考研数学二真题及答案.docx
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考研数学二真题及答案
2019考研数学二真题及答案
、选择题:
1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上.
1、当x
0时,若xtanx与
k
x是同阶无穷小量,则
k
()
A、1.
B、
2.
C、
3.
D、4.
【答案】
C.
x3
【解析】
因为
xtanx~
所以
k
3,选
C.
3
2、曲线
y
xsinx2cosx
x
3
的拐点是(
)
-2
2
A、
B、
0,2
C、
2.
D、 3,3.
22
22
【答案】
C.
【解析】
y
xcosxsinx
y
xsinx,令
y
xsinx0,解得x0或
x。
当x
时,
y0;当x
时,
y
0,
所以
2
是拐点。
故选C.
3、下列反常积分发散的是(
)
x
x
2
arxtanx
A
、
xexdx.
B、
xe
dx.
C、
2dx.D、
0
0
0
1x2
dx.
答案】D.
解析】A、xexdx
0
xdex
x
xe
0exdx1,收敛;
B、
x2
xexdx
0
xdx2
1,收敛;
2
C、
arxtanx
01x2
dx
12arctan2x
2
08,收敛;
D、
0x2dx
01x2
121
1x2d(1x2)21ln(1
x2)
发散,故选D。
4、已知微分方程的y
ay
by
cex通解为y
(C1
C2x)e
,则a,b,c依次
为()
A、
1,0,1.
B、
1,0,2.
C、
2,1,3.
D、
2,1,4.
答案】
D.
解析】
由题设可知
1是特征方程
ar
0的二重根,即特征方程为
(r1)2
0,
所以a
2, b
1。
又知
x
ex是方程
2y
x
cex的特解,代入方程的
4。
故选D。
已知积分
Dx,y
y2
I1x2
D
dxdy
I2
y2dxdy,
I3
1cosx2y2D
dxdy,则()
A、I3I2I1.
B、I2I1I3.
C、I1
I2I3.
D、
I2
I3
I1.
答案】A.
解析】比较积分的大小,
当积分区域一致时,比较被积函数的大小即可解决问题。
2,可得
2
x2y2【画图发现
2
y2包含在圆x2
内部】,令ux2y2,则0
于是有
usinu
从而
x2y2dxdysinx2y2dxdy。
DD
令f(u)1cosusinu,则f(u)sinucosu,f()0。
f(u)在0,内单调
减少,
在,单调增加,又因为f(0)f()0,故在0,内f(u)0,即4222
1cosusinu,从而sinx2y2dxdy(1cosx2y2)dxdy。
综上,选A。
DD
6、设函数f(x),g(x)的二阶导数在xa处连续,则limf(x)g(2x)0是两条曲线
xa(xa)2
yf(x),
yg(x)在xa对应的点处相切及曲率相等的()
A、充分非必要条件.B、充分必要条件.C、必要非充分条件.D、既非充分也非必要条件.
【答案】A.
【解析】充分性:
利用洛必达法则,由limf(x)g2(x)0可得
xa(xa)2
f(x)g(x)f(x)g(x)lim0及lim0,xa2(xa)xa2
进而推出f(a)g(a),f(a)g(a),f(a)g(a)。
由此可知两曲线在xa处有
相同切线,且由曲率公式Ky3可知曲线在xa处曲率也相等,充分性得证。
[1(y)2]2
必要性:
由曲线yf(x),yg(x)在xa处相切,可得f(a)g(a),f(a)g(a);
由曲率相等f(a)3g(a)3,可知f(a)g(a)或f(a)g(a)。
[1(f(a))2]2[1(g(a))2]2
当f(a)g(a)时,所求极限
limf(x)g(2x)limf(x)g(x)limf(x)g(x)f(a),而f(a)未必等于0,xa(xa)2xa2(xa)xa2
因此必要性不一定成立。
故选A。
7、设A是4阶矩阵,A*为A的伴随矩阵,若线性方程组Ax0的基础解系中只有2个
向量,则
r(A*)()。
A、0.B、1.C、2.D、3.
r(A)241,则r(A*)0,故选A。
8、设A是3阶实对称矩阵,
E是3阶单位矩阵,
2
若AA
2E
且A4,则二次型
xTAx
的规范型为()
222
222
2
2
222
2
A、y1y2y3.B、
y1y2y3.
C、y1
y2
y3.D、y1y2
y3.
【答案】C.
【解析】设是A的特征值,根据AA2E得22,解得1或2;又
因为A4,所以A的特征值为1,-2,-2,根据惯性定理,xTAx的规范型为y12y22y32。
故选C。
二、填空题:
9~14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题.纸..指定位置上.
2
9、lim(x2x)x.
解析】斜率
dy
dx
sint
cost
1,切线方程为y
3
x322,截距为
1
1
0
0
2
1
1
1
,Aij表示元素aij的代数余子式,则
3
2
2
1ijij
0
0
3
4
14、已知矩阵A
A11A12
证明过程或演算步骤
3x6
22dx.(x1)2(x2x1)
0,求f(x),并求函数f(x)的极值.0
2xlnx2x
e2xlnx,f(x)2x2x(lnx1);当x0时,
f(x)(x1)ex;
f(x)f(0)x2x12x2x(lnx1)
f(0)limlimlim
x0xx0xx01
,即f(x)在x0处不
可导.
