实变函数复习资料带答案.docx
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实变函数复习资料带答案
《实变函数》试卷一
一、单项选择题(3分×5=15分)
1、下列各式正确的是()
(A)limAn
Ak;
(B)limAn
n1kn
Ak;
n
n1kn
n
(C)limAn
Ak;
(D)limAn
n1k
Ak;
n
n1kn
n
n
2、设P为Cantor集,则下列各式不成立的是(
)
(A)Pc(B)
mP0
(C)P'
P
(D)
PP
3、下列说法不正确的是()
(A)凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测(C)开集和闭集都是波雷耳集(D)波雷耳集都可测
4、设fn(x)是E上的a.e.有限的可测函数列,则下面不成立的
是()(A)若fn(x)f(x),则fn(x)f(x)(B)
supfn(x)是可测函数(C)inf
fn(x)是可测函数;(D)若
n
n
fn(x)f(x),则f(x)可测
5、设f(x)是[a,b]上有界变差函数,则下面不成立的是
(
)(A)
f(x)在[a,b]上有界
(B)f(x)在[a,b]上几
乎处处存在导数
(C)f'(x)在[a,b]上L可积(D)
b
f'(x)dxf(b)f(a)
a
二.填空题(3分×5=15分)
1、(CsACsB)(A(AB))_________
2、设E是0,1上有理点全体,则
o
E'=______,E=______,E=______.
3、设E是Rn中点集,如果对任一点集T都
,则称E是L可测的
4、f(x)可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极
限函数.(填“充分”,“必要”,“充要”)
5、设f(x)为a,b上的有限函数,如果对于a,b的一切分划,
使_____________________________________则,称f(x)为
a,b上的有界变差函数。
三、下列命题是否成立?
若成立,则证明之;若不成立,则举反
例说明.(5分×4=20分)1、设ER1,若E是稠密集,则CE
是无处稠密集。
2、若mE0,则E一定是可数集.
3、若|f(x)|是可测函数,则f(x)必是可测函数
4.设f(x)在可测集E上可积分,若xE,f(x)0,则
f(x)0
E
(第1页,共15页)
四、解答题(8分×2=16分).
2
为无理数
1、(8分)设f(x)
x
x
,则f(x)
在0,1
上是否R
为有理数
1,x
可积,是否L
可积,若可积,求出积分值。
2、(8分)求lim
ln(x
n)excosxdx
n
0
n
五、证明题(6分×4+10=34分).
1、(6分)证明
0,1上的全体无理数作成的集其势为
c.
2、(6分)设f(x)是
上的实值连续函数,则对于任意
常数a,E{x|f(x)
a}是闭集。
3、(6分)在a,b
上的任一有界变差函数f(x)都可以表示为
两个增函数之差。
4、(6分)设mE
f(x)在E上可积,en
E(|f
|
n),则
limnmen0.
n
5、(10分)设f
(x)是E上a.e.有限的函数,若对任意
0,
存在闭子集F
E,使f(x)在F上连续,且m(E
F),
证明:
f(x)是E上的可测函数。
(鲁津定理的逆定理
试卷一(参考答案及评分标准)
一、1.C
2D3.B4.A5.D
二、1.
2
、0,1;
;
0,13、
m*Tm*(TE)m*(TCE)
4、充要
5、
n
|f(xi)f(xi
1)|
成一有界数集。
i1
三、1.错误2分例如:
设E是0,1上有理点全体,则E和CE
都在0,1
中稠密5分
2.错误2分例如:
设E是Cantor集,则mE0,但E
c,故
其为不可数集
5
分
3.错误例如:
设E是a,b上的不可测集,
x,x
E;
f(x)
x,x
a,bE;
则|f(x)|是a,b
上的可测函数,但f(x)不是a,b
上的可测函
数⋯
0时,对E上任意的实函数f(x)都有
(
)
0
.错误mE
f
4
xdx
E
四、.f(x)
在
0,1上不是
R
可积的,因为f(x)仅在
x
1处
1
连续,即不连续点为正测度集⋯⋯..3分因为f(x)是有界可测
(第2页,共15页)
函数,f(x)在0,1上是L可积的⋯6分
因为f(x)与x2
a.e.相等,进一步,
f(x)dx
1
1⋯8
x2dx
0,1
0
3
分
2.解:
设fn(x)
ln(x
n)excosx,则易知当n
时,
n
fn(x)
0
2
分
'
又因lnt
1
lnt
0,(t
3),所以当n
3,x
0时,
t
t2
ln(x
n)n
xln(x
n)
n
xln3
ln3(1
x)⋯⋯4分
3.
n
n
x
n
n
3
3
从而使得|fn(x)|
ln
3(1
x)e
x⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
3
但是不等式右边的函数,在
0,
上是L可积的,故有
lim
fn(x)dx
0
limfn(x)dx
0
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
n0
n
五、1.设E
[0,1],
A
EQ,B
E
(EQ).
