队员选拔与组队数学模型.docx
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队员选拔与组队数学模型
队员选拔与组队模型
摘要
队员的选拔问题,是一个抽象而难以量化求解的问题,本文问了队员的选拔标准直观化,采用了「L.seaty教授提出的定量和定性的系统分析法,以经验判断为基础,参照APH的成对比较标度,构造判断矩阵,求出各个单项因素影响队员综合实力的权向量。
结合层次分析法,求出各个队员的综合能力。
依照队员的综合能力的大小,初略分成n1个参赛队,并按能力大到依次排序。
将教练的评定结果量化,结合层次分析,将评定结果用数值表示出来。
将n1个参赛队再次排序。
比较两次排序方法造成的机会损失,对机会损失大的队伍重新排序,并删除一些能力差的队伍,组成n2最终参赛队伍。
用计算机模拟20个人的个人信息表,求出每个人的综合能力,按大小排序后,删除2名综合能力差的队员。
构成n仁6支队伍。
用计算机依据置硬币的原理模拟教练对学生的评价结果,结合以选定的n1
支队伍,并假设学校要求5支队伍参加比赛,最终确定被选定的5支队伍为:
队伍编号
培训队成员
T2
P18P15P13
T4
P9P16P14
T5
P5P12P4
T6
P19P2P20
T7(新组成的队)
P17P8P3
关键字:
层次分析法判断矩阵APH的成对比较标度权向量机会损失
一.问题重述
面对每年一次的全国大学生数学建模竞赛及美国大学生数学建模竞赛,学校需要花费较多的人力以及财力从报名的学生中选拔出优秀的学生并组成具有竞争力的参赛队,期望获得最好的成绩.
数学建模竞赛的每一个参赛队由3名同学组成,要求在三天的时间内完成一个实际问题的求解,包括问题描述、问题分析、建立模型、模型求解算法设计、编写程序求得结果、模型以及算法改进、模型稳定性分析、优缺点分析,最后撰写论文等。
竞赛过程中仅允许本队队员之间讨论,并可以利用图书馆中的图书资料以及网上的正确可靠资源。
为最终组成有竞争力的参赛队,计划分两步来挑选队员,具体如下:
第一步依据报名表中的信息挑选出优秀的学生,并3人一组组成n1个培训队。
报名表(附件4)。
第二步对挑选出的队员进行培训。
在培训期间要经过3至6次的模拟竞赛,m个教练对每一个培训队的每一次竞赛都有一个综合评价和单项评价,单项评价包括写作水平、模型的正确性和简洁性、算法的正确性和复杂度、创新点共四项,评价成绩分为:
优秀、优良、一般。
基于这些评价最后从中选出实际参加竞赛的队员并组成n2(<n1)个参赛队.
假设学校更为关心获特等奖个数,一等奖个数,二等奖个数,以及它在全国的排名.所有队员接受了相同的培训,外部环境相同,竞赛中不考虑其他的随机因素,竞赛水平的发挥只取决于表中所给的各项条件,并且参赛队员都能正常的发挥自己的水平。
建立合理的模型,解决以下问题:
1.请建立挑选队员、队员组队的数学模型;给出求解模型的具体算法,编写程序实现;
2.由于队员变更,新组成队的队员之间相互适应需要花费时间,因而希望尽可能避免不必要的队员变更。
试建立在这种条件下的挑选队员、队员组队的数学模型及其求解算法;
3.对于给定的报名表信息,定性或定量分析影响选定n2个参赛队质量的因素;
.问题分析
如何选出优秀的参赛队员是首要解决的问题,如何科学合理的建立选拔标准是解决这个问题的关键。
根据题目中的要求首先要解决的如何从报名表信息中,选拔出综合能力最强的队员。
要确定队员的综合能力,需要解决的是队员各项能力对其综合能力影响的权重是多少。
实际生活中,对于这样的问题难以做出判断,就像无法说清《概率统计》这门学科对数学建模影响是多少一样。
但是可以判断哪门学科对数学建模的影响更为显著。
