小升初22次课程02公因数和公倍数教师版.docx
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小升初22次课程02公因数和公倍数教师版
公因数和公倍数是六年级数学上学期第一章内容,是小升初考试考察内容之一.本节重点是掌握公因数和公倍数的概念,以及求最大公因数和最小公倍数的方法,难点是求2个或3个整数的最大公因数或最小公倍数,以及利用最大公因数和最小公倍数的知识解决实际问题,加强学生对数学学习的兴趣.
1、公因数
几个数公有的因数,叫做这几个数的公因数.
2、最大公因数
几个数的公因数中,最大的一个叫做这几个数的最大公因数.
3、两个数互素
如果两个整数只有公因数1,那么称这两个数互素.
4、求最大公因数方法(总结)
(1)列举法:
分别列出两个数的因数,从公因数中找出它们的最大公因数
(2)分解素因数法:
把两个数分解素因数,最大公因数就是它们共有素因数的乘积
(3)短除法:
用两个数的公因数去除,除到商是互素为止,所有除数的乘积就是这两个数的最大公因数(一般用它们的公有素因数去除,为了计算更加灵活简便除数不一定非得是素数,可用较大的公因数去除)例:
21824
3912
34
所以,18和24的最大公因数为
(4)特征法:
如果两个数是互素,它们的最大公因数是1;如果两个数之间存在倍数关系,则它们的最大公因数是其中较小的一个数
注:
如果两个数既不互素,也不存在倍数关系,一般可用短除法或者分解素因数法
例题解析
【例1】求出下列各组数的公因数.
(1)14和42;
(2)121和44;(3)28和56;(4)17和9.
【难度】★
【答案】
(1)14;
(2)11;(3)28;(4)1.
【解析】
(1)两个数是倍数关系,最大公因数是较小数;
(2)两个数既不是倍数关系,也不是互素关系,用短除法;
(3)两个数是倍数关系,最大公因数是较小数;
(4)两个数互素,最大公因数是1;
【例2】指出下列哪组中的两个数互素.
(1)3和5;
(2)6和9;(3)14和15;(4)18和1.
【难度】★
【答案】
(1)(3)(4).
【解析】如果两个整数只有公因数1,那么称这两个数互素.
【总结】互素两数的几种常见类型:
(1)两个数都是素数;
(2)一个素数,一个合数;
(3)1和其它的任意正整数.
【例3】用短除法求56和36的最大公因数.
【难度】★
【答案】4.
【答案】
【解析】25636
22818
149
∴56与36的最大公因数是2×2=4.
【例4】用分解素因数的方法求24和90的最大公因数.
【难度】★
【答案】6;360.
【解析】因为24=2×2×2×3,90=2×3×3×5;
所以18与24的最大公因数是2×3=6;最小公倍数是2×2×2×3×3×5=360.
【总结】本题考察了用分解素因数法求两个数的最大公因数.
【例5】已知
都为自然数,且
,
,那么
的最大公因数是多少?
【难度】★★
【答案】p
【解析】m是n的倍数,n是p的倍数,因此m是p的倍数;所以最大公因数是p.
【总结】若三个数都是倍数关系,则它们的最大公因数是最小的那个数.
【例6】求出下列各组数的最大公因数.
(1)48和60
(2)
和
(3)410和123(4)96、128和160
【难度】★★
【解析】略
【答案】
(1)12;
(2)14;(3)41;(4)32
【例7】一张长方形的纸片,长为36cm,宽为21cm,要把这张纸片裁成同样大小的正方形小纸片而且没有任何剩余,则裁成的正方形纸片的边长最大可以是多少厘米?
至少有多少个小正方形?
【难度】★★★
【解析】没有任何纸片剩余,所以小正方形的边长一定要整除36和21,同时还要求小正方形的边长尽可能地长,因此正方形的边长就是36和21的最大公因数。
【答案】36和21的最大公因数是3,正方形纸片的边长最大是3厘米。
(36÷3)×(21÷3)=12×7=84(个),所以至少有84个小正方形。
1、公倍数与最小公倍数
公倍数:
几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数;
最小公倍数:
几个整数公有的倍数中,最小的一个叫做它们的最小公倍数.
2、求最小公倍数的方法
(1)列举法:
分别列出两个数的倍数,找出它们共有的倍数,其中最小的数就是这两个数的最小公倍数
(2)分解素因数法:
把两个数分解素因数,把它们公有的素因数和它们各自独有的素因数连乘,所得的积就是它们的最小公倍数
(3)短除法:
用两个数的公因数去除,除到商是互素为止,所有除数和商的乘积就是这两个数的最小公倍数
(4)特征法:
如果两个数是互素,它们的最小的公倍数是它们的乘积;
如果较大的数是较小的数的倍数,那么较大数就是这两个数的最小公倍数
(5)大数翻倍法:
把几个数中最大的一个数依次乘正整数2、3、4……所得到的积最先是其他各数的倍数时,那个积就是它们的最小公倍数。
例题解析
【例8】
(1)如果数
能被数
整除,则
和
的最大公约数是______,最小公倍数是______.