B是无限集,
可数子集M
B
⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
A是可数集,
A
M
M.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.3
分
BM(BM),EABAM(BM),
分
且(AM)(BM)
M(BM)
⋯⋯⋯..5
EB,Bc.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
2.xE,则存在E中的互异点列{xn},使limxnx⋯⋯⋯.2
n
分
xnE,f(xn)a⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.3分
f(x)在x点连续,f(x)limf(xn)a
n
xE⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
E是闭集.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.6分
对1,0,使对任意互不相交的有限个
(ai,bi)
(a,b)
n
n
⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
当(bi
ai)
时,有
f(b)i
f(ai)1
i1
i
1
n
将[a,b]
m等分,使
xi
xi1
,对
i
1
k
T:
xi1
z0
z1
zk
xi,有
f(zi)
f(zi1)
1,所以
i1
f(x)在[xi1,xi]上是有界变差函数⋯⋯⋯⋯⋯⋯.5
分
xi
b
所以V(f)
1,从而V(f)
m,因此,f(x)是[a,b]上的有界
xi1
a
(第3页,共15页)
变差函数⋯⋯⋯..6分
4、f(x)在E上可积
limmE(|f|
n)
mE(|f|
)
0⋯⋯2分
n
据积分的绝对连续性,
0,
0,
e
E,me,有
|f(x)|dx
⋯⋯⋯.4
分
e
对上述
0,
k,n
k,mE(|f
|
n)
,从而
nmen
|f(x)|dx,即iml
nmen
0
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
en
n
5.n
N,存在闭集F
E,m
E
F
n
1,f(x)在Fn连
n
2n
续⋯⋯⋯⋯2分
令F
k1nk
Fn,则xF
k,x
nk
F,n
n,kxFn()fx
在F连续⋯⋯⋯4分
又对任意k,
mE
[
(
Fn
)]
[(
EFn
)]
FmE
nk
m
nk
m(EFn)
1
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.6
分
nk
2k
故m(E
F)
0,f(x)在F
E连续⋯⋯⋯⋯..8分
又m(E
F)
0,所以f(x)是E
F上的可测函数,从而是E上
的
可测函数⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..10分
《实变函数》试卷二
一.单项选择题(3分×5=15分)
1.设
M,N是两集合,则
M
(MN)=(
)
(A)M(B)
N(C)M
N
(D)
2.下列说法不正确的是()
(A)P0的任一领域内都有E中无穷多个点,则P0是E的聚点
(B)P0的任一领域内至少有一个E中异于P0的点,则P0是E
的聚点
(C)存在E中点列P
,使Pn
P0,则P0是E的聚点
n
(D)内点必是聚点
3.下列断言()是正确的。
(A)任意个开集的交是开集;(B)任意个闭集的交是
闭集;
(C)任意个闭集的并是闭集;(D)以上都不对;
4.下列断言中()是错误的。
(A)零测集是可测集;(B)可数个零测集的并是
零测集;
(C)任意个零测集的并是零测集;(D)零测集的任意子集是
可测集;
5.若f(x)是可测函数,则下列断言()是正确
的
(第4页,共15页)
(A)
f(x)在a,bL
可积
|f(x)|在a,bL
可积;
(B)
f(x)在a,bR
可积
|f(x)|在a,bR
可积
(C)
f(x)在a,bL
可积
|f(x)|在a,bR
可积;
(D)
f(x)在a,
R广义可积
f(x)在a,+L
可积
二.填空题(3分×5=15分)
1、设An
[1,2
1],n1,2,,则limAn_________。
n
n
n
2、设P为Cantor集,则
,mP
o
。
P
_____,
P=________
3、设Si
是一列可测集,则m
Si______mSi
i1
i1
4、鲁津定理:
__________________________________________
5、设F(x)为a,b上的有限函数,如果_________________则
称F(x)为a,b上的绝对连续函数。
三.下列命题是否成立?
