2 7.limarcsinx-x13x→06sinx x2-cosx2-18.lim2x→1lnx 1ex+e-x-29.limx→04sin22x() 10.lim+x→0lnsin4x1lnsin5x xe2x 11.lim∞x→+∞x+e2x 习题三 一.选择题 1.设f(x)在点x=x0邻域三阶连续可导,且f'(x0)=f''(x0)=0,f'''(x0)>0,则有结论(C) A.f(x0)是极大值B.f(x0)是极小值C.(x0,f(x0))是拐点D.f(x)在x=x0处无极值也无对应的拐点 ⎧lnx-x,x≥12.设函数f(x)=⎨2,则该函数在x=1处(C)x-2x,x<1⎩ A.有最小值B.最大值有C.有对应的拐点D.无对应的拐点 3.若点(1,3)是曲线y=ax3+bx2的拐点,则a,b的值为(C)933993,b=-B.a=-6,b=9C.a=-,b=D.a=-,b=222222 x4.曲线y=x+2(C)x-1A.a= A.没有渐近线(水平和垂直)B.有水平渐近线y=0C.有垂直渐近线x=±1D.有水平渐近线y=1 5.设f'(x)=[ϕ(x)],其中ϕ(x)在(-∞,+∞)连续,可导ϕ'(x)>0,则y=f(x)在3 (-∞,+∞)(C) A.单调增B.单调减C.上凹D.下凹 6.曲线y=ax3+bx2+cx+d(a≠0),最多拐点个数是(A) A.1个B.2个C.3个D.0个 x-17.关于曲线y=2的拐点,下述论断正确的是(A)x+1 A.有3个拐点,且在一条直线上B.有3个拐点,但不在一条直线上 C.只有2个拐点D.只有1个拐点 8.曲线y=x-1的渐近线方程是(B)x+1 A.x=1,y=1B.x=-1,y=1C.x=1,y=-1D.x=-1,y=-1 二.填空题 1.曲线y=xe2x的下凹区间是(-∞,-1) 2.曲线y=2lnx+x2-1的拐点坐标是.(1,0) 3.曲线y=lnx2+1的下凹区间是(-∞,-1)(0,1) x3x42⎫⎛+4.曲线y=的上凹区间是-∞,-⎪(0,+∞)343⎭⎝() 5.曲线y=3x-x3的拐点坐标是6.曲线y=lnx的渐近线方程是x=0,y=0x 7.曲线y=x3-6x+2的拐点是 ⎛x21⎫,⎪8.曲线y=的拐点是±2⎪341+x⎝⎭ 三.求下列极限121(-)-1.lim2x→11-x21-x 111(2-)-2.limx→0x3sin2x x11(-)3.limx→1x-1lnx2 11⎫⎛14.lim-⎪xx→0+⎝x2e-1⎭ 四.求下列极限1.limx(e-1)1x→∞1x 11)2x→∞2x 1(1+2)3.limexln+∞x→+∞x πx2(1-x)tan4.limx→12π 1161-cos3)5.limx(x→∞2x 五.求下列函数的单调增减区间41-cos2.limx( ⎛1⎫⎛1⎫1.y=2x2-lnx单调减区间0⎪单调增区间,+∞⎪⎝2⎭⎝2⎭ 2.y=x4x-x2单调减区间(3,4)单调增区间(0,3) 1⎫⎛⎛1⎫33.y=(x-1)(x+1)单调减区间-∞⎪单调增区间,+∞⎪2⎭⎝2⎭⎝ 习题四 一.选择题 1.函数y=x+4的单调减少区间是(D)x A.(-∞,-2)⋃(2,+∞)B.(-2,2)C.(-∞,0)⋃(0,+∞)D.(-2,0)⋃(0,2) 2.以下结论正确的是(C) A.函数f(x)的导数不存在的点,一定不是f(x)的极值点 B.若x0为函数f(x)的驻点,则x0必为函数f(x)的极值点 C.若函数f(x)在点x0处有极值,且f'(x0)存在,则必有f'(x0)=0 D.若函数f(x)在点x0处连续,则f'(x0)一定存在 1(A)x A.仅有水平渐近线B.既有水平渐近线,又有铅直渐近线 C.仅有铅直渐近线D.既无水平渐近线,又无铅直渐近线3.曲线y=xsin 4.函数y=e-x在定义区间内是严格单调(C) A.增加且凹的B.增加且凸的C.减少且凹的D.减少且凸的 5.曲线y=6x-24x2+x4的凸区间是(A) A.(-2,2)B.(-∞,0)C.(0,+∞)D.(-∞,+∞) 6.函数y=ln(1+x2)的单调增加区间是(C) A.(-5,5)B.(-∞,0)C.(0,+∞)D.(-∞,+∞) 7.函数y=x-arctanx在(-∞,+∞)内是(A) A.单调增加B.单调减少C.不单调D.不连续 二.填空题 1.函数y=ln1+x2的单调增加区间是(0,+∞) 2.函数y=x3-3x2+7的极小值是3.函数y=ex-x-1的极值.0 0x〈4.当〈()π 2时,tanx+sinx2x.> 1⎫⎛15.曲线y=2x3+3x2-12x+14的拐点为-,20⎪2⎭⎝2 6.函数y=1+36x x+32的图形的水平渐近线为y=1 453457.函数y=(x-1)(x-2)(x-3)的极值点为x=,,232 18.函数y=x2x的极小值点是-ln2 三.求下列函数的极值 1.y=2x3-6x2-18x+7极大值y(-1)=17极小值y(3)=-47 2.y=x-ln(1+x)极小值y(0)=0 ⎛ln2⎫3.y=2ex+e-x极小值y-⎪=222⎝⎭ 四.证明下列各不等式的正确性 1.当x>0时,x>ln(1+x) 2.当x>1时,lnx>2(x-1)x+1 arctanx3.当x≥0时,ln(1+x)≥1+x 五.应用题 1.欲围一个面积为150平方米的矩形场地,所用材料的造价其正面是每平方米6元,其 余三面是每平方米3元,问场地的长、宽各为多少米时,才能使所用的材料费最少? 长10米宽15米
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- 高等数学 题库 03 导数 应用