所以我们可以根据美国运筹学专家T.L.seaty教授提出的定量和定性的系统分析法,以经验判断为基础,参照AHP的成对比较标度,构造判断矩阵,对判断矩阵加以适当的处理,求出各项能力对综合能力的权矩阵。
结合层次分析法,根据对学生数学建模报名信息表中有关信息,进行分类和分层处理,学生的数学建模能力指标层次图如图表
(1):
学生的数学建模能力
A
图表
(1)
选拔队员时只需对学生的综合能力按大小进行排序,取综合能力强的同学。
对于组队方案,最初可以根据学生的综合能力组成n1支队。
让学生参加培训,
培训期间根据教练在几次模拟竞赛中对各支培训队进行评价,根据实际情况,可
以认为教练的综合评定由各个单项的评定结果决定,综合评定则代表这支培训队的整体水平,由此确定n2个参加数学建模,对于教练的评定过程,建立指标层次图如图表
(2):
级指标层
图表
(2)
同理可以采用AHP评定标准构造判断矩阵,求出各个单项评定结果对于综合评定结果的权重的大小。
根据实际评定结果,并将其数值量化(即用适当的数值来代替),便可用适当的值来衡量综合评定结果。
最终确定参赛的n2支队伍。
题目中第三个问题要求建立一种挑选机制,使得尽量的避免队员的变更。
我们将这个问题分成两步:
第一步找出是什么因素影响队员的变更,第二步对于队员的变更应做怎样的调整。
在培训之前,学校对每个同学的学习能力和动力的情况是未知的,故只能根据学生的个人信息表的情况组成n1个队,组好队后进入培训阶段,培训后,老师每次都会给出模拟训练的成绩,若某个队的综合能力排明靠前,而老师评定结果排名却很差,这些队员肯定不满意,希望变更。
变更的原因可以认为是由队员的搭配不合理,因为数学建模中一般要求三名队员在数学思维,软件编程,论文
写作上各有千秋。
所以可以针对各个队员的专项能力和综合能力,从新排序。
三•模型假设
(1)假设队员选拔时,只考虑报名信息表信息表中的信息,其它因素可以忽略。
(2)认为m个教练对各个培训队评定结果的影响力是一致的。
(3)各个学科对数学建模的影响力的显著程度的评定标准来自相关文献和实际经验。
(4)对于队员的变更,只考虑队员的搭配不合理而引起的队员变更,忽略因队员性格不合引起等其他因素的变更,
(5)假设模拟竞赛的结果能够准确反应队员的实际水平,不考虑抄袭等情况,不存在发挥不正常的现象。
(6)假设学生分组完全按照学校的安排,不会自行更改。
(7)不会根据几个同学的亲密程度来组队,实力说明一切。
(8)所有的队员接受相同的培训,外部环境相同,竞赛中不考虑其它因素。
(9)对于第三问,假设有20个人参加数学建模竞赛报名,学校要求选拔5个参赛队。
4.符号约定
Y:
每个学生的数学建模的综合能力。
yk:
一级指标层中队员的某项能力,由它下一指标层决定。
Xi:
二级指标层中队员的某项能力。
Xj:
二级指标层中队员的某项能力。
A:
目标层的判断矩阵。
B1、B3、B4、B5分别为一级目标层第1、3、4、5
的判断矩阵。
CI:
一致性指标。
RI:
随机性指标。
CR:
—致性检验指标。
':
特征向量值。
Zki:
第k个教练对第i个组的评定结果。
Qi:
第i组的最终评定结果。
n:
参加数学建模选拔的人数。
m:
教练的人数。
aj:
判断矩阵第i行第j列的元素。
Wi:
第k层对k-1层的权重。
D:
教练对模拟测试评定过程中的判断矩阵。
zk:
第k项评定的数值化结果。
Li:
第i组的机会损失。
E:
为培训队所需达到的期望,由培训队所在的级别决定。
Qi:
为队伍实际达到的期望,由在模拟竞赛中教练的评价决定。
P1…P20:
20名参赛队员编号。
T1…T7:
组队过程中组成的不同的队伍。
5.模型的建立与求解
模型一
一.队员选拔模型
根据层次分析法,设队员的第k层的某项能力yk由第k1层的n项成绩
x1,x2,...xn来确定,则有:
ykHWN■W2X2亠■亠WnXn。
(1)
(1)求权重Wi。
