三角函数大题专项.docx
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三角函数大题专项.docx
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三角函数大题专项
三角函数专项训练
1.在△ABC中,角A、B、C对应边a、b、c,外接圆半径为1,已知2(sin2A﹣sin2C)=(a﹣b)sinB.
(1)证明a2+b2﹣c2=ab;
(2)求角C和边c.
2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acos(B﹣).
(Ⅰ)求角B的大小;
(Ⅱ)设a=2,c=3,求b和sin(2A﹣B)的值.
3.已知α,β为锐角,tanα=,cos(α+β)=﹣.
(1)求cos2α的值;
(2)求tan(α﹣β)的值.
4.在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.
(1)求cos∠ADB;
(2)若DC=2,求BC.
5.已知函数f(x)=sin2x+sinxcosx.
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)若f(x)在区间[﹣,m]上的最大值为,求m的最小值.
6.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asinA=4bsinB,ac=(a2﹣b2﹣c2)
(Ⅰ)求cosA的值;
(Ⅱ)求sin(2B﹣A)的值
7.设函数f(x)=sin(ωx﹣)+sin(ωx﹣),其中0<ω<3,已知f()=0.
(Ⅰ)求ω;
(Ⅱ)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在[﹣,]上的最小值.
8.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sinB=.
(Ⅰ)求b和sinA的值;
(Ⅱ)求sin(2A+)的值.
9.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为.
(1)求sinBsinC;
(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.
10.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2.
(1)求cosB;
(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.
11.已知函数f(x)=cos(2x﹣)﹣2sinxcosx.
(I)求f(x)的最小正周期;
(II)求证:
当x∈[﹣,]时,f(x)≥﹣.
12.已知向量=(cosx,sinx),=(3,﹣),x∈[0,π].
(1)若,求x的值;
(2)记f(x)=,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.
13.在△ABC中,∠A=60°,c=a.
(1)求sinC的值;
(2)若a=7,求△ABC的面积.
14.已知函数f(x)=2sinωxcosωx+cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)求f(x)的单调递增区间.
15.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acosB.
(1)证明:
A=2B;
(2)若cosB=,求cosC的值.
16.设f(x)=2sin(π﹣x)sinx﹣(sinx﹣cosx)2.
(Ⅰ)求f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g()的值.
17.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知asin2B=bsinA.
(1)求B;
(2)已知cosA=,求sinC的值.
18.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acosB.
(Ⅰ)证明:
A=2B;
(Ⅱ)若△ABC的面积S=,求角A的大小.
19.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且+=.
(Ⅰ)证明:
sinAsinB=sinC;
(Ⅱ)若b2+c2﹣a2=bc,求tanB.
20.在△ABC中,AC=6,cosB=,C=.
(1)求AB的长;
(2)求cos(A﹣)的值.
21.已知函数f(x)=4tanxsin(﹣x)cos(x﹣)﹣.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期;
(2)讨论f(x)在区间[﹣,]上的单调性.
22.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.
(Ⅰ)求C;
(Ⅱ)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长.
参考答案
1.在△ABC中,角A、B、C对应边a、b、c,外接圆半径为1,已知2(sin2A﹣sin2C)=(a﹣b)sinB.
(1)证明a2+b2﹣c2=ab;
(2)求角C和边c.
【解答】证明:
(1)∵在△ABC中,角A、B、C对应边a、b、c,外接圆半径为1,
∴由正弦定理得:
=2R=2,
∴sinA=,sinB=,sinC=,
∵2(sin2A﹣sin2C)=(a﹣b)sinB,
∴2()=(a﹣b)?
,
化简,得:
a2+b2﹣c2=ab,
故a2+b2﹣c2=ab.
解:
(2)∵a2+b2﹣c2=ab,
∴cosC===,
解得C=,
∴c=2sinC=2?
=.
2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acos(B﹣).
(Ⅰ)求角B的大小;
(Ⅱ)设a=2,c=3,求b和sin(2A﹣B)的值.
【解答】解:
(Ⅰ)在△ABC中,由正弦定理得,得bsinA=asinB,
又bsinA=acos(B﹣).
∴asinB=acos(B﹣),即sinB=cos(B﹣)=cosBcos+sinBsin=cosB+,
∴tanB=,
又B∈(0,π),∴B=.
