选修21第一章第一节命题.docx
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选修21第一章第一节命题
明目标、知重点
1.理解命题的概念及命题的构成,会判断一个命题的真假.2.理解四种命题及其关系,掌握互为逆否命题的等价关系及真假判断.
1.命题的概念
可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题.其中判断为真的语句叫作真命题.判断为假的语句叫作假命题.
数学中,通常把命题表示为“若p,则q”的形式,其中p是命题的条件,q是命题的结论.
2.四种命题的概念
一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么我们把这样的两个命题叫作互逆命题.其中一个命题叫作原命题,另一个叫作原命题的逆命题.
对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定,我们把这样的两个命题叫作互为否命题.如果把其中一个命题叫作原命题,那么另一个叫作原命题的否命题.
对于两个命题,其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定,我们把这样的两个命题叫作互为逆否命题.如果把其中的一个命题叫作原命题,那么另一个叫作原命题的逆否命题.
3.四种命题的相互关系
4.四种命题的真假性之间的关系
(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性.
(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.
探究点一 命题的概念
思考1 给出下列语句:
(1)2+4=7;
(2)垂直于同一条直线的两个平面平行;
(3)3能被2整除.
请你找出上述语句的特点.
答 共同特点:
能够判断真假.
小结 一般地,在数学中,我们把用语言,符号或式子表达的,可以判断真假的语句叫作命题.
思考2 命题有哪些表达形式,疑问句、祈使句、感叹句能否作为命题?
答 命题的表达形式有语言、符号或式子;疑问句、祈使句、感叹句不能作为命题,它们不符合命题必须是陈述句的特点.
例1 下列语句:
①垂直于同一条直线的两条直线平行吗?
②一个数不是正数就是负数;
③x,y都是无理数,则x+y是无理数;
④请把门关上;
⑤若直线l不在平面α内,则直线l与平面α平行.
其中是命题的是________.(填序号)
答案 ②③⑤
解析 ①不是命题,因为它是疑问句;②是命题;③是命题;④不是命题,因为它是祈使句;⑤是命题.
反思与感悟 并不是所有的语句都是命题,只有能判断真假的陈述句才是命题,命题首先是“陈述句”,其他语句如疑问句、祈使句、感叹句等一般都不是命题;其次是“能判断真假”,不能判断真假的陈述句不是命题,如“x≥2”、“小高的个子很高”等都不能判断真假,故都不是命题.
因此,判断一个语句是否为命题,关键有两点:
①是否为陈述句;②能否判断真假.
跟踪训练1 判断下列语句是不是命题.
(1)求证
是无理数.
(2)x2+2x+1≥0.
(3)你是高二学生吗?
(4)并非所有的人都喜欢吃苹果.
(5)一个正整数不是质数就是合数.
(6)若x∈R,则x2+4x+7>0.
(7)x+3>0.
解
(1)(3)(7)不是命题,
(2)(4)(5)(6)是命题.
探究点二 四种命题的概念
思考1 下列四个命题:
(1)若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数;
(2)若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数;
(3)若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期函数;
(4)若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦函数.
观察命题
(1)与命题
(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系?
答 命题
(1)的条件是命题
(2)的结论,且命题
(1)的结论是命题
(2)的条件.
对于命题
(1)和(3).其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定;
对于命题
(1)和(4).其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定.
思考2 若
(1)为原命题,则
(2)为
(1)的________命题,(3)为
(1)的________命题,(4)为
(1)的________命题.
答 逆 否 逆否
例2 设原命题是“若a=0,则ab=0”.
(1)写出它的逆命题、否命题及逆否命题;
(2)判断这四个命题是真命题还是假命题.
解
(1)逆命题:
若ab=0,则a=0;
否命题:
若a≠0,则ab≠0;
逆否命题:
若ab≠0,则a≠0.
(2)原命题和逆否命题都是真命题,逆命题和否命题都是假命题.
反思与感悟
(1)写命题的四种形式时,首先要找出命题的条件和结论,然后写出命题的条件的否定和结论的否定,再根据四种命题的结构写出所求命题.
(2)在写命题时,为了使句子更通顺,可以适当的添加一些词语,但不能改变条件和结论.
跟踪训练2 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假:
(1)实数的平方是非负数;
(2)若x、y都是奇数,则x+y是偶数.
解
(1)原命题是真命题.
逆命题:
若一个数的平方是非负数,则这个数是实数.真命题.
否命题:
若一个数不是实数,则它的平方不是非负数.真命题.
逆否命题:
若一个数的平方不是非负数,则这个数不是实数.真命题.
(2)原命题是真命题.
逆命题:
若x+y是偶数,则x、y都是奇数,是假命题;
否命题:
若x、y不都是奇数,则x+y不是偶数,是假命题;
逆否命题:
若x+y不是偶数,则x、y不都是奇数,是真命题.
探究点三 四种命题的关系
思考1 下列四个命题:
(1)若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数;
(2)若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数;
(3)若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期函数;
(4)若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦函数.
我们已经知道命题
(1)与命题
(2)(3)(4)之间的关系,那么任意两个命题之间有什么关系?