若成立,则证明之;若不成立,则说明原因或举出反例.(5分×4=20分)
1、由于0,10,10,1,故不存在使0,1和01,之间11对
应的映射。
2、可数个零测度集之和集仍为零测度集。
3、a.e.收敛的函数列必依测度收敛。
4、连续函数一定是有界变差函数。
四.解答题(8分×2=16分)
为无理数
1、设f(x)
x,x
,则f(x)在0,1上是否R
可积,
为有理数
1,x
是否L
可积,若可积,求出积分值。
2、求极限
lim
1
nx
3
nxdx.
0
2
2sin
n
1
nx
五.证明题(6分×3+82=34分)
1.(6
分)1、设f(x)是(
)上的实值连续函数,则对任意
常数c,E
{x|f(x)
c}
是一开集.
2.(6
分)设
0,开集G
E,使m*(GE)
,则E是可测
集。
3.(6分)在a,b上的任一有界变差函数f(x)都可以表示为
两个增函数之差。
4.(8分)设函数列fn(x)(n1,2,)在有界集E上“基本上”
一致收敛于f(x),证明:
fn(x)a.e.收敛于f(x)。
5.(8分)设f(x)在Ea,b上可积,则对任何
0
,必存
b
.
在E上的连续函数(x),使|f(x)(x)|dx
a
(答案及评分标准)一、1,C2,C3,
B4,
C5,
(第5页,共15页)
A
3.错误。
例如:
取E
(0,),作函数列:
二、1,0,22,c;0;3
4,设f(x)是E
,
1,x
(0,n]
n
1,2,
上a.e.有限的可测函数,则对任意
0,存在闭子集E
E,
fn(x)
(n,
0,x
)
使得f(x)在E上是连续函数,且
m(EE)
。
显然fn(x)
1,当x
E。
但当01时,
5,对任意
0,
0,使对a,b中互不相交的任意有限个
1,2,
,只要
n
开区间
ai
bi
i
biai
,就有
n
i
1
n
|F(bi)F(ai)|
i1
三、1.错误记(0,1)中有理数全体
(0)
r1
R{r1,r2,
}
(1)
r2
(rn)
rn2,n1,2
(x)
为,中无理数,
x,x[01]
显然是[0,1]到(0,1)上的11映射。
⋯⋯⋯⋯⋯5分
2.正确⋯设Ei为零测度集,0m*(Ei)m*E0,所以,
i1i1
m*(Ei)0因此,
Ei是零测度集。
⋯⋯⋯⋯⋯
5分
i1
i1
E[|
fn1|
](n,
)
且m(n,
)
这说明fn(x)不测度收敛到
1.⋯⋯5分
4.错误⋯⋯2分例如:
f(x)
xcos
2x
0
x
1,显然是
0,1的
0,x
0.
连续函数。
如果对0,1
取分划T:
0
1
1
1
1
2n
2n
1
3
1,则容易证
2
2n
n
1
明
|f(xi)
f(xi1)|
1,从而得到V(f)
⋯5分
i
1
i1
i
0
四、1.f
(x)在0,1
上不是R
可积的,因为f(x)仅在x1处
连续,即不连续点为正测度集⋯⋯⋯⋯
3分
因为f(x)是有界可测函数,所以
f(x)在0,1
上是L可积
的⋯⋯⋯.6
分
因为f(x)与xa.e.相等,
f(x)dx
1
1⋯8
进一步,
0,1
xdx
0
2
(第6页,共15页)
分
2设fn(x)
nx
3
nxdx
,则易知当n
时,
1
n
2
x
2sin
fn(x)
0⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
又|fn(x)|
nx
⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
1n2x2
但是不等式右边的函数,在
0,
上是L可积的⋯⋯⋯6分
故有lim
0
fn
(x)dx
0
limfn(x)dx
0⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
n
n
五、1.
x
E,f(x)
c⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..1分
f(x)在
x点连续,
对
f(x)
c0,
U(x,),当
yU(x,)时,
有f(y)f(x)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分
f(x)cf(y)f(x)f(x)cf(y)c,yE⋯5分
因此U(x,
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