综合上述:
f(x)
2x2x(lnx
1),x
0;
(x1)ex,
x
0
令f(x)0得驻点
x11,x2
1e
x0是函数f(x)的不可导点。
当x1时,f(x)
0;当1
x
1
0时,f(x)0;当0x1时,e
f(x)
0;
1
当x时,f(x)
0;故x1
1是函数的极小值点,极小值为f
(1)
1e1
1;x2
e
e
是函数的极小值点,
1
极小值为f
(1)
2
ee;函数f(x)在x0处连续且有极大值
f(0)1.
e
16、(本题满分10分)求不定积分
2,C2,D1。
3x6
(x1)2(x2x1)
2
x1(x1)2
2x1
x2x1
3x6(x1)2(x2x
23
x1(x1)2
2x1
x2x1
dx
2lnx1
2
3d(x22x1)2ln
1x2x1
x1
3ln(x2x
x1
1)C。
x2
17、(本题满分10分)
设函数y(x)是微分方程y
xy
1
1e2满足条件
2x
y
(1)e的特
解.
1)求y(x)的表达式;
2)设平面区域D
{(x,y)|1
x2,0
y(x)},求D绕x轴
旋转一周所形成的旋转体的体积.
【解析】
(1)方程为一阶线性非齐次微分方程.
由通解公式可得
x2(x)dx
xdx1
y(x)e(e2gedxC)e2(dx
2x2x
x1
C)
x2
e2(xC),
x2
把初始条件y
(1)e代入,得C0,从而得到y(x)xe2
2)旋转体的体积为Vx
22
1y(x)2dx
1xexdx(e4e).
18、(本题满分10分)
设平面区域D{(x,y)|xy,(x2
234
y2)3y4},计算二重积分
x2ydxdy.
x
y2
解析】
显然积分区域D关于y轴对称,由对称性可得
x
Dx2
dxdy
y2
0;
将(x2
2342y2)3y4化为极坐标,有0rsin2
xx2yy2dxdy
xyD
y
x2yy2dxdy
sin2
rsin
dr
134sin5d134(1
2424
cos2
)2dcos
432
120
19、(本题满分10分)设n是正整数,记Sn为曲线
exsinx(0xn
)与x轴所形
成图形的面积,求Sn,并求limSn.n
解析】当x2k,(2k1)时,sinx0;
x(2k1),(2k
2)时,
sinx0,故曲线yexsinx(0xn)与x轴之间图形的面积应表示为
先计算
bk
(k
于是有
bk
Sn
1)
ek
(u
Sn
k0
k0
因此
limSn
n
20、(本题满分11
的值,使得在变换
导数的等式.
sinxdx
(k1)
sinxdx,
sinxdx,作变量替换
k,
sin(uk)du
sinudu
usinudu
ek(e1)
2
lim
n
(e1)(1e
2(e1)
sinu
cosu]
(e
n)
1)(1
n)
(e1)(1
n),
2(1e)
2(e1)
e1
2(e1)
2
分)已知函数u(x,y)满足关系式2u22x2
2
u
2
y
3u3u0.求a,bxy
u(x,y)v(x,y)eaxby之下,上述等式可化为函数
v(x,y)的不含一阶偏
解析】在变换u(x,y)v(x,y)eaxby之下
x
ex
2
2
u
v
2
2e
x
x
2
2
u
v
e
u
by
ax
by
ax
y
y
vaxby
av(x,y)eax
2aveax
x
2bveax
y
把上述式子代入关系式
2
u
2
x
by
by
by
vaxby
e
y
a2v(x,y)eax
b2v(x,y)e
2u
2y2
ax
by,
by;
axbybv(x,y)e
0,得到
2
2x2v2
x
(4a
3)v
x
v
(34b)
y
22
(2a22b23b)v(x,y)0
33
根据要求,显然当a3,b3时,可化为函数v(x,y)的不含一阶偏导数的等式.
44
(0,1),使得f()2.
f()0;
22.(本题满分11分)已知向量组Ⅰ:
0,
4
2;
a23
解析】向量组Ⅰ和向量组Ⅱ等价的充分必要条件是
向量组等价.
11
显然,当a
1且a
1时,
r(1,
2,3)
r(
1,2,
3;1
2,
3)3,
1
0
1
1
0
1
1
0
1
同时1,2,
30
2
2
0
2
2
0
1
1,r(1,2,3)3,
1
1
a1
0
1
a
0
0
a1
也就是
r(1,2,3)
r(1,
2,3)
r(1
2,3;
1,
2,3)
3,
两个向量组等价.
这时,3可由
1,2,
3线性表示,
表示法唯一:
3
1
2
3.
1
1
1
10
1
(3)当a=1时,1,2,3,1,2,3
0
1
1
02
2
此时两个向量组不
0
0
0
22
0
等价.
综上所述,综上所述,当向量组Ⅰ和向量组Ⅱ等价时,
a
1。
2
2
1
2
1
0
23、(本题满分11分)已知矩阵A2
x
2
与
B0
1
0相似,
0
0
2
0
0
y
(I)求x,y;(II)求可逆矩阵P,使得
P1AP
B.
解析】(I)由于A与B相似,根据矩阵相似必要条件,有
ABtr(A)tr(B)
即2(2x4)2y,解得x3,y2。
2x221y
II)矩阵B是上三角矩阵,易得
B的特征值为2,1,2。
又因为A与B相似,所以A
的特征值也是2,1,2。
对于矩阵A:
解方程组(iEA)x0(i1,2,3),可得属于特征值12,21,32的线性无关的特征向量为:
1(1,2,0)T,2(2,1,0)T,3(1,2,4)T
对于矩阵B:
解方程组(iEB)x0(i1,2,3),可得属于特征值
12,21,32的线性无关的特征向量为:
1(1,0,0)T,2(1,3,0)T,3(0,0,1)T
令P1(1,2,3),P2(1,2,3),则有
2
1
P11AP1
1
P2
1BP2,
即
P2P1
11
1AP1P21B,
2
1
1
2
1
1
1
0
1
11
1
令PP1P21
2
1
2
0
3
0
2
12,
0
0
4
0
0
1
0
04
则有P1APB,证毕。
答案】
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