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建模1
数学实验报告
实验序号:
1日期:
2012年6月10日
班级
09c
姓名
张俊光
学号
094080246
名称
指派问题(AssignmentProblem)
问题的背景:
1.应用常用的数学软件LINGO将数学中的一些LinearProgramming问题进行方便的求解处理,
2.指派问题又称分配问题,其用途非常广泛,比如某公司指派n个人去做n件事,各人做不同的一件事,如何安排人员使得总费用最少?
若考虑每个职工对工作的效率(如熟练程度等),怎样安排会使总效率达到最大?
这些都是一个企业经营管理者必须考虑的问题,所以该问题有重要的应用价值.
实验目的:
在实验中学会使用LINGO软件和掌握标准指派问题的提法及模型
指派问题的标准形式是:
有n个人和n件事,已知第i个人做第j件事的费用为cij(i,j=1,2,…,n),要求确定人和事之间的一一对应的指派方案,使完成这n件事的总费用最小。
设n2个0-1变量
(i,j=1,2,…,n)
数学模型为:
其中矩阵C称为是效率矩阵或系数矩阵。
其解的形式可用0-1矩阵的形式来描述,即(xij)nn。
标准的指派问题是一类特殊的整数规划问题,又是特殊的0-1规划问题和特殊的运输问题。
1955年W.W.Kuhn利用匈牙利数学家D.Konig关于矩阵中独立零元素的定理,提出了解指派问题的一种算法,习惯上称之为匈牙利解法。
匈牙利解法
匈牙利解法的关键是指派问题最优解的以下性质:
若从指派问题的系数矩阵C=(cij)的某行(或某列)各元素分别减去一个常数k,得到一个新的矩阵C’=(c’ij),则以C和C’为系数矩阵的两个指派问题有相同的最优解。
(这种变化不影响约束方程组,而只是使目标函数值减少了常数k,所以,最优解并不改变。
)
对于指派问题,由于系数矩阵均非负,故若能在在系数矩阵中找到n个位于不同行和不同列的零元素(独立的0元素),则对应的指派方案总费用为零,从而一定是最优的。
匈牙利法的步骤如下:
步1:
变换系数矩阵。
对系数矩阵中的每行元素分别减去该行的最小元素;再对系数矩阵中的每列元素分别减去该列中的最小元素。
若某行或某列已有0元素,就不必再减了(不能出现负元素)。
步2:
在变换后的系数矩阵中确定独立0元素(试指派)。
若独立0元素已有n个,则已得出最优解;若独立0元素的个数少于n个,转步3。
确定独立0元素的方法:
当n较小时,可用观察法、或试探法;当n较大时,可按下列顺序进行
•从只有一个0元素的行(列)开始,给这个0元素加圈,记作,然后划去所在的列(行)的其它0元素,记作。
•给只有一个0元素的列(行)的0加圈,记作,然后划去所在行的0元素,记作。
•反复进行,直到系数矩阵中的所有0元素都被圈去或划去为止。
•如遇到行或列中0元素都不只一个(存在0元素的闭回路),可任选其中一个0元素加圈,同时划去同行和同列中的其它0元素。
被划圈的0元素即是独立的0元素。
步3:
作最少数目的直线,覆盖所有0元素(目的是确定系数矩阵的下一个变换),可按下述方法进行
1)对没有的行打“”号;
2)在已打“”号的行中,对所在列打“”
3)在已打“”号的列中,对所在的行打“”号;
4)重复2)3),直到再也找不到可以打“”号的行或列为止;
5)对没有打“”的行划一横线,对打“”的列划一纵线,这样就得到覆盖所有0元素的最少直线数。
步4:
继续变换系数矩阵,目的是增加独立0元素的个数。
方法是在未被直线覆盖的元素中找出一个最小元素,然后在打“”行各元素中都减去这一元素,而在打“”列的各元素都加上这一最小元素,以保持原来0元素不变(为了消除负元素)。
得到新的系数矩阵,返回步2。
问题:
指派问题:
有四个工人,要分别指派他们去完成四项不同的工作,每个人做各项工作所消耗的时间如表4—4所示。
问:
应该如何指派,才能使总的消耗时间为最小?
