中考数学大题狂做系列专题04 图形的变换问题.docx
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中考数学大题狂做系列专题04图形的变换问题
2019-2020年中考数学大题狂做系列:
专题04图形的变换问题
(1)求证:
∠APE=∠CFP;
(2)设四边形CMPF的面积为S2,CF=x,
.
①求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围,并求出y的最大值;
②当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时,求y的值.
而在正方形ABCD中,边长为4,AC为对角线,则
。
又∵P为对称中心,∴AP=CP=
。
∴
,即
。
如图,过点P作PH⊥AB于点H,PG⊥BC于点G,
∵P为AC中点,则PH∥BC,且PH=
BC=2,同理PG=2。
列函数关系式,二次函数的最值,转换思想的应用。
2.(2013年江苏宿迁12分)如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,∠B=90°,且AB=10,BC=6,CD=2.点E从点B出发沿BC方向运动,过点E作EF∥AD交边AB于点F.将△BEF沿EF所在的直线折叠得到△GEF,直线FG、EG分别交AD于点M、N,当EG过点D时,点E即停止运动.设BE=x,△GEF与梯形ABCD的重叠部分的面积为y.
(1)证明△AMF是等腰三角形;
(2)当EG过点D时(如图(3)),求x的值;
(3)将y表示成x的函数,并求y的最大值.
在Rt△CED中,由勾股定理得
,解得:
。
性质,矩形的判定和性质,勾股定理,锐角三角函数定义,相似三角形的判定和性质,由实际问题列函数
3.(2013年重庆市B12分)已知:
在矩形ABCD中,E为边BC上的一点,AE⊥DE,AB=12,BE=16,F为线段BE上一点,EF=7,连接AF。
如图1,现有一张硬纸片△GMN,∠NGM=900,NG=6,MG=8,斜边MN与边BC在同一直线上,点N与点E重合,点G在线段DE上。
如图2,△GMN从图1的位置出发,以每秒1个单位的速度沿EB向点B匀速移动,同时,点P从A点出发,以每秒1个单位的速度沿AD向点D匀速移动,点Q为直线GN与线段AE的交点,连接PQ。
当点N到达终点B时,△GMNP和点同时停止运动。
设运动时间为t秒,解答问题:
(1)在整个运动过程中,当点G在线段AE上时,求t的值;
(2)在整个运动过程中,是否存在点P,使△APQ是等腰三角形,若存在,求出t的值;若不存在,说明理由;
(3)在整个运动过程中,设△GMN与△AEF重叠部分的面积为S,请直接写出S与t的函数关系式以及自变量t的取值范围。
由△QHE∽△NGM得
,即
,
若AQ=PQ,则
,无正数解,不存在。
综上所述,存在
,使△APQ是等腰三角形。
∴
。
当10<t≤
时,如图,△GMN与△AEF重叠部分的面积等于四边形GIFM的面积,它等于△GMN的面积减去△INF的面积。
过点I作IH⊥BC于点H,
4.(2013年湖南娄底10分)如图,在△ABC中,∠B=45°,BC=5,高AD=4,矩形EFPQ的一边QP在BC边上,E、F分别在AB、AC上,AD交EF于点H.
(1)求证:
;
(2)设EF=x,当x为何值时,矩形EFPQ的面积最大?
并求出最大面积;
(3)当矩形EFPQ的面积最大时,该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线DA匀速向上运动(当矩形的边PQ到达A点时停止运动),设运动时间为t秒,矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S,求S与t的函数关系式,并写出t的取值范围.
∴当x=
时,矩形EFPQ的面积最大,最大面积为5。
(3)由
(2)可知,当矩形EFPQ的面积最大时,矩形的长为
,宽为
。
在矩形EFPQ沿射线AD的运动过程中:
(I)当0≤t≤2时,如答图①所示,
设矩形与AB、AC分别交于点K、N,与AD分别交于点H1,D1,此时DD1=t,H1D1=2,
∴HD1=HD﹣DD1=2﹣t,HH1=H1D1﹣HD1=t,AH1=AH﹣HH1=2﹣t。
5.(2013年山西省13分)数学活动——求重叠部分的面积。
问题情境:
数学活动课上,老师出示了一个问题:
如图
(1),将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起,其中∠ACB=∠E=90°,BC=DE=6,AC=FE=8,顶点D与边AB的中点重合,DE经过点C,DF交AC于点G。
求重叠部分(△DCG)的面积。
(1)独立思考:
请解答老师提出的问题。
(2)合作交流:
“希望”小组受此问题的启发,将△DEF绕点D旋转,使DE⊥AB交AC于点H,DF交AC于点G,如图
(2),你能求出重叠部分(△DGH)的面积吗?
请写出解答过程。
(3)提出问题:
老师要求各小组向“希望”小组学习,将△DEF绕点D旋转,再提出一个求重叠部分面积的问题。
“爱心”小组提出的问题是:
如图(3),将△DEF绕点D旋转,DE,DF分别交AC于点M,N,使DM=MN,求重叠部分(△DMN)的面积。
任务:
①请解决“爱心”小组所提出的问题,直接写出△DMN的面积是 ▲ .
②请你仿照以上两个小组,大胆提出一个符合老师要求的问题,并在图中画出图形,标明字母,不必解答(注:
也可在图
(1)的基础上按顺时针方向旋转)。
∴
6.(2013年广东珠海9分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点P为AC边上的一点,将线段AP绕点A顺时针方向旋转(点P对应点P′),当AP旋转至AP′⊥AB时,点B、P、P′恰好在同一直线上,此时作P′E⊥AC于点E.
(1)求证:
∠CBP=∠ABP;
(2)求证:
AE=CP;
(3)当
,BP′=
时,求线段AB的长.
∵∠BPC=∠EPP′(对顶角相等),∴∠CBP=∠P′PE。
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