其中Wi是第i项的权重,0:
:
:
Wi:
:
1,W1W2W^■亠wn=1
为了确定权重的系数W,采用成对比较,从X1,X2"iXn中任取两项Xi,Xj进行比较它们对y的贡献程度。
根据心理专家的意见,可按以下AHP的成对比较标度给Xi/Xj赋值,如图表(3):
尺度aj
含义
1
Xi与Xj的影响相同
3
Xi比Xj的影响稍强
5
Xi比xj的影响强
7
Xj比xj的影响明显的强
9
Xi比Xj的影响绝对的强
2,4,6,8
Xi比Xj的影响之比在上述两个相邻等级之间
1,1/2,…..1/9
Xi比Xj的影响之比为上面aj的互反数
图表(3)
构造判断矩阵A=[砌]nn,其中n为判断矩阵的维数,判断矩阵中的元素符合:
aij=1/aij和aij=10
由于数学建模中大多数问题需要对大量的数据进行数据处理,对未知参数进
行估计,主要的数学软件编程以及多数算法多与矩阵有关,故认为概率统计与线形代数对数学建模学习能力的影响最大,高等数学和计算方法较次,英语作为语言的影响较少,专业课的影响最小。
由此构造一个各项成绩对学习能力影响力的判断矩阵B1如下图表(4):
判断矩阵B1(二级指标层第一项)
C1
C2
C3
C4
C5
C6
C1
1
1/3
1/3
1
3
5
C2
3
1
1
3
5
7
C3
3
1
1
3
5
7
C4
1
1/3
1/3
1
3
5
C5
1/3
1/5
1/5
1/3
1
3
C6
1/5
1/7
1/7
1/5
1/3
1
图表(4)
其它判断矩阵的求法与上述过程一致,分别求出A,B3,B4,B5的判断矩阵(见附件1)。
APH的基本问题是求解判断矩阵的特征向量(即权向量),计算方法:
计算方法1:
对判断矩阵先按列规范化,在按行求均值,合并后得到权向量,再根据权向量求出矩阵最大特征根。
由于判断矩阵不一定是一致阵,不一致的程度越大,表示因素在目标中所占
的比重的偏差就越大,故要求对矩阵进行一致性检验。
其指标记为CI。
计算方
法如下
计算方法2:
Cl=(■-n)/(n-1),CR=CI/RI,(RI为平均一致性指标可以查表得到(见附件2)),—般认为CRvO.1时,判断矩阵具有满意的一致性,否则需要对判断矩阵作适当的调整。
其中'的值为:
n
■=(1/n)CB1w(i)/w(i))
(2)求学生的综合素质Y。
根据报名表信息,可以得出参赛队员的各科成绩和各项能力的具体情况。
考虑到建模时间的限制,本题采用电脑模拟的方法得到参赛队员的各项能力指标,为了便于计算,将表中非常好、好、一般、差四个等级分别用10、7.5、5、2.5来表示,将是或否用10、0来表示,将成绩转化成满分为10的情况,得到参赛队员的各项能力指标表。
将上述数据代入表达式
(1)中,可求出学生综合能力。
二.组队模型:
由于学校更关心的是获特等奖、一等奖、二等奖、三等奖的人的个数,以及
它在全国的排名。
所以组队时应将综合能力最好的同学优先组合,能力次之,能
力再次的数序依次排列,直到将剩余无法构成一队的参赛队员剔除。
假设有n个队员参加了这次数学建模,在每个队必须是三个队员的要求下可以组成n1支队伍。
其中n仁n—(nmod3)。
⑵
3
接着对挑选出的队员组成的n1个队进行培训,培训结束后,教练会根据几次模拟竞赛的结果对n1支队进行第二次筛选,选出实际参加竞赛的队员组成n2
支队参加比赛。
教练对每次模拟竞赛的评定分为综合评定和单项评定,评定标准
分为:
优秀、优良、一般。
由于评定标准比较抽象,可以将其数值量化(即用数字表示)。
一个教练的对一个培训队的评定结果,可以采用队员选拔模型中的AHP评定标准构造判断矩阵D,m个教练对一个培训队的评价结果,可以取各个教练评定结果的平均值。
设第k个教练对第i个组的评定结果记为Zki,单项评定共有四项则Zki的数学表达式如下:
乙总二⑷忆!