(2)自然数
的最小倍数__________它的最大约数.(填大于、小于或等于)
【难度】★
【答案】b,a;等于
【解析】两个数成倍数关系,最大公因数是较小数,最小公倍数是较大数;
【总结】本题考察了成倍数关系的两个数的最大公因数和最小公倍数的求法.
【例9】用短除法求下列各组数的最小公倍数.
(1)63和42
(2)54和36(3)15、18和30(4)42、105和56
【难度】★
【解析】略
【答案】
(1)126;
(2)108;(3)90;(4)840
【例10】两个数的最大公因数是4,最小公倍数是252,其中一个是28,另一个是多少?
【难度】★★
【答案】另一个数是36.
【解析】设另一个数是x,则:
28x=4×252.
解得:
x=36.
答:
乙数是36.
【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数和它们乘积的关系:
两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积.
【例11】已知两个互素的数的最小公倍数是33,求这两个数的和.
【难度】★★
【答案】34或14
【解析】因为33=1×33=3×11.
(1)这两个数可能是1和33,此时和为34;
(2)这两个数可能是3和11,此时和为14;
【总结】本题考察了互素的两个数的最小公倍数的求法.
【例12】运动会团体操表演过程中,要求在队伍变换成10行、15行、18行、24行时,队形都为长方形,问参加团体操表演最少需要有多少人?
【难度】★★
【答案】360人
【解析】由题意可得人数是10、15、18、24的最小公倍数时,满足题意。
10、15、18、24的最小公倍数是360
所以参加团体操表演最少需要360人。
【例13】在长1.5千米的公路一边,等距离种树(两端都种),开始每隔10米种一棵,后来改成每隔12米种一棵,不用改种的树有多少棵?
【难度】★★★
【答案】26棵
【解析】1.5千米=1500米,
10与12的最小公倍数是60,
1500÷60+1=26棵.
答:
有26棵树不需要移动.
【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用.
【例14】某工厂承包了学校的桌椅制作任务,一张桌子配一把椅子,某车间有甲、乙两组,甲组人员做桌子,每人每天可以做6张桌子;乙组每人每天可以做9把椅子,为了使生产均衡,每天的桌子、椅子数量刚好配套.该车间至少安排多少人员?
(不考虑其他因素)
【难度】★★★
【答案】5人
【解析】因为6与9的最小公倍数是18,所以18÷6+18÷9=5人.
答:
该车间至少安排5个人.
【总结】本题考察了两个数的最大公因数最小公倍数的应用.
关隐含条件,去绝对值解题.
【习题1】下列说法中,正确的个数有()个
①2是4和16的一个公因数;
②12是24和36的最大公因数;
③如果两个数互素,那么这两个数一定都是素数;
④1和任何正整数互素.
A.0B.1C.2D.3
【难度】★★
【答案】D
【解析】①②④正确;③错误,两个数互素要求两个数只有公因数1.
【总结】常见的两个互素的数有:
(1)两个数都是素数;
(2)一个素数,一个合数;
(3)1和任何正整数;(4)任意两个连续的整数等.
【习题2】已知甲数
,乙数
,若甲、乙两数的最大公因数是42,求
的值.
【难度】★
【答案】2
【解析】由已知得:
甲数和乙数的最大公因数是:
3×7×A=42,
解得:
A=2.
【总结】本题考察用分解素因数法求两个数最大公因数.
【习题3】求下列各组数的最大公因数和最小公倍数.
(1)17和64;
(2)6和54;(3)45和69.
【难度】★★
【答案】
(1)17和64的最大公因数是1;17和64的最小公倍数是1088;
(2)6和54的最大公因数是6;6和54的最小公倍数是54;
(3)45和69的最大公因数是3;45和69的最小公倍数是1035.
【习题4】两个正整数的和是50,他们的最大公因数是5,这两个数的差的最大值是几?
【难度】★★
【答案】40
【解析】设这两个数是5a,5b(a、b互素),则:
5a+5b=50.
所以a+b=10.
①a=1,b=9时,两个数是5、45;45-40=5;
②a=3,b=7时,两个数是15、35.35-15=20;
所以这两个数的差的最大值是40.
【总结】本题主要考查素数在数字计算中的运用.
【习题5】王老师带领一班同学去植树,学生恰好分成4组.如果王老师和学生每人植树一样多,那么他们一共植了539棵.这个班有多少个学生?
每人植树多少棵?
【难度】★★
【答案】48个,11棵
【解析】因为539=7×7×11=49×11,所以学生数是48人,每人植树11棵.
【总结】本题是对分解素因数的综合运用.