表4—44个工人做各项工作所消耗的时间
A
B
C
D
甲
15
18
21
24
乙
19
23
22
18
丙
26
17
16
19
丁
19
21
23
17
数学模型:
记
表示上述表格中第i行第j列的时间消耗值,同时规定
表示指派第i个人去做第j项工作。
变量约束:
由
的定义可知
只能取0和1,即:
目标函数:
minz=
.
约束条件1:
每个人只能做一样工作,即:
=1.
约束条件2:
每项工作只能有一个人来做,即:
=1.
编程得到:
【LINGO命令】
Model:
min=15*x11+18*x12+21*x13+24*x14+
19*x21+23*x22+22*x23+18*x24+
26*x31+17*x32+16*x33+19*x34+
19*x41+21*x42+23*x43+17*x44;
x11+x12+x13+x14=1;
x21+x22+x23+x24=1;
x31+x32+x33+x34=1;
x41+x42+x43+x44=1;
x11+x21+x31+x41=1;
x12+x22+x32+x42=1;
x13+x23+x33+x43=1;
x14+x24+x34+x44=1;
@BIN(x11);@BIN(x12);@BIN(x13);@BIN(x14);
@BIN(x21);@BIN(x22);@BIN(x23);@BIN(x24);
@BIN(x31);@BIN(x32);@BIN(x33);@BIN(x34);
@BIN(x41);@BIN(x42);@BIN(x43);@BIN(x44);
endmodel
【输出结果】
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
70.00000
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
0
VariableValueReducedCost
X110.00000015.00000
X121.00000018.00000
X130.00000021.00000
X140.00000024.00000
X211.00000019.00000
X220.00000023.00000
X230.00000022.00000
X240.00000018.00000
X310.00000026.00000
X320.00000017.00000
X331.00000016.00000
X340.00000019.00000
X410.00000019.00000
X420.00000021.00000
X430.00000023.00000
X441.00000017.00000
RowSlackorSurplusDualPrice
170.00000-1.000000
20.0000000.000000
30.0000000.000000
40.0000000.000000
50.0000000.000000
60.0000000.000000
70.0000000.000000
80.0000000.000000
90.0000000.000000
结果总结:
所以,让甲去做B工作,让乙去做C工作,让丙去做C工作,让丁去做D工作,总耗时的最小值70.
实验结果与实验总结(体会):
在一些数学模型的求解过程中,LINGO是一个有效地解决工具,学会使用该软件是必备的基本能力。
在求解结果中我们还可以得到相应“影子价格”,这对问题的分析和合理改进是相当重要的。
进一步讨论或展望:
在今后的学习过程中要把该软件作为必备工具来用,以此来达到快速解决问题的效果,并能对相关问题的改进做出合理的判断。
教师评语与成绩:
数学实验报告
实验序号:
3日期:
2012年6月10日
班级
09c
姓名
张俊光
学号
094080246
实名称
数学模型里的投资问题
问题的背景:
随着人们的社会生活水平不断地提高,一些高收入者或者是有一些资金储备的人会转向社会中的各种投资项目,证券投资就是其中的一种常见形式。
下面以数学模型中的习题为例对投资收益的最大问题作讨论并建立初步模型,并且应用刚学习的lingo软件来求解,以掌握该软件的使用法式是为目的。
实验目的:
在实验中学会使用LINGO软件,掌握LINGO软件的使用方法。
实验内容与数学模型:
某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资,可供购进的证券以及其信用等级和到期年限,收益如下表所示。
按照规定,市政证券的收益可以免税其他证券的收益需要按50%的税率纳税。
此外还有以下限制:
(1)政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元;
(2)所购证卷的平均信用度等级不超过1.4(信用度等级数字越小,信用程度越高。
)
(3)所购证券的平均到期年限不超过5年,。
证券名称
证券种类
信用等级
到期年限
到期税前收益(%)
A
市政
2
9
4.3
B
代办机构
2
15
5.4
C
政府
1
4
5.0
D
政府
1
3
4.4
E
市政
5
2
4.5
(1)若该经理有1000万元资金,应该如何投资?