(Ⅱ)在△ABC中,a=2,c=3,B=,
由余弦定理得b==,由bsinA=acos(B﹣),得sinA=,
∵a<c,∴cosA=,
∴sin2A=2sinAcosA=,
cos2A=2cos2A﹣1=,
∴sin(2A﹣B)=sin2AcosB﹣cos2AsinB==.
3.已知α,β为锐角,tanα=,cos(α+β)=﹣.
(1)求cos2α的值;
(2)求tan(α﹣β)的值.
【解答】解:
(1)由,解得,
∴cos2α=;
(2)由
(1)得,sin2,则tan2α=.
∵α,β∈(0,),∴α+β∈(0,π),
∴sin(α+β)==.
则tan(α+β)=.
∴tan(α﹣β)=tan[2α﹣(α+β)]==.
4.在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.
(1)求cos∠ADB;
(2)若DC=2,求BC.
【解答】解:
(1)∵∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.
∴由正弦定理得:
=,即=,
∴sin∠ADB==,
∵AB<BD,∴∠ADB<∠A,
∴cos∠ADB==.
(2)∵∠ADC=90°,∴cos∠BDC=sin∠ADB=,
∵DC=2,
∴BC=
==5.
5.已知函数f(x)=sin2x+sinxcosx.
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)若f(x)在区间[﹣,m]上的最大值为,求m的最小值.
【解答】解:
(I)函数f(x)=sin2x+sinxcosx=+sin2x
=sin(2x﹣)+,
f(x)的最小正周期为T==π;
(Ⅱ)若f(x)在区间[﹣,m]上的最大值为,
可得2x﹣∈[﹣,2m﹣],
即有2m﹣≥,解得m≥,
则m的最小值为.
6.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asinA=4bsinB,ac=(a2﹣b2﹣c2)
(Ⅰ)求cosA的值;
(Ⅱ)求sin(2B﹣A)的值
【解答】(Ⅰ)解:
由,得asinB=bsinA,
又asinA=4bsinB,得4bsinB=asinA,
两式作比得:
,∴a=2b.
由,得,
由余弦定理,得;
(Ⅱ)解:
由(Ⅰ),可得,代入asinA=4bsinB,得.
由(Ⅰ)知,A为钝角,则B为锐角,
∴.
于是,,
故.
7.设函数f(x)=sin(ωx﹣)+sin(ωx﹣),其中0<ω<3,已知f()=0.
(Ⅰ)求ω;
(Ⅱ)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在[﹣,]上的最小值.
【解答】解:
(Ⅰ)函数f(x)=sin(ωx﹣)+sin(ωx﹣)
=sinωxcos﹣cosωxsin﹣sin(﹣ωx)
=sinωx﹣cosωx
=sin(ωx﹣),
又f()=sin(ω﹣)=0,
∴ω﹣=kπ,k∈Z,
解得ω=6k+2,
又0<ω<3,
∴ω=2;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=sin(2x﹣),
将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=sin(x﹣)的图象;
再将得到的图象向左平移个单位,得到y=sin(x+﹣)的图象,
∴函数y=g(x)=sin(x﹣);
当x∈[﹣,]时,x﹣∈[﹣,],
∴sin(x﹣)∈[﹣,1],
∴当x=﹣时,g(x)取得最小值是﹣×=﹣.
8.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sinB=.
(Ⅰ)求b和sinA的值;
(Ⅱ)求sin(2A+)的值.
【解答】解:
(Ⅰ)在△ABC中,∵a>b,
故由sinB=,可得cosB=.
由已知及余弦定理,有=13,
∴b=.
由正弦定理,得sinA=.
∴b=,sinA=;
(Ⅱ)由(Ⅰ)及a<c,得cosA=,∴sin2A=2sinAcosA=,
cos2A=1﹣2sin2A=﹣.
故sin(2A+)==.
9.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为.
(1)求sinBsinC;
(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.
【解答】解:
(1)由三角形的面积公式可得S△ABC=acsinB=,
∴3csinBsinA=2a,
由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA,
∵sinA≠0,
∴sinBsinC=;
(2)∵6cosBcosC=1,
∴cosBcosC=,
∴cosBcosC﹣sinBsinC=﹣=﹣,
∴cos(B+C)=﹣,
∴cosA=,
∵0<A<π,
∴A=,
∵===2R==2,
∴sinBsinC=?