答
(2)(3)互为逆否命题.
(2)(4)互为否命题.(3)(4)互为逆命题.
思考2 四种命题的相互关系是什么?
答
思考3 通过以上学习,你认为如果原命题为真,那么它的逆命题、否命题的真假性是怎样的?
答 原命题为真,它的逆命题,否命题不一定为真.两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.
思考4 原命题为真,它的逆否命题的真假性如何?
答 原命题为真,它的逆否命题一定为真,两个命题互为逆否命题,它们的真假性相同.
小结 原命题与逆否命题总是具有相同的真假性,与逆命题或否命题的真假性没有关系.逆命题与否命题也总是具有相同的真假性.
例3 下列命题:
①“若xy=1,则x、y互为倒数”的逆命题;②“四边相等的四边形是正方形”的否命题;③“梯形不是平行四边形”的逆否命题;④“若ac2>bc2,则a>b”的逆命题.
其中的真命题是________.
答案 ①②③
解析 ①“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题是“若x,y互为倒数,则xy=1”,是真命题;
②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”,是真命题;
③“梯形不是平行四边形”本身是真命题,所以其逆否命题也是真命题;
④“若ac2>bc2,则a>b”的逆命题是“若a>b,则ac2>bc2”,是假命题.
所以真命题是①②③.
反思与感悟 要判断四种命题的真假:
首先,要熟悉四种命题的相互关系,注意它们之间的相互性;其次,利用其他知识判断真假时,一定要对有关知识熟练掌握.
跟踪训练3 有下列四个命题:
①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的否命题;
②一个实数不是正数就是负数;
③“若x≤-3,则x2-x-6>0”的否命题;
④“同位角相等”的逆命题.
其中真命题的个数是________.
答案 1
解析 ①“若x+y≠0,则x,y不是相反数”,是真命题.
②实数0既不是正数,也不是负数,故是假命题.
③“若x>-3,则x2-x-6≤0”,解不等式x2-x-6≤0可得-2≤x≤3,而x=4>-3不是不等式的解,故是假命题.
④“相等的角是同位角”,是假命题.
1.下列语句是命题的是( )
A.2014是一个大数
B.若两直线平行,则这两条直线没有公共点
C.对数函数是增函数吗
D.a≤15
答案 B
解析 A、D不能判断真假,不是命题;B能够判断真假而且是陈述句,是命题;C是疑问句,不是命题.
2.下列命题中是真命题的是( )
A.互余的两个角不相等
B.相等的两个角是内错角
C.若a2=b2,则|a|=|b|
D.三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角
答案 C
解析 由平面几何知识可知A、B、D三项都是错误的.
3.命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是( )
A.若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数
B.若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数
C.若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数
D.若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数
答案 B
解析 否命题是既否定条件又否定结论.
因此否命题应为“若函数f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数”.
4.给出以下命题:
①“若x2+y2≠0,则x、y不全为零”的否命题;
②“正多边形都相似”的逆命题;
③“若m>0,则x2+x-m=0有实根”的逆否命题.
其中为真命题的是________.
答案 ①③
解析 ①否命题是“若x2+y2=0,则x,y全为零”,真命题.
②逆命题是“若两个多边形相似,则这两个多边形为正多边形”,假命题.
③∵Δ=1+4m,当m>0时,Δ>0,∴x2+x-m=0有实根,即原命题为真.∴逆否命题为真.
[呈重点、现规律]
1.可以判断真假的陈述句是命题,命题的条件与结论之间属于因果关系,真命题可以给出证明,假命题只需举出一个反例即可.
2.任何命题都是由条件和结论构成的,可以写成“若p,则q”的形式.含有大前提的命题写成“若p,则q”的形式时,大前提应保持不变.
3.写四种命题时,可以按下列步骤进行:
(1)找出命题的条件p和结论q;
(2)写出条件p的否定綈p和结论q的否定綈q;
(3)按照四种命题的结构写出所有命题.
4.判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断,这也是反证法的理论基础.
一、基础过关
1.下列语句不是命题的有( )
①2<1;②x<2014;③若x<2,则x<1;
④函数f(x)=x2是R上的偶函数.
A.0个B.1个C.2个D.3个
答案 B
解析 ①③④是可以判断真假的陈述句,是命题;②不能判断真假,所以不是命题.
2.下列命题是真命题的是( )
A.{∅}是空集
B.{x∈N||x-1|<3}是无限集
C.π是有理数
D.x2-5x=0的根是自然数
答案 D
解析 x2-5x=0的根为x1=0,x2=5,均为自然数.
3.下列命题中真命题的个数为( )
①若x2=1,则x=1;
②若x=y,则
=
;
③若a>b,则a+c>b+c;
④梯形的对角线一定不垂直.
A.1B.2C.3 D.4
答案 A
解析 ①错;②错,x=y时,
,
不一定有意义;③对,不等式两边同时加上同一个常数,不等号开口方向不变;④错.