(2)如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金,该经理应如何操作?
(3)在1000万元资金情况下,若证券A的税前收益增加为4.5%,投资应否改变?
若证券C的税前收益减少为4.8%,投资应否改变?
解:
分析:
设xi1,xi2,xi3,xi4,xi5(i=1,2…5)
根据给定的条件,将变量列于表1—1得:
项目
第1年
第2年
第3年
第4年
第5年
第6年
第7年
A
x11
x31
x41
x51
x61
B
x12
x32
x42
x52
x62
C
x13
x33
x43
x53
x63
D
x14
x34
x44
x54
x64
E
x15
x35
x45
x55
x65
第8年
第9年
第10年
第11年
第12年
第13年
第14年
第15年
x81
x91
x101
x111
x131
x141
x151
x82
x92
x102
x112
x132
x142
x152
x83
x93
x103
x113
x133
x143
x153
x84
x94
x104
x114
x134
x144
x154
x85
x95
x105
x115
x135
x145
x155
实验原理及数学模型:
Maxz=1.043x151+1.054x152+1.05x153+1.044x154+1.045x155
数学模型:
x12+x13+x14>4
x62+x63+x64>4
x112+x113+x114>4
6x11+6x12-4x13-4x14+36x15<0
6x61+6x62-4x63-4x64+36x65<0
6x111+6x112-4x113-4x114+36x115<0
4x11+10x12-x13-2x14-3x15<0
4x61+10x62-x63-2x64-3x65<0
4x111+10x112-x113-2x114-3x115<0
x11+x12+x13+x14+x15=10
x31+x32+x33+x34+x35-1.045x15=0
x41+x42+x43+x44+x45-1.04x14=0
x51+x52+x53+x54+x55-1.05x13=0
x61+x62+x63+x64+x65-1.043x51-1.054x52-1.05x53-1.044x54-1.045x55=0
x81+x82+x83+x84+x85-1.045x65=0
x91+x92+x93+x94+x95-1.04x64=0
x101+x102+x103+x104+x105-1.05x63=0
x111+x112+x113+x114+x115-1.043x101-1.054x102-1.05x103-1.044x104-1.045x105=0
x131+x132+x133+x134+x135-1.045x115=0
x141+x142+x143+x144+x145-1.04x114=0
x151+x152+x153+x154+x155-1.05x113=0
x161+x162+x163+x164+x165-1.043x151-1.054x152-1.05x153-1.044x154-1.045x155=0
xi1,xi2,xi3,xi4,xi5>0i=1,2,…15
编程得到:
【LINGDO】
Max1.043x151+1.054x152+1.05x153+1.044x154+1.045x155
Subjectto
x12+x13+x14>4
x62+x63+x64>4
x112+x113+x114>4
6x11+6x12-4x13-4x14+36x15<0
6x61+6x62-4x63-4x64+36x65<0
6x111+6x112-4x113-4x114+36x115<0
4x11+10x12-x13-2x14-3x15<0
4x61+10x62-x63-2x64-3x65<0
4x111+10x112-x113-2x114-3x115<0
x11+x12+x13+x14+x15=10
x31+x32+x33+x34+x35-1.045x15=0
x41+x42+x43+x44+x45-1.04x14=0
x51+x52+x53+x54+x55-1.05x13=0
x61+x62+x63+x64+x65-1.043x51-1.054x52-1.05x53-1.044x54-1.045x55=0
x81+x82+x83+x84+x85-1.045x65=0
x91+x92+x93+x94+x95-1.04x64=0
x101+x102+x103+x104+x105-1.05x63=0
x111+x112+x113+x114+x115-1.043x101-1.054x102-1.05x103-1.044x104-1.045x105=0
x131+x132+x133+x134+x135-1.045x115=0
x141+x142+x143+x144+x145-1.04x114=0
x151+x152+x153+x154+x155-1.05x113=0
x161+x162+x163+x164+x165-1.043x151-1.054x152-1.05x153-1.044x154-1.045x155=0
end
【输出结果】
LPOPTIMUMFOUNDATSTEP8
OBJECTIVEFUNCTIONVALUE
1)13.55470
VARIABLEVALUEREDUCEDCOST
X1510.0000000.011000
X15212.8602420.000000
X1530.0000000.004000
X1540.0000000.010000
X1550.0000000.009000
X120.0000001.355469
X1310.0000000.000000
X140.0000000.000000
X620.0000001.224785
X6311.0670000.000000
X640.0000000.000000
X1120.0000001.106700
X11312.2478490.000000