【习题6】有
四个数,已知
的最大公因数是60,
的最大公因数是96,这四个数的最大公因数是多少?
【难度】★★★
【答案】12
【解析】由已知得:
a、b是60的倍数,c、d是96的倍数,
因此60和96的最大公因数即是
四个数的最大公因数.
而60和96的最大公因数是12.
答:
这四个数的最大公因数是12.
【总结】本题主要是考查学生对最大公因数的概念的准确理解和运用.
【习题7】甲每隔3天去一次书店,乙每隔5天去一次,丙每隔7天去一次,如果6月1日,甲乙丙同时去了书店,则下次同时去书店的日期是哪一天?
【难度】★★★
【答案】9月14日.
【解析】因为甲每隔3天去一次书店,乙每隔5天去一次,丙每隔7天去一次,所以下次去书店距离上次同时去书店的天数要能同时被3、5、7整除,短除法可得3、5、7的最小公倍数为105,则经过105天(6月30天,7月31天,8月31天,即9月14日甲乙丙同时去书店.
【总结】本题主要考察利用最小公倍数解决实际问题.
【作业1】判断下列说法是否正确,对的打“√”,错的打“×”,并说明理由.
(1)两个数的公倍数的个数是有限的.()
(2)30是15和10的最小公倍数.()
(3)如果较大数能被较小数整除,那么较小数就是这两个数的最大公因数,较大数就是这两个数的最小公倍数.()
(4)不相同的两个数的最小公倍数一定比它们的最大公因数大.()
【难度】★
【答案】
(1)×;
(2)√;(3)√;(4)√.
【解析】
(1)错误,两个数的倍数就是这两个数最小公倍数的倍数,有无限个;
(2)正确;
(3)正确;
(4)正确;
【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念.
【作业2】用分解素因数的方法求18和30的最大公因数和最小公倍数.
【难度】★
【答案】6,90.
【解析】因为18=2×3×3;30=2×3×5;
所以18与30的最大公因数是2×3=6,最小公倍数是2×3×3×5=90;
【总结】本题考察用分解素因数法求两个数最大公因数和最小公倍数.
【作业3】求下列各组数求的最小公倍数和最大公因数.
(1)48和72;
(2)104和182;(3)13和52;(4)160和185.
【难度】★
【答案】
(1)24;
(2)26;(3)13;(4)5.
【解析】
(1)短除法得:
48与72的最大公因数是24;
(2)短除法得:
104与182的最大公因数是26;
(3)13和52是倍数关系,最大公因数是较小数,13与52的最大公因数是13;
(4)短除法得:
160与185的最大公因数是5.
【总结】本题主要是考查求两个数的最大公因数.
【作业4】已知四个小于10的自然数,它们的积是360.已知这四个数中只有一个是合数,求这四个数.
【难度】★★
【答案】3、3、5、8
【解析】因为360=2×2×2×3×3×5,又四个数中只有一个合数,且小于10,所以只能是8.
所以这四个数是3、3、5、8;
【总结】本题还是考查分解素因数的运用.
【作业5】若一个正整数加上3能被15和20整除,那么符合条件的数中最小的数是多少?
【难度】★★
【答案】57
【解析】因为15与20的最小公倍数是60,
所以60-3=57.
答:
符合条件的数中最小的数是57.
【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用.
【作业6】两个数的最大公因数是42,最小公倍数是2940,且这两个数的和是714,这两个数各是多少?
【难度】★★
【答案】这两个数是420和294.
【解析】设这两个数是42a,42b(a、b互素),
则:
42ab=2940,42(a+b)=714.
∴ab=70,a+b=17
∴a=7,b=10,这两个数是420、294.
【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念.
【作业7】若一个正整数加上3能被15和20整除,那么符合条件的数中最小的数是多少?
【难度】★★
【答案】57
【解析】因为15与20的最小公倍数是60,
所以60-3=57.
答:
符合条件的数中最小的数是57.
【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用.
【作业8】小明7月和8月参加了钢琴和美术的培训,两项培训都是从7月1日开始,钢琴课每上一次休息4天,美术课每上一次休息6天,请问整个暑假中有几天是两项培训在同一天进行的?
【难度】★★★
【答案】12天
【解析】4与6的最下公倍数是12,31×2÷12=5…2.
答:
整个暑假中有5天是两项培训在同一天进行的.
【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用.
【作业9】甲、乙、丙三人绕操场竞走,他们走一圈分别需1分钟、1分15秒、1分30秒.问:
三人同时从起点出发,多长时间后他们又在起点相会?
(从起点出发后最近的一次相会)
【难度】★★★
【答案】15分钟
【解析】1分钟=60秒,1分15秒=75秒,1分30秒=90秒;
60、75、90的最小公倍数为900,而900秒=15分钟.
答:
15分钟后他们又在起点相会.
【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用.
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