4.已知下列三个命题:
①若一个球的半径缩小到原来的
,则其体积缩小到原来的
;
②若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等;
③直线x+y+1=0与圆x2+y2=
相切,其中真命题的序号是( )
A.①②③B.①②
C.①③D.②③
答案 C
解析 对于命题①,设球的半径为R,则
π
3=
·
πR3,故体积缩小到原来的
,命题正确;对于命题②,若两组数据的平均数相同,则它们的标准差不一定相同,例如数据1,3,5和3,3,3的平均数相同,但标准差不同,命题不正确;对于命题③,圆x2+y2=
的圆心(0,0)到直线x+y+1=0的距离d=
=
,等于圆的半径,所以直线与圆相切,命题正确.
5.若“x>y,则x2>y2”的逆否命题是________________.
答案 若x2≤y2,则x≤y
解析 由互为逆否命题的定义可知,把原命题的条件的否定作为结论,原命题的结论的否定作为条件即可得逆否命题.
6.命题“若a∉A,则b∈B”的否命题是________________.
答案 若a∈A,则b∉B
7.已知命题p:
“若ac≥0,则二次方程ax2+bx+c=0没有实根”.
(1)写出命题p的否命题;
(2)判断命题p的否命题的真假,并证明你的结论.
解
(1)命题p的否命题为“若ac<0,则二次方程ax2+bx+c=0有实根”.
(2)命题p的否命题是真命题.
证明如下:
∵ac<0,
∴-ac>0⇒Δ=b2-4ac>0⇒二次方程ax2+bx+c=0有实根.
∴该命题是真命题.
二、能力提升
8.有下列四个命题:
①“若x+y=0,则x、y互为相反数”的逆命题;
②“全等三角形的面积相等”的否命题;
③“若q≤1,则x2+2x+q=0有实根”的逆命题;
④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题.
其中真命题的序号为( )
A.①②B.②③C.①③D.③④
答案 C
解析 命题①:
“若x、y互为相反数,则x+y=0”是真命题;命题②:
可考虑其逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”是假命题,因此命题②是假命题;命题③:
“若x2+2x+q=0有实根,则q≤1”是真命题;命题④是假命题.
9.已知原命题“两个无理数的积仍是无理数”,则:
①逆命题是“乘积为无理数的两数都是无理数”;
②否命题是“两个不都是无理数的积也不是无理数”;
③逆否命题是“乘积不是无理数的两个数都不是无理数”;
其中所有正确叙述的序号是________.
答案 ①②
解析 原命题的逆命题、否命题叙述正确.逆否命题应为“乘积不是无理数的两个数不都是无理数”.
10.给定下列命题:
①若k>0,则方程x2+2x-k=0有实数根;
②若x+y≠8,则x≠2或y≠6;
③“矩形的对角线相等”的逆命题;
④“若xy=0,则x、y中至少有一个为零”的否命题.
其中真命题的序号是________.
答案 ①②④
解析 ①∵Δ=4-4(-k)=4+4k>0,∴①是真命题.
②其逆否命题为真,故②是真命题.
③逆命题:
“对角线相等的四边形是矩形”是假命题.
④否命题:
“若xy≠0,则x、y都不为零”是真命题.
11.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假.
(1)当ac>bc时,a>b;
(2)当m>
时,mx2-x+1=0无实根;
(3)等腰三角形的两底角相等.
解
(1)若ac>bc,则a>b.
∵ac>bc,c<0时,a
(2)若m>
,则mx2-x+1=0无实根.
∵Δ=1-4m<0,∴是真命题.
(3)若一个三角形是等腰三角形,则它的两个底角相等,是真命题.
12.判断命题:
“若b≤-1,则关于x的方程x2-2bx+b2+b=0有实根”的逆否命题的真假.
解 方法一 (利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致,所以只需判断原命题真假即可.
方程判别式为Δ=4b2-4(b2+b)=-4b,因为b≤-1,所以Δ≥4>0,故此方程有两个不相等的实根,即原命题为真,故它的逆否命题也为真.
方法二 (利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x的方程x2-2bx+b2+b=0无实根,则b>-1”.方程判别式为Δ=4b2-4(b2+b)=-4b,因为方程无实根,所以Δ<0,即-4b<0,所以b>0,所以b>-1成立,即原命题的逆否命题为真.
三、探究与拓展
13.已知函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,a、b∈R,对命题“若a+b≥0,则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).”
(1)写出逆命题,判断其真假,并证明你的结论;
(2)写出逆否命题,判断其真假,并证明你的结论.
解
(1)逆命题:
若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),
则a+b≥0,为真命题.
由于逆命题与否命题具有相同的真假性,因此可转化为证明其否命题为真,即证明“若a+b<0,则f(a)+f(b) 因为a+b<0,则a<-b,b<-a. 因为f(x)在(-∞,+∞)上为增函数, 则f(a) 所以f(a)+f(b) 因此否命题为真命题,即逆命题为真命题. (2)逆否命题: 若f(a)+f(b) 因为一个命题的真假性与它的逆否命题的真假性相同,所以可证明原命题为真命题. 因为a+b≥0,所以a≥-b,b≥-a. 又因为f(x)在(-∞,+∞)上是增函数, 所以f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a). 所以f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b). 所以逆否命题为真命题.
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- 选修 21 第一章 第一节 命题