===,
∴bc=8,
∵a2=b2+c2﹣2bccosA,
∴b2+c2﹣bc=9,
∴(b+c)2=9+3cb=9+24=33,
∴b+c=
∴周长a+b+c=3+.
10.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2.
(1)求cosB;
(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.
【解答】解:
(1)sin(A+C)=8sin2,
∴sinB=4(1﹣cosB),
∵sin2B+cos2B=1,
∴16(1﹣cosB)2+cos2B=1,
∴16(1﹣cosB)2+cos2B﹣1=0,
∴16(cosB﹣1)2+(cosB﹣1)(cosB+1)=0,
∴(17cosB﹣15)(cosB﹣1)=0,
∴cosB=;
(2)由
(1)可知sinB=,
∵S△ABC=ac?
sinB=2,
∴ac=,
∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2××
=a2+c2﹣15=(a+c)2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4,
∴b=2.
11.已知函数f(x)=cos(2x﹣)﹣2sinxcosx.
(I)求f(x)的最小正周期;
(II)求证:
当x∈[﹣,]时,f(x)≥﹣.
【解答】解:
(Ⅰ)f(x)=cos(2x﹣)﹣2sinxcosx,
=(co2x+sin2x)﹣sin2x,
=cos2x+sin2x,
=sin(2x+),
∴T==π,
∴f(x)的最小正周期为π,
(Ⅱ)∵x∈[﹣,],
∴2x+∈[﹣,],
∴﹣≤sin(2x+)≤1,
∴f(x)≥﹣
12.已知向量=(cosx,sinx),=(3,﹣),x∈[0,π].
(1)若,求x的值;
(2)记f(x)=,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.
【解答】解:
(1)∵=(cosx,sinx),=(3,﹣),∥,
∴﹣cosx=3sinx,
当cosx=0时,sinx=1,不合题意,
当cosx≠0时,tanx=﹣,
∵x∈[0,π],
∴x=,
(2)f(x)==3cosx﹣sinx=2(cosx﹣sinx)=2cos(x+),
∵x∈[0,π],
∴x+∈[,],
∴﹣1≤cos(x+)≤,
当x=0时,f(x)有最大值,最大值3,
当x=时,f(x)有最小值,最小值﹣2.
13.在△ABC中,∠A=60°,c=a.
(1)求sinC的值;
(2)若a=7,求△ABC的面积.
【解答】解:
(1)∠A=60°,c=a,
由正弦定理可得sinC=sinA=×=,
(2)a=7,则c=3,
∴C<A,
∵sin2C+cos2C=1,又由
(1)可得cosC=,
∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=×+×=,
∴S△ABC=acsinB=×7×3×=6.
14.已知函数f(x)=2sinωxcosωx+cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)求f(x)的单调递增区间.
【解答】解:
f(x)=2sinωxcosωx+cos2ωx,
=sin2ωx+cos2ωx,
=,
由于函数的最小正周期为π,
则:
T=,
解得:
ω=1.
(2)由
(1)得:
函数f(x)=,
令(k∈Z),
解得:
(k∈Z),
所以函数的单调递增区间为:
[](k∈Z).
15.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acosB.
(1)证明:
A=2B;
(2)若cosB=,求cosC的值.
【解答】
(1)证明:
∵b+c=2acosB,
∴sinB+sinC=2sinAcosB,
∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,
∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin(A﹣B),由A,B∈(0,π),
∴0<A﹣B<π,∴B=A﹣B,或B=π﹣(A﹣B),化为A=2B,或A=π(舍去).
∴A=2B.
(II)解:
cosB=,∴sinB==.
cosA=cos2B=2cos2B﹣1=,sinA==.
∴cosC=﹣cos(A+B)=﹣cosAcosB+sinAsinB=+×=.
16.设f(x)=2sin(π﹣x)sinx﹣(sinx﹣cosx)2.
(Ⅰ)求f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g()的值.
【解答】解:
(Ⅰ)∵f(x)=2sin(π﹣x)sinx﹣(sinx﹣cosx)2=2sin2x﹣1+sin2x=2?
﹣1+sin2x
=sin2x﹣cos2x+﹣1=2sin(2x﹣)+﹣1,
令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+,求得kπ﹣≤x≤kπ+,
可得函数的增区间为[kπ﹣,kπ+],k∈Z.