X1140.0000000.000000
X110.0000001.355469
X150.0000000.000000
X610.0000001.224785
X650.0000000.000000
X1110.0000001.106700
X1150.0000000.000000
X310.0000001.297100
X320.0000001.297100
X330.0000001.297100
X340.0000001.297100
X350.0000001.297100
X410.0000001.303336
X420.0000001.303336
X430.0000001.303336
X440.0000001.303336
X450.0000001.303336
X510.0000000.013473
X5210.5000000.000000
X530.0000000.004899
X540.0000000.012248
X550.0000000.011023
X810.0000001.172043
X820.0000001.172043
X830.0000001.172043
X840.0000001.172043
X850.0000001.172043
X910.0000001.177678
X920.0000001.177678
X930.0000001.177678
X940.0000001.177678
X950.0000001.177678
X1010.0000000.012174
X10211.6203500.000000
X1030.0000000.004427
X1040.0000000.011067
X1050.0000000.009960
X1310.0000001.059043
X1320.0000001.059043
X1330.0000001.059043
X1340.0000001.059043
X1350.0000001.059043
X1410.0000001.064135
X1420.0000001.064135
X1430.0000001.064135
X1440.0000001.064135
X1450.0000001.064135
X16113.5546950.000000
X1620.0000000.000000
X1630.0000000.000000
X1640.0000000.000000
X1650.0000000.000000
ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES
2)6.0000000.000000
3)7.0670000.000000
4)8.2478490.000000
5)40.0000000.000000
6)44.2680020.000000
7)48.9913980.000000
8)10.0000000.000000
9)11.0670000.000000
10)12.2478490.000000
11)0.0000001.355469
12)0.0000001.297100
13)0.0000001.303336
14)0.0000001.290923
15)0.0000001.224785
16)0.0000001.172043
17)0.0000001.177678
18)0.0000001.166462
19)0.0000001.106700
20)0.0000001.059043
21)0.0000001.064135
22)0.0000001.054000
23)0.0000000.000000
NO.ITERATIONS=8
RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED:
OBJCOEFFICIENTRANGES
VARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLE
COEFINCREASEDECREASE
X1511.0430000.011000INFINITY
X1521.054000INFINITY0.004000
X1531.0500000.004000INFINITY
X1541.0440000.010000INFINITY
X1551.0450000.009000INFINITY
X120.0000001.355469INFINITY
X130.000000INFINITY1.355469
X140.0000001.355469INFINITY
X620.0000001.224785INFINITY
X630.000000INFINITY1.224778
X640.0000001.224785INFINITY
X1120.0000001.106700INFINITY
X1130.000000INFINITY1.106684
X1140.0000001.106700INFINITY
X110.0000001.355469INFINITY
X150.0000001.355469INFINITY
X610.0000001.224785INFINITY
X650.0000001.224785INFINITY
X1110.0000001.106700INFINITY
X1150.0000001.106700INFINITY
X310.0000001.297100INFINITY
X320.0000001.297100INFINITY
X330.0000001.297100INFINITY
X340.0000001.297100INFINITY
X350.0000001.297100INFINITY
X410.0000001.303336INFINITY
X420.0000001.303336INFINITY
X430.0000001.303336INFINITY
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