w2z2w3z3W4Z4(3)
以数学建模评分标准为蓝本(具体参照PPT《如何写好数学论文》),构造教练评定标准的判断矩阵D如图表(5):
判断矩阵D
D
E1
E2
E3
E4
E1
1
1/3
1
1/3
E2
3
1
3
1
E3
1
1/3
1
1/3
E4
3
1
3
1
图表(5)
m
为Zki
第i组的评定结果为:
Qi二(4)m
对评定结果进行排序,最终选出n2个参赛队。
模型的求解:
以二级指标层第一项(B1)例,首先计算B1的权重,采用计算方法1,用matlab编程求得B1的权向量,然后判断特征矩阵的一致性,采用计算方法2,用matlab编程求得B1的一致性指标,结果如下:
(编程程序见附件3)
选拔模型的求解结果:
B1的权向量为:
3
(1)=(0.13460.31770.31770.13460.06260.0328),
入=6.1592,CI=0.0318,CR=0.0257
并得到特征值入=6.1592,一致性指标CI
(1)=0.318,一致性检验CR=
0.0257<0.1,通过一致性检验。
同理,可求A,B3,B4,B5的权向量。
一级指标的权重计算与一致性检验的结果为:
A:
3=(0.47180.21600.21600.06300.0333)
入=5.1866,CI=0.0467,CR=0.0417<0.1二级指标的权重计算与一致性检验的结果为:
B1:
3
(1)=(0.13460.31770.31770.13460.06260.0328),
入=6.1592,CI=0.0318,CR=0.0257<0.1
B3:
3⑶=(0.75000.2500),
入=2,CI=0,CR=NAN
B4:
3(4)3(3)=(0.75000.2500),
入=2,CI=0,CR=NAN
B5:
3⑸=(0.63330.10620.2605)
入=3.0387,CI=0.0194,CR=0.0334<0.1学生的综合能力为:
Y=0.4718^0.2160y20.2160ya0.0630y40.0333ys(5)
其中f%=0.134x6+0.317x7+0.317x7+0.134x6+0.062x6+0.032x8
y2=y2
彳y3=0.7500為+0.2500x2
y4=0.7500捲+0.2500x2
y5=0.6333%+0.1062x2+0.2605X3
设第i个同学的综合能力为Y,对所有同学的综合能力按大小依次排序,根据学校需要选拔队员的个数按学生综合能力从大到小的顺序确定选拔队员的人数。
组队模型的求解:
对选定的n个队员,代入表达式
(2)中,便可求出n1的值。
组队方式以学生的综合能力为依据,按能力大小依次排列。
用matlab求出教练评定的各项标准的权向量如下:
D:
3⑹=(0.12500.37500.12500.3750),
入=4,CI=0,CR=0<0.1
第k个教练对第i个组的评定结果记为:
Zki=0.1250z10.3750z20.1250z30.3750z4(6)
若已知教练的评定结果和教练的人数m,则可以根据(4)(6)两式求出教练最终对各个培训队的综合评定结果。
以综合评定为主,单项评定为辅,就能最终确定n2支参赛队,代数求解的
最终数值,参照模型三进行定量和定性的分析后得到的结果。
模型二模型的建立:
首先确定何种情况下需要将队员重新组合,把问题转化为最小期望机会损失冋题,关于决策原则就是尽量减少机会损失,当选择的决策为a时,事件b发生,
机会损失Li为:
L二maxEj-Qj(7)
Ei为培训队所需达到的期望,由培训队所在的级别决定。
Qi为队伍实际达
到的期望,由在模拟竞赛中教练的评价决定。
从教练在模拟竞赛中对培训队的综合能力评价由各个单项评价决定,而各个
单项评价与培训队的各项能力对应如图:
图表(6)
题目中要求尽量的不更换队员,首先我们应该考虑怎样的队需要更换,学校一开始根据学生的综合能力排成了n1个队,并按综合能力强弱的顺序组队,综合能力级别高的队,期望也就越高,将教练的评定结果也进行排序,得到他们的达到的实际期望。
则最需要调整的队为:
max(LJ最不需要调整的队为:
min(LJ
模型的求解:
根据实际数据求出各个队的机会损失Li,并将机会损失按从大到小的顺序排列。
假设有六个队按机会损失从大到小的排列顺序是ABCD
EF,现在E对中有人想变更,则考虑他与A变更。
变更过程中按他们单项成绩的排名(单项成绩排名表见表),进行合理的搭配即可。
模型三
题目要求对给定的报名表信息,进行定量定性的计算影响n2个参赛队的因
素,由于题目中未给定报名表信息,需要进行实际的调查。
为了便宜调查制定了报名信息表。
(见附件4)考虑到建模时间的限制,本题采用电脑模拟的方法得到参赛队员的各项能力指标,程序参见附件(附件4)