(Ⅱ)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),可得y=2sin(x﹣)+﹣1的图象;
再把得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)=2sinx+﹣1的图象,
∴g()=2sin+﹣1=.
17.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知asin2B=bsinA.
(1)求B;
(2)已知cosA=,求sinC的值.
【解答】解:
(1)∵asin2B=bsinA,
∴2sinAsinBcosB=sinBsinA,
∴cosB=,∴B=.
(2)∵cosA=,∴sinA=,
∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB==.
18.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acosB.
(Ⅰ)证明:
A=2B;
(Ⅱ)若△ABC的面积S=,求角A的大小.
【解答】(Ⅰ)证明:
∵b+c=2acosB,
∴sinB+sinC=2sinAcosB,
∴sinB+sin(A+B)=2sinAcosB
∴sinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB
∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin(A﹣B)
∵A,B是三角形中的角,
∴B=A﹣B,
∴A=2B;
(Ⅱ)解:
∵△ABC的面积S=,
∴bcsinA=,
∴2bcsinA=a2,
∴2sinBsinC=sinA=sin2B,
∴sinC=cosB,
∴B+C=90°,或C=B+90°,
∴A=90°或A=45°.
19.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且+=.
(Ⅰ)证明:
sinAsinB=sinC;
(Ⅱ)若b2+c2﹣a2=bc,求tanB.
【解答】(Ⅰ)证明:
在△ABC中,∵+=,
∴由正弦定理得:
,
∴=,
∵sin(A+B)=sinC.
∴整理可得:
sinAsinB=sinC,
(Ⅱ)解:
b2+c2﹣a2=bc,由余弦定理可得cosA=.
sinA=,=
+==1,=,
tanB=4.
20.在△ABC中,AC=6,cosB=,C=.
(1)求AB的长;
(2)求cos(A﹣)的值.
【解答】解:
(1)∵△ABC中,cosB=,B∈(0,π),
∴sinB=,
∵,
∴AB==5;
(2)cosA═﹣cos(π﹣A)=﹣cos(C+B)=sinBsinC﹣cosBcosC=﹣.
∵A为三角形的内角,
∴sinA=,
∴cos(A﹣)=cosA+sinA=.
21.已知函数f(x)=4tanxsin(﹣x)cos(x﹣)﹣.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期;
(2)讨论f(x)在区间[﹣,]上的单调性.
【解答】解:
(1)∵f(x)=4tanxsin(﹣x)cos(x﹣)﹣.
∴x≠kπ+,即函数的定义域为{x|x≠kπ+,k∈Z},
则f(x)=4tanxcosx?
(cosx+sinx)﹣
=4sinx(cosx+sinx)﹣
=2sinxcosx+2sin2x﹣
=sin2x+(1﹣cos2x)﹣
=sin2x﹣cos2x
=2sin(2x﹣),
则函数的周期T=;
(2)由2kπ﹣<2x﹣<2kπ+,k∈Z,
得kπ﹣<x<kπ+,k∈Z,即函数的增区间为(kπ﹣,kπ+),k∈Z,
当k=0时,增区间为(﹣,),k∈Z,
∵x∈[﹣,],∴此时x∈(﹣,],
由2kπ+<2x﹣<2kπ+,k∈Z,
得kπ+<x<kπ+,k∈Z,即函数的减区间为(kπ+,kπ+),k∈Z,
当k=﹣1时,减区间为(﹣,﹣),k∈Z,
∵x∈[﹣,],∴此时x∈[﹣,﹣),
即在区间[﹣,]上,函数的减区间为∈[﹣,﹣),增区间为(﹣,].
22.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.
(Ⅰ)求C;
(Ⅱ)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长.
【解答】解:
(Ⅰ)∵在△ABC中,0<C<π,∴sinC≠0
已知等式利用正弦定理化简得:
2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,
整理得:
2cosCsin(A+B)=sinC,
即2cosCsin(π﹣(A+B))=sinC
2cosCsinC=sinC
∴cosC=,
∴C=;
(Ⅱ)由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab?
,
∴(a+b)2﹣3ab=7,
∵S=absinC=ab=,
∴ab=6,
∴(a+b)2﹣18=7,
∴a+b=5,
∴△ABC的周长为5+.
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