运用matlab软件模拟20个学生的报名表信息作为样本进行分析,对该数据进行整理并对相关信息进行数值量化,得到下图表(7):
目前大身体状个人兴是否干获奖情软件熟编写程写作能专业课英语计算、万线性代概率统高等数
学
计
数
法
力
序
悉
况
部
趣
况
几
P1
83
60
81
62
90
67
10
7.5
7.5
0
0
5
7.5
2.5
P2
97
71
84
67
86
80
7.5
2.5
5
0
0
7.5
7.5
10
P3
71
92
87
75
95
76
7.5
5
10
0
10
5
10
7.5
P4
95
99
87
71
70
86
2.5
7.5
2.5
0
10
7.5
5
7.5
P5
64
60
95
90
76
86
5
7.5
7.5
10
0
2.5
2.5
2.5
P6
62
92
60
72
68
98
5
2.5
5
0
0
7.5
7.5
7.5
P7
69
84
72
85
61
67
2.5
2.5
10
0
0
7.5
10
10
P8
97
82
91
99
63
64
10
5
5
10
0
10
10
5
P9
62
69
72
80
94
82
10
5
7.5
0
0
10
7.5
7.5
P10
70
92
97
97
73
98
5
5
2.5
10
10
7.5
5
5
P11
99
70
87
93
78
60
10
10
5
0
10
5
2.5
7.5
P12
68
90
62
96
96
94
2.5
7.5
5
10
0
7.5
7.5
7.5
P13
79
86
62
64
69
61
10
5
5
10
0
10
5
5
P14
71
68
60
92
94
80
10
5
7.5
0
10
2.5
2.5
5
P15
86
84
69
96
86
67
5
7.5
7.5
10
10
10
7.5
7.5
P16
98
84
80
66
95
88
7.5
2.5
2.5
10
10
10
10
10
P17
90
86
78
64
79
70
10
10
10
0
0
7.5
7.5
5
P18
86
67
88
90
99
97
7.5
10
10
0
10
5
10
5
P19
65
85
83
88
74
65
2.5
7.5
10
0
0
10
10
7.5
P20
63
66
80
86
81
80
5
2.5
10
0
10
7.5
2.5
7.5
图表(7)
相关信息数值量化说明:
写作能力,编写程序,软件熟悉度,个人兴趣,身体状况有差,一般,较好,好四个等级来评定其能力的大小,这四个等级在数值量化中相应以2.5,5,7.5
10来评定。
获奖情况和是否干部有是或否两种情况,分别以10,0评定。
运用模型一的方法求出这20个学生的数学建模综合能力,如下图表(8):
学习能力
写作能力
编程能力
经验
其他
综合能力
P1
7.21
10.00
7.50
0.00
4.61
7.34
P2
7.93
7.50
3.13
0.00
8.15
6.31
P3
8.50
7.50
6.25
2.50
6.18
7.34
P4
8.86
2.50
6.25
2.50
7.23
6.47
P5
7.76
5.00
7.50
7.50
2.50
6.92
P6
7.38
5.00
3.13
0.00
7.50
5.49
P7
7.63
2.50
4.38
0.00
8.42
5.37
P8
8.74
10.00
5.00
7.50
8.70
8.13
P9
7.25
10.00
5.63
0.00
9.08
7.10
P10
9.03
5.00
4.38
10.00
6.58
7.14
P11
8.26
10.00
8.75
2.50
5.39
8.28
P12
7.95
2.50
6.88
7.50
7.50
6.50
P13
7.26
10.00
5.00
7.50
8.17
7.41
P14
7.11
10.00
5.63
2.50
3.15
6.99
P15
8.07
5.00
7.50
10.00
9.08
7.44
P16
8.30
7.50
2.50
10.00
10.00
7.04
P17
8.01
10.00
10.00
0.00
6.85
8.33
P18
8.23
7.50
10.00
2.50
5.53
8.00
P19
8.07
2.50
8.13
0.00
9.35
6.41
P20
7.41
5.00
4.38
2.50
6.97
5.91
图表(8)
运用E
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 队员 选拔 组队 数学模型